2018-2019学年湖南师范大学附属中学高二下学期期中考试数学（文）试题 解析版 17页

绝密★启用前 湖南师范大学附属中学2018-2019学年高二下学期期中考试数学（文)试题 评卷人 得分 一、单选题 ‎1．已知全集，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意结合补集的定义，求出A的补集即可．‎ ‎【详解】‎ ‎∵全集U＝{﹣1，0，1，2，3，4}，A＝{﹣1，0，2，4}，‎ ‎∴∁UA＝{1，3}．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了补集及其运算，熟练掌握补集的定义是解本题的关键．‎ ‎2．函数的定义域为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据二次根式的性质以及分母不是0，求出函数的定义域即可．‎ ‎【详解】‎ 由题意得：‎ ‎，解得：x≥1且x≠2，‎ 故函数的定义域是[1，2）∪（2，+∞），‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了求函数的定义域问题，考查二次根式的性质，是一道基础题．‎ ‎3．设，用二分法求方程在内近似解的过程中得，则方程的根落在区间（ ）‎ A． B．‎ C． D．不能确定 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎∵，‎ ‎∴该方程的根所在的区间为。选B ‎4．如果直线与直线互相平行，那么的值等于（ ）‎ A．-2 B． C．- D．2‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据它们的斜率相等，可得1，解方程求a的值．‎ ‎【详解】‎ ‎∵直线ax+2y+1＝0与直线x+y﹣2＝0互相平行，‎ ‎∴它们的斜率相等，‎ ‎∴1‎ ‎∴a＝2‎ 故选D．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查两直线平行的性质，熟知两直线平行则斜率相等是解题的关键，属于基础题．‎ ‎5．如图的程序运行后输出的结果为（ ）‎ A．-17 B．22 C．25 D．28‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据流程图，先进行判定是否满足条件x＜0？，满足条件则执行x＝y﹣3，不满足条件即执行y＝y+3，最后输出x﹣y即可．‎ ‎【详解】‎ 程序第三行运行情况如下：‎ ‎∵x＝5，不满足x＜0，则运行y＝﹣20+3＝-17‎ 最后x＝5，y＝-17，‎ 输出x﹣y＝22．‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了伪代码，条件结构，模拟程序的执行过程是解答此类问题常用的办法，属于基础题．‎ ‎6．一条直线若同时平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面交线的位置关系是（ ）‎ A．异面 B．相交 C．平行 D．平行或重合 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意设α∩β＝l，a∥α，a∥β，然后过直线a作与α、β都相交的平面γ，利用平面与平面平行的性质进行求解．‎ ‎【详解】‎ 设α∩β＝l，a∥α，a∥β，‎ 过直线a作与α、β都相交的平面γ，‎ 记α∩γ＝b，β∩γ＝c，‎ 则a∥b且a∥c，由线面平行的性质定理可得b∥c．‎ 又∵b⊂α，c⊄α，‎ ‎∴c∥α．又∵c⊂β，α∩β＝l，‎ ‎∴c∥l．‎ ‎∴a∥l．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查平面与平面平行的性质、线面平行的判定定理及性质定理的应用，解题的关键是熟练运用定理，属于基础题．‎ ‎7．在中，已知， ，则的值为（ ）‎ A． B． C．或 D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 运用同角的平方关系，可得sinA，sinB，再由两角和的余弦公式，计算所求值．‎ ‎【详解】‎ ‎△ABC中，cosA，cosB，‎ 即有sinA，‎ sinB，‎ 则cos（A+B）＝cosAcosB﹣sinAsinB ‎＝‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查两角和的余弦公式的运用，考查同角的平方关系的运用，考查运算能力，属于基础题．‎ ‎8．要从已编号（1～60）的60枚最新研制的某型导弹中随机抽取6枚来进行发射试验，用每部分选取的号码间隔一样的系统抽样方法确定所选取的6枚导弹的编号可能是（ ）‎ A．5，10，15，20，25，30‎ B．3，13，23，33，43，53‎ C．1，2，3，4，5，6‎ D．2，4，8，16，32，48‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：系统抽样，要从60个个体中抽取容量为6的样本，确定分段间隔为，第一段1-10号中随机抽取一个个体，然后编号依次加10得到其余个体，构成样本 考点：系统抽样 点评：系统抽样的特点：被抽取的各个个体间隔相同，都为10‎ ‎9．取一根长度为的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长度都不小于的概率是（ ）‎ A． B． C． D．不确定 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意确定为几何概型中的长度类型，分析题意从而找出中间1m处的两个界点，再求出其比值．‎ ‎【详解】‎ 记“两段的长都不小于2m”为事件A，‎ 将长度为5m的绳子依次分成2m、1m 、2m的三段，‎ 若符合剪得两段的长都不小于2m，，则只能在中间1m的绳子上剪断， ‎ 所以事件A发生的概率．‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查概率中的几何概型长度类型，关键是找出两段的长都不小于2m的界点来．‎ ‎10．已知，且关于的方程有实根，则与的夹角的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据关于x的方程有实根，可知方程的判别式大于等于0，找出，计算出cosθ，可得答案．‎ ‎【详解】‎ ‎，且关于x的方程有实根，‎ 则，设向量的夹角为θ，‎ cosθ，‎ ‎∴θ∈，‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查平面向量数量积的逆应用，即求角的问题．，涉及二次方程根的问题，属于基础题．‎ 第II卷（非选择题)‎ 请点击修改第II卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题 ‎11．已知，，且，则的最大值是__________．‎ ‎【答案】4‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由基本不等式可得mn4，注意等号成立的条件即可．‎ ‎【详解】‎ ‎∵m＞0，n＞0，且m+n＝4，‎ ‎∴由基本不等式可得mn4，‎ 当且仅当m＝n＝2时，取等号，‎ 故答案为：4‎ ‎【点睛】‎ 本题考查基本不等式的应用，属于基础题．‎ ‎12．已知函数，则的值为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出f（）2，从而f（f（））＝f（﹣2），由此能求出结果．‎ ‎【详解】‎ ‎∵函数 f（x），‎ ‎∴f（）2，‎ f（f（））＝f（﹣2）＝2﹣2．‎ 故答案为．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查分段函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数解析式的合理运用．‎ ‎13．等差数列中，，，则数列的公差为__________．‎ ‎【答案】6‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意和等差数列的性质、通项公式直接求出公差d．‎ ‎【详解】‎ 因为等差数列{an}中，a3＝3，a8＝33，‎ 所以公差d6，‎ 故答案为：6．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了等差数列的性质的应用，属于基础题．‎ ‎14．不等式的解集是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用正弦函数的图象与性质即可求得答案．‎ ‎【详解】‎ ‎∵sinx，‎ ‎∴2kπx≤2kπ（k∈Z），‎ ‎∴不等式sinx的解集为{x|2kπx≤2kπ，k∈Z}．‎ 故答案为：[2kπ2kπ](k∈Z)．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查正弦函数的图象与性质的应用，属于中档题．‎ ‎15．如图，正四棱锥底面的四个顶点在球的同一个大圆上，点在球面上，如果，则球的表面积是__________．‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意可知，PO⊥平面ABCD，并且是半径，由体积求出半径，然后求出球的表面积．‎ ‎【详解】‎ 如图，正四棱锥P﹣ABCD底面的四个顶点A，B，C，D在球O的同一个大圆上，点P在球面上，‎ ‎∴PO⊥底面ABCD，且PO＝R，SABCD＝2R2，，‎ 所以•2 R2•R，‎ 解得：R＝2，‎ 球O的表面积：S＝4πR2＝16π，‎ 故答案为：16π ‎【点睛】‎ 在求一个几何体的外接球表面积（或体积）时，关键是求出外接球的半径，通常有如下方法：①构造三角形，解三角形求出R；②找出几何体上到各顶点距离相等的点，即球心，进而求出R；③将几何体补成一个长方体，其对角线即为球的直径，进而求出R．‎ ‎16．函数（）的所有零点之和为 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：转化为与在的交点的和，因为两个函数均关于对称，所以两侧的交点对称，且关于对称，那么对称点的和为2，分别画出两个函数的图像两侧分别有5个交点，所以 考点：函数图像的应用 评卷人 得分 三、解答题 ‎17．已知函数.‎ ‎（1）证明：在上是减函数；‎ ‎（2）当时，求的最大值和最小值．‎ ‎【答案】（1）见解析.（2）在x=1处取得最大值1，在x=-5处取得最小值－35,.‎ ‎【解析】‎ 本试题主要考查了函数单调性和最值的运用。第一问中，利用定义法或者导数法可以判定单调性，得到在上是减函数（2）中利用第一问中的结论，结合单调性可知函数的最大值和最小值分别在x=1,x=-5处取得。‎ 解：（1）方法一、定义法略 方法二、导数法 因为 可见函数在上是减函数;命题得证。‎ ‎（2）由（1）可知，函数先增后减，并且在x=1处取得最大值，因此f(1)=1，在x=-5处取得最小值为f(-5)=-35,故可知最小值为-35，最大值为1‎ ‎18．在等比数列中，其前项和记为，若，，，求公比，首项及项数.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意易得公比q的值，进而可得a1，再由求和公式可得n的方程，解方程可得．‎ ‎【详解】‎ 由题意等比数列{an}的公比q满足 q327，解得q＝3，‎ ‎∴a3﹣a1＝a1（q2﹣1）＝8a1＝8，解得a1＝1，‎ 由求和公式可得Sn13，解得n＝3‎ ‎【点睛】‎ 本题考查等比数列的通项公式和求和公式的应用，属基础题．‎ ‎19．已知正方体.‎ ‎（1）证明：平面；‎ ‎（2）求异面直线与所成的角．‎ ‎【答案】（1）详见解析；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）推导出四边形C1D1AB是平行四边形，从而AD1∥C1B，由此能证明AD1∥平面C1BD．‎ ‎（2）由BD∥B1D1，得∠AD1B1是异面直线AD1与BD所成的角，由此能求出异面直线AD1与BD所成的角．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）∵正方体ABCD﹣A1B1C1D1．∴C1D1∥A1B1，C1D1＝A1B1，‎ 又AB∥A1B1，AB＝A1B1，∴C1D1∥AB，C1D1＝AB，‎ ‎∴四边形C1D1AB是平行四边形，‎ ‎∴AD1∥C1B，‎ ‎∵C1B⊂平面C1BD，AD1⊄平面C1BD，‎ ‎∴AD1∥平面C1BD．‎ ‎（2）∵BD∥B1D1，∴∠AD1B1是异面直线AD1与BD所成的角，‎ ‎∵AD1＝D1B1＝AB1，‎ ‎∴∠AD1B1＝60°，‎ ‎∴异面直线AD1与BD所成的角为60°．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了线面平行的判定定理的应用及异面直线所成角的求法，考查了空间思维能力的训练，属于基础题．‎ ‎20．已知函数，.‎ ‎（1）求函数的最小正周期；‎ ‎（2）求函数在区间上的最大值和最小值．‎ ‎【答案】（1）；（2）最大值为，最小值为-1.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用二倍角公式及两角和的正弦公式化简函数的解析式，由此求得最小正周期．‎ ‎（2）由（1）得到的表达式，结合当x∈[，]时，求出相位的范围，再根据正弦函数的图象与性质的公式，即可得到函数的最大值与最小值．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）.‎ 所以，的最小正周期.‎ ‎（2）因为x∈[，]，则 当时，即x=时，取得最大值，为，‎ 当时，即x=时，取得最小值，为，‎ 故函数在区间上的最大值为，最小值为-1.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了二倍角公式、辅助角公式在三角函数化简中的应用，余弦函数的性质及和差角公式在求值中的应用，属于基础题．‎ ‎21．已知直线：，一个圆的圆心在轴上且该圆与轴相切，该圆经过点．‎ ‎（1）求圆的方程；‎ ‎（2）求直线被圆截得的弦长．‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由题意设圆心，半径，将点代入圆C的方程可求得a，可得圆的方程；（2）求出圆心C到直线l的距离d，利用勾股定理求出l被圆C所截得弦长．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）∵圆心在轴上且该圆与轴相切，‎ ‎∴设圆心，半径，，‎ 设圆的方程为，‎ 将点代入得，‎ ‎∴，‎ ‎∴ 所求圆的方程为.‎ ‎（2）∵圆心到直线：的距离，‎ ‎∴直线被圆截得的弦长为.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了直线与圆的位置关系及圆的方程的应用问题，考查了垂径定理的应用，是基础题．‎ ‎22．如图所示，图①是棱长为1的小正方体，图②，③是由这样的小正方体摆放而成．按照这样的方法继续摆放，由上而下分别将第1层，第2层，…，第层的小正方体的个数记为，解答下列问题：‎ ‎（1）按照要求填表：‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎…‎ ‎1‎ ‎3‎ ‎6‎ ‎_‎ ‎…‎ ‎（2）__________．‎ ‎【答案】10 ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）图①有1层，共1个正方体，图②有2层，共个正方体，图③有3层，共+3个正方体，依次类推，第4个图有4层，共个正方体.‎ ‎（2）由（1）猜想：第个图有层，共个正方体.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）图①有1层，第1层正方体的个数为；‎ 图②有2层，第2层正方体的个数为；‎ 图③有3层，第3层正方体的个数为；‎ 依次类推，第4个图有4层，第4层正方体的个数为.‎ ‎（2）由（1）猜想：第个图有层，第层正方体的个数为.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了图形规律性的变化情况，考查了归纳推理的能力，属于基础题.‎ ‎23．已知函数， ．‎ ‎（1）当时，求不等式的解集；‎ ‎（2）若不等式的解集包含[–1，1]，求的取值范围．‎ ‎【答案】（1）；（2）．‎ ‎【解析】试题分析：（1）分， ， 三种情况解不等式；（2）的解集包含，等价于当时，所以且，从而可得．‎ 试题解析：（1）当时，不等式等价于.①‎ 当时，①式化为，无解；‎ 当时，①式化为，从而；‎ 当时，①式化为，从而.‎ 所以的解集为.‎ ‎（2）当时， .‎ 所以的解集包含，等价于当时.‎ 又在的学科&网最小值必为与之一，所以且，得.‎ 所以的取值范围为.‎ 点睛:形如 (或)型的不等式主要有两种解法：‎ ‎(1)分段讨论法：利用绝对值号内式子对应方程的根，将数轴分为， ， (此处设)三个部分，将每部分去掉绝对值号并分别列出对应的不等式求解，然后取各个不等式解集的并集．‎ ‎(2)图像法：作出函数和的图像，结合图像求解．‎ ‎24．已知函数,其中.‎ ‎（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；‎ ‎（Ⅱ）若不等式在定义域内恒成立，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】(1) ;(2) .‎ ‎【解析】试题分析：）当时， ， ，求出， ‎ 利用直线方程的点斜式可求求曲线在点处的切线方程；‎ ‎（Ⅱ）函数定义域为，且 ‎ 对进行分类讨论，可求实数的取值范围.‎ 试题解析：（Ⅰ）当时， ‎ ‎∴ ‎ 则，又 ‎ ‎∴曲线在点处的切线方程为： ‎ ‎（Ⅱ）函数定义域为，且 ‎ 下面对实数进行讨论：‎ ‎①当时， 恒成立，满足条件 ‎②当时，由解得，从而知 函数在内递增；同理函数在内递减，‎ 因此在处取得最小值 ‎ ‎ ∴，‎ 解得 ‎ 综上：当时，不等式在定义域内恒成立. ‎ ‎25．（2013•浙江）已知抛物线C的顶点为O（0，0），焦点F（0，1）‎ ‎（Ⅰ）求抛物线C的方程；‎ ‎（Ⅱ）过F作直线交抛物线于A、B两点．若直线OA、OB分别交直线l：y=x﹣2于M、N两点，求|MN|的最小值．‎ ‎【答案】（1）x2=4y ‎（2）当t=﹣时，|MN|的最小值是 ‎【解析】（I）由题意可设抛物线C的方程为x2=2py（p＞0）则=1，解得p=2，故抛物线C的方程为x2=4y ‎（II）设A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB的方程为y=kx+1‎ 由消去y，整理得x2﹣4kx﹣4=0‎ 所以x1+x2=4k，x1x2=﹣4，从而有|x1﹣x2|==4‎ 由解得点M的横坐标为xM===，‎ 同理可得点N的横坐标为xN=‎ 所以|MN|=|xM﹣xN|=|﹣|=8||=‎ 令4k﹣3=t，t不为0，则k=‎ 当t＞0时，|MN|=2＞2‎ 当t＜0时，|MN|=2=2≥‎ 综上所述，当t=﹣时，|MN|的最小值是 视频