2018-2019学年四川省棠湖中学高二上学期期末考试数学（理）试题 word版 9页

‎2018年秋四川省棠湖中学高二年级期末考试 数学（理）试卷 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．下列格式的运算结果为纯虚数的是 A． B． C． D．‎ ‎2．从甲、乙等5名学生中随机选出2人参加一项活动，则甲被选中的概率为 A． B． C． D．‎ ‎3．命题“”的否定是 A．不存在 B． ‎ C． D． ‎ ‎4．容量为100的样本，其数据分布在，将样本数据分为4组：，得到频率分布直方图如图所示，则下列说法不正确的是 A．样本数据分布在的频率为0.32 B．样本数据分布在的频数为40 ‎ C．样本数据分布在的频数为40 D．估计总体数据大约有10%分布在 ‎5．已知点M（4，t）在抛物线上，则点M到焦点的距离为 A．5 B．‎6 C．4 D．8‎ ‎6．若平面中，，则“”是“”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 ‎ C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎7.已知椭圆的两个焦点是，点在椭圆上，若，则的面积是 A． B． C. D．‎ ‎8.已知直三棱柱中，，，，则与平面所成角的正弦值为 A． B． C. D．‎ ‎9．已知矩形.将矩形沿对角线折成 大小为的二面角，则折叠后形成的四面体的外接球 的表面积是 A． B． C． D．与的大小有关 ‎10．若点（5，b）在两条平行直线6x-8y+1=0与3x-4y+5=0之间，则整数b的值为 A．4 B． C．5 D．‎ ‎11.已知点为椭圆上一点，分别为椭圆的左右焦点，当时，，则椭圆的离心率为 A. B. C. D.‎ ‎12.已知函数（，学优高考网且）在R上单调递减，且关于的方程恰好有两个不相等的实数解，则的取值范围是 A. B. C.{} D.{}‎ 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13．若命题“存在实数，使”为假命题，则实数的取值范围为 ．‎ ‎14．经过点（1，2）的抛物线的标准方程是 ．‎ ‎15.已知为双曲线的左焦点，为上的点.若的长等于虚轴长的2倍，点在线段上，则的周长为 ．‎ ‎16．在长方体中，已知底面为正方形，为的中点，，点是正方形所在平面内的一个动点，且，则线段的长度的最大值为 .‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17.（本大题满分10分）‎ 已知三个班共有学生100人，为调查他们的体育锻炼情况，通过分层抽样获取了部分学生一周的锻炼时间，数据如下表（单位：小时）.‎ 班 ‎6‎ ‎7‎ 班 ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ 班 ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎（Ⅰ）试估计班学生人数；‎ ‎（Ⅱ）从班和班抽出来的学生中各选一名，记班选出的学生为甲，班选出的学生为乙，若学生锻炼相互独立，求甲的锻炼时间大于乙的锻炼时间的概率.‎ ‎18.（本大题满分12分）‎ 已知双曲线与双曲线的渐近线相同，且经过点.‎ ‎（Ⅰ）求双曲线的方程；‎ ‎（Ⅱ）已知双曲线的左右焦点分别为，直线经过，倾斜角为，与双曲线交于两点，求的面积.‎ ‎19.（本大题满分12分）‎ 如图，在三棱柱ABC-中，平面ABC，D，E，F，G分别为，AC，，的中点，AB=BC=，AC==2．‎ ‎（Ⅰ）求证：AC⊥平面BEF；‎ ‎（Ⅱ）求二面角B-CD-C1的余弦值；‎ ‎（Ⅲ）证明：直线FG与平面BCD相交．‎ ‎20.（本小题满分12分）‎ 简阳羊肉汤已入选成都市级非遗项目，成为简阳的名片。当初向各地作了广告推广，同时广告对销售收益也有影响。在若干地区各投入万元广告费用，并将各地的销售收益绘制成频率分布直方图（如图所示）．由于工作人员操作失误，横轴的数据丢失，但可以确定横轴是从开始计数的．‎ ‎（Ⅰ）根据频率分布直方图，计算图中各小长方形的宽度；‎ ‎（Ⅱ）根据频率分布直方图，估计投入万元广告费用之后，销 售收益的平均值（以各组的区间中点值代表该组的取值）；‎ ‎（Ⅲ）按照类似的研究方法，测得另外一些数据，并整理得到下表：‎ 广告投入x（单位：万元）‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ 销售收益y（单位：百万元）‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎2‎ ‎7‎ 表中的数据显示，与之间存在线性相关关系，请将（Ⅱ）的结果填入空白栏，并计算关于的回归方程．回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为．‎ ‎21．（本小题满分12分）‎ 已知以坐标原点为圆心的圆与抛物线：相交于不同的两点，与抛物线的准线相交于不同的两点，且.‎ ‎（Ⅰ）求抛物线的方程；‎ ‎（Ⅱ）若不经过坐标原点的直线与抛物线相交于不同的两点，且满足.证明直线过轴上一定点，并求出点的坐标.‎ ‎22.（本小题满分12分）‎ 椭圆的离心率是，点在短轴上，且.‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）设为坐标原点，过点的动直线与椭圆交于两点.是否存在常数，使得为定值？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.‎ ‎2018年秋四川省棠湖中学高二年级期末考试 数学（理）试卷参考答案 一、选择题 ‎1-5:CCDDA 6-10:BCACA 11-12:AC 二、填空题 ‎13． 14． 15.40 16．6 ‎ 三、解答题 ‎17.（1）由分层抽样可得班人数为：（人）；‎ ‎（2）记从班选出学生锻炼时间为，班选出学生锻炼时间为，则所有为 ‎，，，，，，，，共9种情况，而满足的，有2种情况，所以，所求概率.‎ ‎18. 解：（1）设所求双曲线方程为 代入点得，即 所以双曲线方程为，即.‎ ‎（2）.直线的方程为.设 联立得 满足 由弦长公式得 点到直线的距离.‎ 所以 ‎19.解：（Ⅰ）在三棱柱ABC-A1B‎1C1中，∵CC1⊥平面ABC，‎ ‎∴四边形A1ACC1为矩形．又E，F分别为AC，A‎1C1的中点，‎ ‎∴AC⊥EF．∵AB=BC．‎ ‎∴AC⊥BE，∴AC⊥平面BEF．‎ ‎（Ⅱ）由（I）知AC⊥EF，AC⊥BE，EF∥CC1．又CC1⊥平面ABC，‎ ‎∴EF⊥平面ABC．‎ ‎∵BE平面ABC，∴EF⊥BE．如图建立空间直角坐称系E-xyz．‎ 由题意得B（0，2，0），C（-1，0，0），D（1，0，1），F（0，0，2），G（0，2，1）．‎ ‎∴，‎ 设平面BCD的法向量为，∴，∴，‎ 令a=2，则b=-1，c=-4，∴平面BCD的法向量，‎ 又∵平面CDC1的法向量为，∴．‎ 由图可得二面角B-CD-C1为钝角，所以二面角B-CD-C1的余弦值为．‎ ‎（Ⅲ）平面BCD的法向量为，∵G（0，2，1），F（0，0，2），‎ ‎∴，∴，∴与不垂直，‎ ‎∴GF与平面BCD不平行且不在平面BCD内，∴GF与平面BCD相交．‎ ‎20．（12分）解:（Ⅰ）设各小长方形的宽度为，由频率分布直方图各小长方形面积总和为1，可知，故；‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知各小组依次是，‎ 其中点分别为，对应的频率分别为，‎ 故可估计平均值为；‎ ‎（Ⅲ）空白栏中填5．‎ 由题意可知，，，‎ ‎，，‎ 根据公式，可求得，，‎ 即回归直线的方程为．‎ ‎21.解：（1）由已知，，则两点所在的直线方程为 则，故∴抛物线的方程为.‎ ‎（2）由题意，直线不与轴垂直，设直线的方程为，‎ ‎.联立消去，得.‎ ‎∴，，，‎ ‎∵，∴，又，∴‎ ‎∴；解得或 而，∴（此时）∴直线的方程为，‎ 故直线过轴上一定点.‎ ‎22.解：（1）由已知，点的坐标分别为，.又点的坐标为，且，‎ 于是，，，解得，.所以椭圆方程为.‎ ‎（2）当直线的斜率存在时，设直线的方程为，的坐标分别为 ‎，.联立，得.其判别式，所以，.从而，.‎ 所以，当时，.此时，为定值.‎ 当直线斜率不存在时，直线即为直线，此时，‎ 故存在常数，使得为定值-3.‎