数学卷·2018届广西钦州市钦州港经济技术开发区中学高二下学期期中考试理科数学试卷 （解析版） 11页

广西钦州市钦州港经济技术开发区中学 2016-2017 学年下学期期中 考试高二理科数学试卷解析版 (时间：120 分钟 满分：150 分) 一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选 项中，只有一项是符合题目要求的) 1．袋中有大小相同的 5 只钢球，分别标有 1、2、3、4、5 五个号码，有放回地 依次取出两个球，设两个球号码之和为随机变量 X，则 X 所有可能值的个数是 ( ) A．25 B．10 C．9 D．5 解析：由题意，由于是有放回地取，故可有如下情况：若两次取球为相同号码， 则有 1＋1＝2,2＋2＝4,3＋3＝6,4＋4＝8,5＋5＝10,5 个不同的和；若两次取球 为不同号码，则只有 1＋2＝3,1＋4＝5,2＋5＝7,4＋5＝9 这四个和．故共有 9 个不同值． 答案：C 2．在比赛中，如果运动员 A 胜运动员 B 的概率是2 3 ，那么在五次比赛中运动员 A 恰有三次获胜的概率是( ) A. 40 243 B. 80 243 C.110 243 D. 20 243 解析：所求概率为 C35 2 3 3× 1－2 3 2＝ 80 243 ，故选 B. 答案：B 3．设随机变量ξ的分布列为 P(ξ＝i)＝c· 2 3 i，i＝1,2,3，则 c＝( ) A.17 38 B.27 38 C.17 19 D.27 19 解析：由 P(ξ＝1)＋P(ξ＝2)＋P(ξ＝3)＝1，得 c＝27 38 . 答案：B 4．若随机变量ξ～B(n,0.6)，且 E(ξ)＝3，则 P(ξ＝1)的值是( ) A．2×0.44 B．2×0.45 C．3×0.44 D．3×0.64 解析：∵ξ～B(n,0.6)，E(ξ)＝3，∴0.6n＝3.即 n＝5. ∴P(ξ＝1)＝C15×0.6×(1－0.6)4＝3×0.44. 答案：C 5．甲、乙、丙三人到三个景点旅游，每人只去一个景点，设事件 A＝“三个人 去的景点不相同”，B＝“甲独自去一个景点”，则概率 P(A|B)等于( ) A.4 9 B.2 9 C.1 2 D.1 3 解析：由题意知，n(B)＝C13·22＝12，n(AB)＝A33＝6. ∴P(A|B)＝n AB n B ＝ 6 12 ＝1 2 . 答案：C 6．甲、乙、丙三人独立解决同一道数学题，如果三人分别完成的概率依次是 p1、 p2、p3，那么至少有一人解决这道题的概率是( ) A．p1＋p2＋p3 B．1－(1－p1)(1－p2)(1－p3) C．1－p1p2p3 D．p1p2p3 解析：设“至少有一人解决这道题”为事件 A，则 A－表示“没有一人解决这道 题”，由相互独立事件公式得 P( A－)＝(1－p1)(1－p2)(1－p3)， ∴P(A)＝1－(1－p1)(1－p2)(1－p3)． 故选 B. 答案：B 7．从一批含有 11 只正品，2 只次品的产品中，不放回地抽取 3 次，每次抽取 1 只，设抽得次品数为 X，则 E(5X＋1)的值为( ) A.42 13 B.12 13 C.43 13 D. 6 13 解析：P(X＝0)＝C311 C313 ＝15 26 ；P(X＝1)＝C12C211 C313 ＝ 5 13 ；P(X＝2)＝C22C111 C313 ＝ 1 26 .E(X)＝ 0×15 26 ＋1× 5 13 ＋2× 1 26 ＝ 6 13 ，所以 E(5X＋1)＝5× 6 13 ＋1＝43 13 . 答案：C 8．设随机变量ξ服从正态分布 N(0,1)，P(ξ＞1)＝p，则 P(－1＜ξ＜0)等于 ( ) A.1 2 p B．1－p C．1－2p D.1 2 －p 解析： 由随机变量服从正态分布 N(0,1)，由标准正态分布图可得 P(－1＜ξ＜0)＝1 2 － P(ξ＜－1) ＝1 2 －P(ξ＞1)＝1 2 －p. 答案：D 9．甲、乙两人对目标各射击一次，甲命中目标的概率为2 3 ，乙命中目标的概率为 4 5 ，若命中目标的人数为 X，则 D(X)等于( ) A. 85 225 B. 86 225 C. 88 225 D. 89 225 解析：由条件知 X 的可能取值为 0,1,2，P(X＝0)＝1 3 ×1 5 ＝ 1 15 ；P(X＝1)＝2 3 ×1 5 ＋ 1 3 ×4 5 ＝ 6 15 ；P(X＝2)＝2 3 ×4 5 ＝ 8 15 . 所以 E(X)＝0× 1 15 ＋1× 6 15 ＋2× 8 15 ＝22 15 ， D(X)＝ 0－22 15 2× 1 15 ＋ 1－22 15 2× 6 15 ＋ 2－22 15 2× 8 15 ＝ 86 225 . 答案：B 10．某校 14 岁女生的平均身高为 154.4 cm，标准差是 5.1 cm，如果身高服从正 态分布，那么在该校 200 个 14 岁的女生中，身高在 164.6 cm 以上的约有( ) A．5 人 B．6 人 C．7 人 D．8 人 解析：设某校 14 岁女生的身高为 X(cm)，则 X～N(154.4,5.12)．由于 P(154.4 －2×5.1＜X≤154.4＋2×5.1)＝0.954 4，所以 P(X＞164.6)＝1 2 ×(1－0.954 4) ＝0.022 8.因为 200×0.022 8＝4.56，所以身高在 164.6 cm 以上的约有 5 人． 答案：A 11．节日期间，某种鲜花进货价是每束 2.5 元，销售价是每束 5 元；节日卖不出 去的鲜花以每束 1.6 元的价格处理．根据前五年销售情况预测，节日期间这种鲜 花的需求量 X 服从如下表所示的分布： X 200 300 400 500 P 0.20 0.35 0.30 0.15 若进这种鲜花 500 束，则利润的均值为( ) A．706 元 B．690 元 C．754 元 D．720 元 解析：∵E(X)＝200×0.2＋300×0.35＋400×0.3＋500×0.15＝340，∴利润的 均值为 340×(5－2.5)－(500－340)×(2.5－1.6)＝706 元．故选 A. 答案：A 12．一个篮球运动员投篮一次得 3 分的概率为 a，得 2 分的概率为 b，不得分的 概率为 c(a，b，c∈(0,1))，已知他投篮一次得分的数学期望为 1(不计其他得分 情况)，则 ab 的最大值为( ) A. 1 48 B. 1 24 C. 1 12 D.1 6 解析：由已知 3a＋2b＋0×c＝1，即 3a＋2b＝1，所以 ab＝1 6 ·3a·2b≤1 6 3a＋2b 2 2 ＝1 6 × 1 2 2＝ 1 24 ，当且仅当 3a＝2b＝1 2 ，即 a＝1 6 ，b＝1 4 时取“等号”．故选 B. 答案：B 二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．请把正确的答案填在题中 横线上) 13．已知事件 A、B、C 相互独立，如果 P(AB)＝1 6 ，P( B C)＝1 8 ，P(AB C )＝1 8 ， 那么 P( A B)＝________. 解析：依题意得 P AB ＝1 6 ， P B C ＝1 8 ， P AB C ＝1 8 ， 解得 P(A)＝1 3 ，P(B)＝1 2 .∴P( A B)＝2 3 ×1 2 ＝1 3 . 答案：1 3 14．某射手射击所得环数ξ的分布列如下： ξ 7 8 9 10 P x 0.1 0.3 y 已知ξ的期望 E(ξ)＝8.9，则 y 的值为________． 解析：根据分布列性质：x＋y＝1－0.1－0.3＝0.6，① E(ξ)＝7x＋0.8＋2.7＋10y＝7x＋10y＋3.5＝8.9，② ∴7x＋10y＝5.4. ∴由①②知：y＝0.4. 答案：0.4 15．一个学生通过某次数学测试的概率是3 4 ，他连续测试 n 次，要保证他至少有 一次通过的概率大于 0.99，那么 n 的最小值为________． 解析：设该学生在 n 次测试中通过的次数为 X，则 X～B n，3 4 . 由题意得 1－P(X＝0)＝1－C0n 3 4 0 1－3 4 n＞0.99， 即 1 4 n＜0.01，解得 n≥4，故 n 的最小值为 4. 答案：4 16．已知抛物线 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴在 y 轴左侧，其中 a，b，c∈{－ 3，－2，－1,0,1,2,3}，在抛物线中，记随机变量 X＝“|a－b|的取值”，则 X 的均值 E(X)＝________. 解析：对称轴在 y 轴左侧的抛物线有 2C13C13C17＝126 条，X 可能取值为 0,1,2，P(X ＝0)＝6×7 126 ＝1 3 ， P(X＝1)＝8×7 126 ＝4 9 ，P(X＝2)＝4×7 126 ＝2 9 ， E(X)＝0×1 3 ＋1×4 9 ＋2×2 9 ＝8 9 . 答案：8 9 三、解答题(本大题共 6 小题，共 70 分，解答时应写出必要的文字说明、证明过 程或演算步骤) 17．(本小题满分 10 分)三人独立破译同一份密码．已知三人各自破译出密码的 概率分别为1 5 、1 4 、1 3 ，且他们是否破译出密码互不影响． (1)求恰有两人破译出密码的概率． (2)“密码被破译”与“密码未被破译”的概率哪个大？说明理由． 解：记“第 i 个人破译出密码”为事件 Ai(i＝1,2,3)，依题意有 P(A1)＝1 5 ，P(A2) ＝1 4 ，P(A3)＝1 3 ，且 A1，A2，A3 相互独立． (1)设“恰有两人破译出密码”为事件 B，则有 B＝A1A2 A－3＋A1 A－2A3＋ A－1A2A3， 且 A1A2 A－3，A1 A－2A3， A－1A2A3 彼此互斥．于是 P(B)＝P(A1A2 A－3)＋P(A1 A－2A3)＋P( A－1A2A3)＝1 5 ×1 4 ×2 3 ＋1 5 ×3 4 ×1 3 ＋4 5 ×1 4 ×1 3 ＝ 3 20 . ∴恰有两人破译出密码的概率为 3 20 . (2)设“密码被破译”为事件 C，“密码未被破译”为事件 D. D＝ A－1 A－2 A－3，且 A－1， A－2， A－3 相互独立，则有 P(D)＝P( A－1)·P( A－2)·P( A－3)＝4 5 ×3 4 ×2 3 ＝2 5 . 而 P(C)＝1－P(D)＝3 5 ，故 P(C)＞P(D)． ∴密码被破译的概率比密码未被破译的概率大． 18．(本小题满分 12 分)设 S 是不等式 x2－x－6≤0 的解集，整数 m，n∈S. (1)记“使得 m＋n＝0 成立的有序数组(m，n)”为事件 A，试列举 A 包含的基本 事件； (2)设ξ＝m2，求ξ的分布列及其数学期望 E(ξ)． 解：(1)由 x2－x－6≤0，得－2≤x≤3，即 S＝{x|－2≤x≤3}． 由于 m，n∈Z，m，n∈S 且 m＋n＝0，所以 A 包含的基本事件为(－2,2)，(2，－ 2)，(－1,1)，(1，－1)，(0,0)． (2)由于 m 的所有不同取值为－2，－1,0,1,2,3， 所以ξ＝m2 的所有不同取值为 0,1,4,9， 且有 P(ξ＝0)＝1 6 ，P(ξ＝1)＝2 6 ＝1 3 ， P(ξ＝4)＝2 6 ＝1 3 ，P(ξ＝9)＝1 6 . 故ξ的分布列为 ξ 0 1 4 9 P 1 6 1 3 1 3 1 6 所以 E(ξ)＝0×1 6 ＋1×1 3 ＋4×1 3 ＋9×1 6 ＝19 6 . 19．(本小题满分 12 分)(2013 浙江高考)设袋子中装有 a 个红球，b 个黄球，c 个蓝球，且规定：取出一个红球得 1 分，取出一个黄球得 2 分，取出一个蓝球得 3 分． (1)当 a＝3，b＝2，c＝1 时，从该袋子中任取(有放回，且每球取到的机会均等)2 个球，记随机变量ξ为取出此 2 球所得分数之和，求ξ的分布列； (2)从该袋子中任取(且每球取到的机会均等)一个球，记随机变量η为取出此球 所得分数．若 E(η)＝5 3 ，D(η)＝5 9 ，求 a∶b∶c. 解：(1)由题意得ξ＝2,3,4,5,6. 故 P(ξ＝2)＝3×3 6×6 ＝1 4 ，P(ξ＝3)＝2×3×2 6×6 ＝1 3 ， P(ξ＝4)＝2×3×1＋2×2 6×6 ＝ 5 18 ，P(ξ＝5)＝2×2×1 6×6 ＝1 9 ， P(ξ＝6)＝1×1 6×6 ＝ 1 36 . 所以ξ的分布列为 ξ 2 3 4 5 6 P 1 4 1 3 5 18 1 9 1 36 (2)由题意知η的分布列为 η 1 2 3 P a a＋b＋c b a＋b＋c c a＋b＋c 所以 E(η)＝ a a＋b＋c ＋ 2b a＋b＋c ＋ 3c a＋b＋c ＝5 3 ， D(η)＝ 1－5 3 2· a a＋b＋c ＋ 2－5 3 2· b a＋b＋c ＋ 3－5 3 2· c a＋b＋c ＝5 9 ， 化简得 2a－b－4c＝0， a＋4b－11c＝0. 解得 a＝3c，b＝2c，故 a∶b∶c＝3∶2∶1. 20．(本小题满分 12 分)(福建高考)某联欢晚会举行抽奖活动，举办方设置了甲、 乙两种抽奖方案，方案甲的中奖率为2 3 ，中奖可以获得 2 分；方案乙的中奖率为2 5 ， 中奖可以获得 3 分；未中奖则不得分．每人有且只有一次抽奖机会，每次抽奖中 奖与否互不影响，晚会结束后凭分数兑换奖品． (1)若小明选择方案甲抽奖，小红选择方案乙抽奖，记他们的累计得分为 X，求 X≤3 的概率． (2)若小明、小红两人都选择方案甲或都选择方案乙进行抽奖，问：他们选择何 种方案抽奖，累计得分的数学期望较大？ 解：方法一：(1)由已知得，小明中奖的概率为2 3 ，小红中奖的概率为2 5 ，且两人 中奖与否互不影响． 记“这两人的累计得分 X≤3”的事件为 A， 则事件 A 的对立事件为“X＝5”． 因为 P(X＝5)＝2 3 ×2 5 ＝ 4 15 ， 所以 P(A)＝1－P(X＝5)＝1－ 4 15 ＝11 15 ， 即这两人的累计得分 X≤3 的概率为11 15 . (2)设小明、小红都选择方案甲抽奖中奖次数为 X1，都选择方案乙抽奖中奖次为 X2，则这两人选择方案甲抽奖累计得分的数学期望为 E(2X1)，选择方案乙抽奖 累计得分的数学期望为 E(3X2)． 由已知可得，X1～B 2，2 3 ，X2～B 2，2 5 ， 所以 E(X1)＝2×2 3 ＝4 3 ，E(X2)＝2×2 5 ＝4 5 . 从而 E(2X1)＝2E(X1)＝8 3 ，E(3X2)＝3E(X2)＝12 5 . 因为 E(2X1)＞E(3X2)， 所以他们都选择方案甲进行抽奖时，累计得分的数学期望较大． 方法二：(1)由已知得，小明中奖的概率为2 3 ，小红中奖的概率为2 5 ，且两人中奖 与否互不影响． 记“这两人的累计得分 X≤3”的事件为 A， 则事件 A 包含“X＝0”“X＝2”“X＝3”三个两两互斥的事件． 因为 P(X＝0)＝ 1－2 3 × 1－2 5 ＝1 5 ，P(X＝2)＝2 3 × 1－2 5 ＝2 5 ，P(X＝3)＝ 1－2 3 ×2 5 ＝ 2 15 ， 所以 P(A)＝P(X＝0)＋P(X＝2)＋P(X＝3)＝11 15 ， 即这两人的累计得分 X≤3 的概率为11 15 . (2)设小明、小红都选择方案甲所获得的累计得分为 X1，都选择方案乙所获得的 累计得分为 X2，则 X1、X2 的分布列如下： X1 0 2 4 P 1 9 4 9 4 9 X2 0 3 6 P 9 25 12 25 4 25 所以 E(X1)＝0×1 9 ＋2×4 9 ＋4×4 9 ＝8 3 ， E(X2)＝0× 9 25 ＋3×12 25 ＋6× 4 25 ＝12 5 . 因为 E(X1)＞E(X2)， 所以他们都选择方案甲进行抽奖时，累计得分的数学期望较大． 21．(本小题满分 12 分)(湖南高考)某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信 息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的 100 位顾客的相关数据，如下表所 示. 一次购物量 1 至 4 件 5 至 8 件 9 至 12 件 13 至 16 件 17 件 及 以 上 顾客数(人) x 30 25 y 10 结算时间(分钟/人) 1 1.5 2 2.5 3 已知这 100 位顾客中的一次购物量超过 8 件的顾客占 55%. (1)确定 x，y 的值，并求顾客一次购物的结算时间 X 的分布列与数学期望； (2)若某顾客到达收银台时前面恰有 2 位顾客需结算，且各顾客的结算相互独立， 求该顾客结算前的等候时间不超过 2.5 分钟的概率．(注：将频率视为概率) 解：(1)由已知，得 25＋y＋10＝55，x＋y＝35，所以 x＝15，y＝20. 该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体，所以收集的 100 位顾客一次 购物的结算时间可视为总体的一个容量随机样本，将频率视为概率得 P(X＝1)＝ 15 100 ＝ 3 20 ，P(X＝1.5)＝ 30 100 ＝ 3 10 ，P(X＝2)＝ 25 100 ＝1 4 ，P(X＝2.5)＝ 20 100 ＝ 1 5 ，P(X＝3)＝ 10 100 ＝ 1 10 . 所以 X 的分布列为 X 1 1.5 2 2.5 3 P 3 20 3 10 1 4 1 5 1 10 因此 E(X)＝1× 3 20 ＋1.5× 3 10 ＋2×1 4 ＋2.5×1 5 ＋3× 1 10 ＝1.9. (2)记 A 为事件“该顾客结算前的等候时间不超过 2.5 分钟”，Xi(i＝1,2)为该 顾客前面第 i 位顾客的结算时间，则 P(A)＝P(X1＝1 且 X2＝1)＋P(X1＝1 且 X2 ＝1.5)＋P(X1＝1.5 且 X2＝1)． 由于顾客的结算相互独立，且 X1，X2 的分布列都与 X 的分布列相同，所以 P(A)＝P(X1＝1)×P(X2＝1)＋P(X1＝1)×P(X2＝1.5)＋P(X1＝1.5)×P(X2＝1) ＝ 3 20 × 3 20 ＋ 3 20 × 3 10 ＋ 3 10 × 3 20 ＝ 9 80 . 故该顾客结算前的等候时间不超过 2.5 分钟的概率为 9 80 . 22．(本小题满分 12 分)某产品按行业生产标准分成 8 个等级，等级系数 X 依次 为 1,2，…，8，其中 X≥5 为标准 A，X≥3 为标准 B.已知甲厂执行标准 A 生产该 产品，产品的零售价为 6 元/件；乙厂执行标准 B 生产该产品，产品的零售价为 4 元/件．假定甲、乙两厂的产品都符合相应的执行标准． (1)已知甲厂产品的等级系数 X1 的概率分布列如下所示： X1 5 6 7 8 P 0.4 a b 0.1 且 X1 的数学期望 E(X1)＝6，求 a，b 的值． (2)为分析乙厂产品的等级系数 X2，从该厂生产的产品中随机抽取 30 件，相应 的等级系数组成一个样本，数据如下： 3 5 3 3 8 5 5 6 3 4 6 3 4 7 5 3 4 8 5 3 8 3 4 3 4 4 7 5 6 7 用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，求等级系数 X2 的数学 期望． (3)在(1)、(2)的条件下，若以“性价比”为判断标准，则哪个工厂的产品更具 可购买性？说明理由． 注：①产品的“性价比” ＝产品的等级系数的数学期望 产品的零售价 ； ②“性价比”大的产品更具可购买性． 解：(1)因为 E(X1)＝6，所以 5×0.4＋6a＋7b＋8×0.1＝6，即 6a＋7b＝3.2. 又由 X1 的概率分布列得 0.4＋a＋b＋0.1＝1，即 a＋b＝0.5. 由 6a＋7b＝3.2， a＋b＝0.5， 解得 a＝0.3， b＝0.2. (2)由已知得，样本的频率分布表如下： X2 3 4 5 6 7 8 f 0.3 0.2 0.2 0.1 0.1 0.1 用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，可得等级系数 X2 的概 率分布列如下： X2 3 4 5 6 7 8 P 0.3 0.2 0.2 0.1 0.1 0.1 所以 E(X2)＝3×0.3＋4×0.2＋5×0.2＋6×0.1＋7×0.1＋8×0.1＝4.8，即乙 厂产品的等级系数的数学期望等于 4.8. (3)乙厂的产品更具可购买性，理由如下： 因为甲厂产品的等级系数的数学期望等于 6，价格为 6 元/件，所以其性价比为6 6 ＝1. 因为乙厂产品的等级系数的数学期望等于 4.8，价格为 4 元/件，所以其性价比 为4.8 4 ＝1.2. 所以乙厂的产品更具可购买性.