高考数学人教A版（理）一轮复习：第七篇 第3讲 二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题 8页

第3讲 二元一次不等式（组）与简单的线性 ‎ 规划问题 A级　基础演练 ‎(时间：30分钟　满分：55分)‎ 一、选择题(每小题5分，共20分)‎ ‎1．(2012·山东)设变量x，y满足约束条件则目标函数z＝3x－y的取值范围是 (　　)．‎ A. B. C. D. 解析　作出不等式组表示的可行域，如图阴影部分所示，作直线3x－y＝0，并向上、下平移，由图可得，当直线过点A时，z＝3x－y取最大值；当直线过点B时，z＝3x－y取最小值．由解得A(2,0)；由解得B.‎ ‎∴zmax＝3×2－0＝6，zmin＝3×－3＝－.‎ ‎∴z＝3x－y的取值范围是.‎ 答案　A ‎2．(2011·广东)已知平面直角坐标系xOy上的区域D由不等式组给定．若M(x，y)为D上的动点，点A的坐标为(，1)则z＝·的最大值为 (　　)．‎ A．4 B．3 C．4 D．3‎ 解析　如图作出区域D，目标函数z＝x＋y过点B(，2)时取最大值，故z的最大值为×＋2＝4，故选C.‎ 答案　C ‎3．(2013·淮安质检)若不等式组 ‎ 表示的平面区域是一个三角形，则a的取值范围是 (　　)．‎ A．(－∞，5) B．[7，＋∞)‎ C．[5,7) D．(－∞，5)∪[7，＋∞)‎ 解析　画出可行域，知当直线y＝a在x－y＋5＝0与y轴的交点(0,5)和x－y＋5＝0与x＝2的交点(2,7)之间移动时平面区域是三角形．故5≤a<7.‎ 答案　C ‎4．(2013·洛阳一模)某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A原料3吨、B原料2吨；生产每吨乙产品要用A原料1吨、B原料3吨．销售每吨甲产品可获得利润1万元，每吨乙产品可获得利润3万元，该企业在某个生产周期内甲产品至少要生产1吨，乙产品至少要生产2吨，消耗A原料不超过13吨，消耗B原料不超过18吨，那么该企业在这个生产周期内获得最大利润时甲产品的产量应是 (　　)．‎ A．1吨 B．2吨 C．3吨 D.吨 解析　设该企业在这个生产周期内生产x吨甲产品，生产y吨乙产品，x、y满足的条件为 所获得的利润z＝x＋3y，作出如图所示的可行域．‎ 作直线l0：x＋3y＝0，平移直线l0‎ ‎，显然，当直线经过点A时所获利润最大，此时甲产品的产量为1吨．‎ 答案　A 二、填空题(每小题5分，共10分)‎ ‎5．(2012·大纲全国)若x，y满足约束条件则z＝3x－y的最小值为________．‎ 解析　画出可行域，如图所示，将直线y＝3x－z移至点A(0,1)处直线在y轴上截距最大，zmin＝3×0－1＝－1.‎ 答案　－1‎ ‎6．(2012·安徽)若x，y满足约束条件则x－y的取值范围是________．‎ 解析　记z＝x－y，则y＝x－z，所以z为直线y＝x－z在y轴上的截距的相反数，画出不等式组表示的可行域如图中△ABC区域所示．结合图形可知，当直线经过点B(1,1)时，x－y取得最大值0，当直线经过点C(0,3)时，x－y取得最小值－3.‎ 答案　[－3,0]‎ 三、解答题(共25分)‎ ‎7．(12分)(2013·合肥模拟)画出不等式组表示的平面区域，并回答下列问题：‎ ‎(1)指出x、y的取值范围；‎ ‎(2)平面区域内有多少个整点？‎ 解　(1)不等式x－y＋5≥0表示直线x－y＋5＝0上及其右下方的点的集合，x＋y≥0表示直线x＋y＝0上及其右上方的点的集合，x≤3表示直线x＝3上及其左方的点的集合．‎ 所以，不等式组 表示的平面区域如图所示．‎ 结合图中可行域得x∈，y∈[－3,8]．‎ ‎(2)由图形及不等式组知 当x＝3时，－3≤y≤8，有12个整点；‎ 当x＝2时，－2≤y≤7，有10个整点；‎ 当x＝1时，－1≤y≤6，有8个整点；‎ 当x＝0时，0≤y≤5，有6个整点；‎ 当x＝－1时，1≤y≤4，有4个整点；‎ 当x＝－2时，2≤y≤3，有2个整点；‎ ‎∴平面区域内的整点共有2＋4＋6＋8＋10＋12＝42(个)．‎ ‎8．(13分)制订投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且要考虑可能出现的亏损．某投资人打算投资甲、乙两个项目，根据预测，甲、乙项目可能的最大盈利率分别为100%和50%，可能的最大亏损率分别为30%和10%.若投资人计划投资金额不超过10万元，要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元，问投资人对甲、乙两个项目各投资多少万元，才能使可能的盈利最大？‎ 解　设投资人分别用x万元、y万元投资甲、乙两个项目，‎ 由题意知目标函数z＝x＋0.5y.‎ 上述不等式组表示的平面区域如图所示，阴影部分(含边界)即为可行域．‎ 将z＝x＋0.5y变形为y＝－2x＋2z，这是斜率为－2、随z变化的一组平行线，当直线y＝－2x＋2z经过可行域内的点M时，直线y＝－2x＋2z在y轴上的截距2z最大，z也最大．‎ 这里M点是直线x＋y＝10和0.3x＋0.1y＝1.8的交点．‎ 解方程组得x＝4，y＝6，‎ 此时z＝4＋0.5×6＝7(万元)．‎ ‎∴当x＝4，y＝6时，z取得最大值，‎ 所以投资人用4万元投资甲项目、6万元投资乙项目，才能在确保亏损不超过1.8万元的前提下，使可能的盈利最大．‎ B级　能力突破(时间：30分钟　满分：45分)‎ 一、选择题(每小题5分，共10分)‎ ‎1．(2013·临沂一模)实数x，y满足若目标函数z＝x＋y取得最大值4，则实数a的值为 (　　)．‎ A．4 B．3 C．2 D. 解析　作出可行域，由题意可知可行域为△ABC内部及边界，y＝－x＋z，则z的几何意义为直线在y轴上的截距，将目标函数平移可知当直线经过点A时，目标函数取得最大值4，此时A点坐标为(a，a)，代入得4＝a＋a＝2a，所以a＝2.‎ 答案　C ‎2．(2012·四川)某公司生产甲、乙两种桶装产品．已知生产甲产品1桶需耗A原料1千克、B原料2千克；生产乙产品1桶需耗A原料2千克、B原料1千克．每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元．公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗A、B原料都不超过12千克．通过合理安排生产计划，从每天生产的甲、乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是 (　　)．‎ A．1 800元 B．2 400元 C．2 800元 D．3 100元 解析　设某公司生产甲产品x桶，生产乙产品y桶，获利为z元，则x，y满足的线性约束条件为目标函数z＝300x＋400y.‎ 作出可行域，如图中四边形OABC的边界及其内部整点．作直线l0：3x＋4y＝0，平移直线l0经可行域内点B时，z取最大值，由得B(4,4)，满足题意，所以zmax＝4×300＋4×400＝2 800.‎ 答案　C 二、填空题(每小题5分，共10分)‎ ‎3．(2013·咸阳一模)设实数x、y满足则的最大值是________．‎ 解析　不等式组确定的平面区域如图阴影部分．‎ 设＝t，则y＝tx，求的最大值，即求y＝tx的斜率的最大值．显然y＝tx过A点时，t最大．‎ 由解得A.‎ 代入y＝tx，得t＝.所以的最大值为.‎ 答案　 ‎4．(2011·湖南)设m>1，在约束条件下，目标函数z＝x＋my的最大值小于2，则m的取值范围为________．‎ 解析　目标函数z＝x＋my可变为y＝－x＋，‎ ‎∵m>1，∴－1<－<0，z与同时取到相应的最大值，如图，当目标函数经过点P时，取最大值，∴＋<2，又m>1，得1