数学理卷·2018届江西省新余市高三二模考试（2018 13页

新余市2018年高三“二模”考试 数学试题卷（理科）‎ 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.集合，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2.已知复数满足：则复数的虚部为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎3.已知下列命题：‎ ‎①在某项测量中，测量结果服从正态分布，若在内取值范围概率为，则在内取值的概率为；‎ ‎②若，为实数，则“”是“”的充分而不必要条件；‎ ‎③已知命题，，则是：‎ ‎，；‎ ‎④中，“角，，成等差数列”是“”的充分不必要条件；其中，所有真命题的个数是（ ）‎ A．个 B．个 C．个 D．个 ‎ ‎4.从中不放回地依次取个数，事件“第一次取到的是奇数”“第二次取到的是奇数”，则（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎5.为迎接中国共产党十九大的到来，某校举办了“祖国，你好”诗歌朗诵比赛.该校高三年级准备从包括甲、乙、丙在内的名学生中选派名学生参加，且当这名同学都参加时，甲和乙的朗诵顺序不能相邻，那么不同的朗诵顺序的种数为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎6.在的展开式中，项的系数等于，则等于（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎7.在如图所示的程序框图中，若输入的，，则输出的结果为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎8.已知关于的方程在区间上有两个根，，且，则实数的取值范围是（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎9.斜率为的直线过抛物线焦点，交抛物线于，两点，点为中点，作，垂足为，则下列结论中不正确的是（ ）‎ A．为定值 B．为定值 ‎ C.点的轨迹为圆的一部分 D．点的轨迹是圆的一部分 ‎10.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎11.已知椭圆，，为其左、右焦点，为椭圆上除长轴端点外的任一点，为内一点，满足，的内心为，且有（其中为实数），则椭圆的离心率等于（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎12.定义：如果函数在区间上存在，满足，，则称函数是在区间上的一个双中值函数，已知函数是区间上的双中值函数，则实数的取值范围是（ ）‎ A． B． C. D．‎ 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13.已知向量，，，若，则 ．‎ ‎14.若实数，满足不等式组，则的最小值是 ．‎ ‎15.在中，内角，，的对边分别为，,,,,则 ‎ ．‎ ‎16.对于函数，下列个结论正确的是 （把你认为正确的答案全部写上）．‎ ‎（1）任取，都有；‎ ‎（2）函数在上单调递增；‎ ‎（3），对一切恒成立；‎ ‎（4）函数有个零点；‎ ‎（5）若关于的方程有且只有两个不同的实根，，则.‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17. 已知是各项都为正数的数列，其前项和为，且为与的等差中项.‎ ‎（1）求证：数列为等差数列；‎ ‎（2）求数列的通项公式；‎ ‎（3）设，求的前项和.‎ ‎18. “微信运动”已成为当下热门的健身方式，小王的微信朋友圈内也有大量好友参与了“微信运动”，他随机选取了其中的人（男、女各人），记录了他们某一天的走路步数，并将数据整理如下：‎ ‎ 步量 性别 ‎0~2000‎ ‎2001~5000‎ ‎5001~8000‎ ‎8001~10000‎ ‎>10000‎ 男 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎6‎ ‎8‎ 女 ‎0‎ ‎2‎ ‎10‎ ‎6‎ ‎2‎ ‎（1）已知某人一天的走路步数超过步被系统评定“积极型”，否则为“懈怠型”，根据题意完成下面的列联表，并据此判断能否有以上的把握认为“评定类型”与“‎ 性别”有关？‎ 积极型 懈怠型 总计 男 女 总计 附：，‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎（2）若小王以这位好友该日走路步数的频率分布来估计其所有微信好友每日走路步数的概率分布，现从小王的所有微信好友中任选人，其中每日走路不超过步的有人，超过步的有人，设，求的分布列及数学期望.‎ ‎19.已知四棱锥，底面为菱形，，为上的点，过的平面分别交，于点，，且平面.‎ ‎（1）证明：；‎ ‎（2）当为的中点，，与平面所成的角为，求二面角的余弦值.‎ ‎20. 已知动圆过定点，且在轴上截得的弦长为，记动圆圆心的轨迹为曲线.‎ ‎（1）求直线与曲线围成的区域面积；‎ ‎（2）点在直线上，点，过点作曲线的切线、，切点分别为、，证明：存在常数，使得，并求的值.‎ ‎21. 已知函数（为自然对数的底数）.‎ ‎（1）若，求函数的单调区间；‎ ‎（2）若，且方程在内有解，求实数的取值范围.‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.‎ ‎22.选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系中，以为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆的极坐标方程为，直线的参数方程为（为参数），直线和圆交于，两点.‎ ‎（1）求圆心的极坐标；‎ ‎（2）直线与轴的交点为，求.‎ ‎23.选修4-5：不等式选讲 设不等式的解集为，.‎ ‎（1）证明：；‎ ‎（2）比较与的大小.‎ 试卷答案 一、选择题 ‎1-5:DCCAB 6-10:ACDCD 11、12：BA 二、填空题 ‎13. 14. 15. 16.（1）（4）（5）‎ 三、解答题 ‎17.解答：（1）由题意知，即，①‎ 当n=1时，由①式可得S1=1；‎ 又n≥2时，有an=Sn﹣Sn﹣1，代入①式得 整理得．‎ ‎∴是首项为1，公差为1的等差数列．‎ ‎（2） 由（Ⅰ）可得，‎ ‎∵{an}是各项都为正数，∴，‎ ‎∴（n≥2），‎ 又，∴．‎ ‎（3），‎ 当n为奇数时，‎ 当n为偶数时，‎ ‎∴{bn}的前n项和．‎ ‎18.解：（1）‎ 积极型 懈怠型 总计 男 ‎14‎ ‎6‎ ‎20‎ 女 ‎8‎ ‎12‎ ‎20‎ 总计 ‎22‎ ‎18‎ ‎40‎ ‎，故没有95%以上的把握认为二者有关；‎ ‎（2）由题知，小王的微信好友中任选一人，其每日走路步数不超过步的概率为，超过步的概率为，且当或时，，；当，或，时，，；当，或，时，，‎ 即的分布列为： ‎ ‎.‎ ‎19.【解析】【试题分析】（1）连结交于点，连结．根据菱形有，根据等腰三角形有，所以以平面， .利用线面平行的性质定理有，故，所以.（2）以为坐标原点建立空间直角.‎ ‎【试题解析】‎ ‎（1）证明：连结交于点，连结．因为为菱形，所以，且为、的中点，因为，所以，‎ 因为且平面，所以平面，‎ 因为平面，所以．‎ 因为平面， 平面，且平面平面，‎ 所以，所以． ‎ ‎（2）由（1）知且，因为，且为的中点，‎ 所以，所以平面，所以与平面所成的角为，‎ 所以，所以，因为，所以．‎ 分别以， ， 为轴，建立如图所示空间直角坐标系，设，则 ‎，‎ 所以．‎ 记平面的法向量为，则，‎ 令，则，所以，‎ 记平面的法向量为，则，‎ 令，则，所以， ‎ 记二面角的大小为，则．‎ 所以二面角的余弦值为．‎ ‎20.曲线方程联立求交点坐标，根据定积分求曲边形面积可得结果；（Ⅱ）设、，，根据导数求切线斜率，设切线方程，由韦达定理、用，表示可得.‎ 试题解析：（Ⅰ） 设动圆圆心的坐标为，由题意可得，‎ ‎，化简得，联立方程组，解得或，所以直线与曲线围成的区域面积为；‎ ‎（Ⅱ）设、，则由题意可得，切线的方程为，切线的方程为，再设点，从而有，所以可得出直线AB的方程为，即．‎ 联立方程组，得，又，所以有，‎ 可得，‎ ‎，‎ ‎= ，‎ 所以常数．‎ ‎21. 解: （I）当，，‎ 令，得，.‎ 当时，.‎ 当， 时，，或时，.‎ 当，时，，或时，.‎ 时，的单调递减区间为；[来源:Z&X 时，的单调递增区间为，递减区间为，；‎ 时，的单调递增区间为，递减区间为，‎ ‎（II）由得，，‎ 由得，设，‎ 则在内有零点.设为在内的一个零点，‎ 则由知在区间和上不可能单调.‎ 设，则在区间和上均存在零点，即在上至少有两个零点 ‎，.‎ 当时，，在区间上递增，不可能有两个及以上零点；‎ 当时，，在区间上递减，不可能有两个及以上零点；‎ 当时，令得，所以在区间上递减，在上递增，在区间上存在最小值.‎ 若有两个零点，则有：，，.‎ 设，则，令，得.‎ 当时，，递增，‎ 当时，，递减，‎ ‎，所以恒成立.‎ 由，，得.‎ 当时，设的两个零点为，则在递增，在 递减，在递增，所以，，则在内有零点. 综上，实数的取值范围是.‎ ‎22. 解：（1）由,得,得,故圆的普通方程为,所以圆心坐标为,圆心的极坐标为.‎ ‎（2）把代入得，‎ 所以点A、B对应的参数分别为 ‎ 令得点对应的参数为 所以.‎ 法二：把化为普通方程得，‎ 令得点Ｐ坐标为，又因为直线恰好经过圆C的圆心，‎ 故.‎ ‎23. 解：当时，原不等式可化为，显然不成立；‎ 当时，原不等式可化为，解得；‎ 当时，原不等式可化为显然不成立。‎ 综上所述，原不等式的解集为.‎ ‎（Ⅰ）证明：，‎ 所以，‎ 两式相加得，即.‎ ‎（Ⅱ）‎ ‎，‎ ‎，，‎ ‎∴，∴，‎ ‎∴．‎