数学（理）（提高卷）卷·2018届天津市静海一中高三12月学生学业能力调研考试（2017 6页

静海一中2017-2018第一学期高三数学（理12月）提高卷 ‎1.(15分)已知中心在原点，焦点在轴上的椭圆过点，离心率为， ， 是椭圆的长轴的两个端点（位于右侧），是椭圆在轴正半轴上的顶点.‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）是否存在经过点且斜率为的直线与椭圆交于不同两点和，使得向量与共线？如果存在，求出直线方程；如果不存在，请说明理由.‎ ‎[]‎ ‎2.（15分）已知函数，函数的导函数为．‎ ‎⑴ 若直线与曲线恒相切于同一定点，求的方程；‎ ‎⑵ 若，求证：当时， 恒成立；‎ ‎⑶ 若当时， 恒成立，求实数的取值范围．‎ ‎[]‎ 答案:‎ ‎1．（1）（2）不存在 ‎【解析】试题分析：（1）依题意得解得， .‎ 所以椭圆的方程为.（2）假设存在过点且斜率为的直线适合题意，则因为直线的方程为： ，于是联立方程， .由直线与椭圆交于不同两点和知，‎ ‎ ， .令， ， ，由韦达定理得出结论， ，根据向量与共线，可得， ，这与矛盾.‎ 试题解析：‎ ‎（1）设椭圆的方程为，‎ ‎.依题意得解得， .‎ 所以椭圆的方程为.‎ ‎（2）假设存在过点且斜率为的直线适合题意，则因为直线的方程为： ，于是联立方程， .‎ 由直线与椭圆交于不同两点和知，‎ ‎ ， .‎ 令， ， ，‎ ‎， ，‎ ‎ ，‎ 由题知， ， .‎ 从而，根据向量与共线，可得， ，这与矛盾.‎ ‎ ……14分 ‎2．(1) ;(2)详见解析;(3) .‎ ‎【解析】试题分析：（1）由直线与曲线恒相切于同一定点转化为曲线必恒过定点，即可求出切线的方程（2）构造，研究的单调性，从而证明当时， 恒成立（3）按照题目意思构造，求导后进行分类讨论，当时、当时和当时三种情况，求得实数的取值范围 解析：⑴ 因为直线与曲线恒相切于同一定点，‎ 所以曲线必恒过定点，‎ 由，令，得，‎ 故得曲线恒过的定点为. ‎ 因为，所以切线的斜率， ‎ 故切线的方程为，即. []‎ ‎⑵因为，‎ 所以令，‎ ‎，设，[]‎ ‎， 在上单调递增， ‎ 当时， ，‎ 即在上恒成立， ‎ 在上单调递增，‎ 因为，故当时， 即恒成立； ‎ ‎⑶令，‎ 则.‎ ‎， ，‎ ‎①当时，因为，‎ 所以在上单调递增，故，‎ 因为当时， ，‎ 所以在上单调递增，故.‎ 从而，当时， 恒成立. ‎ ‎②当时，由⑵可得，‎ 所以在上单调递增，故.‎ 从而，当时， 恒成立. ‎ ‎③当时， 在上单调递增，‎ 所以当时， 在内取得最小值.‎ 故必存在实数，使得在上，即在上单调递减，‎ 所以当时， ，所以在上单调递减，‎ 此时存在，使得，不符合题设要求. ‎ 综上①②③所述，得的取值范围是. ‎ 说明：③也可以按以下方式解答：‎ 当时， 在上单调递增，‎ 所以当时， 在内取得最小值，‎ 当时， ，所以，‎ 故存在，使得，且当时， ，‎ 下同前述③的解答.‎