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- 2021-06-19 发布
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滁州市民办高中2017-2018学年下学期第二次月考
高二理科数学
注意事项：
1. 本卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题），满分150分，考试时间120分钟。
2. 答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卷上。
3. 请将答案正确填写在答题卷上，写在其它地方无效。
4. 本次考题主要范围：选修2-2等
第I卷（选择题 60分）
一、选择题
1.已知复数，则（ ）
A. B. C. D.
2.函数的导数为（ ）
A. B. C. D.
3.直线y=4x与曲线y=x3在第一象限内围成的封闭图形的面积为（ ）
A.2 B.4 C.2 D.4
4.函数 在上单调递增，那么a的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
5.已知分段函数，则等于（ ）
A. B. C. D.
6.表示一个两位数，十位数和个位数分别用， 表示，记，如，则满足的两位数的个数为（ ）
A. B. C. D.
7.已知函数f(x)＝x3＋bx2＋cx的图象如图所示，则 ( )．
A. B. C. D.
8.定义在R上的偶函数f（x）的导函数为f'（x），若对任意的实数x，都有2f（x）+xf'（x）＜2恒成立，则使x2f（x）﹣4f（2）＜x2﹣4成立的实数x的取值范围是（ ）
A.（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞） B.（﹣2，0）∪（0，2）
C.{x|x≠±2} D.（﹣2，2）
9.函数,则在的最大值（ ）
A. B.
C. D.
10.36的所有正约数之和可按如下方法得到：因为36＝22×32，所以36的所有正约数之和为（1＋3＋32）＋（2＋2×3＋2×32）＋（22＋22×3＋22×32）＝（1＋2＋22）（1＋3＋32）＝91，参照上述方法，可得100的所有正约数之和为（ ）
A. 217 B. 273 C. 455 D. 651
11.已知点P是曲线 上一动点，α为曲线在点P处的切线的倾斜角，则α的最小值是（ ）
A.0 B. C. D.
12.已知是常数，函数的导函数的图像如图所示，则函数的图像可能是（ ）
A. B. C. D.
第II卷（非选择题 90分）
二、填空题
13.若f（2）=3，f′（2）=﹣3，则 = ．
14.若复数满足（为虚数单位），则______________．
15.函数f（x）=ex+x在[﹣1，1]上的最大值是 ．
16.定义函数y=f（x），x∈I，若存在常数M，对于任意x1∈I，存在唯一的x2∈I，使得=M，则称函数f（x）在I上的“均值”为M，已知f（x）=log2x，x∈[1，22014]，则函数f（x）=log2x在[1，22014]上的“均值”为
三、解答题
17.设函数．
（Ⅰ）求的单调区间；
（Ⅱ）求在区间上的最大值和最小值.
18.观察下列不等式：
；
；
；
；
……
（1）由上述不等式，归纳出与正整数有关的一个一般性结论；
（2）用数学归纳法证明你得到的结论.
19.已知复数， （， 为虚数单位）
（1）若是纯虚数，求实数的值；
（2）若复数在复平面上对应的点在第二象限，且，求实数的取值范围.
20.已知函数
（1）若存在，使成立，求的取值范围；
（2当时， 恒成立，求的取值范围。
21.某工艺品厂要设计一个如图1所示的工艺品，现有某种型号的长方形材料如图2所示，其周长为4m，这种材料沿其对角线折叠后就出现图1的情况．如图，ABCD（AB＞AD）为长方形的材料，沿AC折叠后AB'交DC于点P，设△ADP的面积为S2 ， 折叠后重合部分△ACP的面积为S1 ．
（Ⅰ）设AB=xm，用x表示图中DP的长度，并写出x的取值范围；
（Ⅱ）求面积S2最大时，应怎样设计材料的长和宽？
（Ⅲ）求面积（S1+2S2）最大时，应怎样设计材料的长和宽？
22.已知函数 .
（Ⅰ）讨论的单调性；
（Ⅱ）设，证明：当时， ；
（Ⅲ）设是的两个零点，证明 .
高二理科数学
参考答案
1.C
【解析】 ，选C
2.D
【解析】本题选择D选项.
3.D
【解析】先根据题意画出图形，得到积分上限为2，积分下限为0， 曲线y=x3与直线y=4x在第一象限所围成的图形的面积是∫ （4x﹣x3）dx，
而∫ （4x﹣x3）dx=（2x2﹣ x4）| =8﹣4=4，
∴曲边梯形的面积是4，
故选：D．
4.A
【解析】利用函数在某个区间上单调递增的条件是此函数的导数在此区间上大于或等于0，得到a-2x≥0在[-2，-]上恒成立，故a-2（-)≥0，从而求得a的取值范围．
由题意知，y′= 在[-2，-]上大于或等于0，故 a-2x≥0在[-2，-
]上恒成立．而 a-2x 在[-2，-]上是个减函数，
∴a-2（-)≥0，a≥-1．
故选A．
5.C
【解析】
，故选C.
6.C
【解析】由题设可得，即，故应选答案C。
7.C
【解析】 ，
因此 ，选C.
8.A
【解析】当x＞0时，由2f（x）+xf′（x）﹣2＜0可知：两边同乘以x得： 2xf（x）﹣x2f′（x）﹣2x＜0
设：g（x）=x2f（x）﹣x2
则g′（x）=2xf（x）+x2f′（x）﹣2x＜0，恒成立：
∴g（x）在（0，+∞）单调递减，
由x2f（x）﹣4f（2）＜x2﹣4，
∴x2f（x）﹣x2
＜4f（2）﹣4，
即g（x）＜g（2）
即x＞2；
当x＜0时，函数是偶函数，同理得：x＜﹣2，
综上可知：实数x的取值范围为（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞），
故选：A．
根据已知构造合适的函数，对函数求导，根据函数的单调性，求出函数的取值范围，并根据偶函数的性质：对称性，求出x＜0的取值范围．
9.D
【解析】由题知，令． ，解得．构造函数令则，即在上是减函数，∴，∴即．
所以随的变化情况如下表：
极小值
又 ．又，则对任意的， 的图象恒在下方，所以，即，即故函数在上的最大值．故本题答案选．
10.A
【解析】类比36的所有正约数之和的方法，有：
100的所有正约数之和可按如下方法得到：因为100=，
所以100的所有正约数之和为(1+2+)(1+5+)=217.
可求得100的所有正约数之和为217.故选A
11.D
【解析】11. .
故答案为:D.
12.D
【解析】12.试题分析：令 的图象为D.
13.9
【解析】由洛必达法则可知： = =3﹣2×f′（2）=9， 故答案为：9．
由函数为 型，根据洛必达法则，代入即可求得 =9．
14.
【解析】由，得，则，故答案为.
15.e+1
【解析】f′（x）=ex+1＞0；
∴f（x）在[﹣1，1]上单调递增；
∴x=1时，f（x）取最大值e+1．
故答案为：e+1．
可求导数，判断导数的符号，从而得出f（x）在[﹣1，1]上单调递增，从而便可求出f（x）的最大值．
16.1007
【解析】f（x）=log2x，x∈[1，22014]，是单调增函数，
∴函数f（x）=log2x在[1，22014]上的“均值”为M=（log21+log222014）=1007，
故答案为：1007．
f（x）=log2x，x∈[1，22014]，是单调增函数，利用定义，即可求出函数f（x）=log2x在[1，22014]上的“均值”
17. 1.（1）单调递增区间为，单调递减区间为．（2）最大值为，最小值为.
【解析】（Ⅰ）由题意知，函数的定义域为．
∵，∴，
令，得，
令，得，
令，得，
所以的单调递增区间为，单调递减区间为．
（Ⅱ）∵， ， ，
又，
所以在区间的最大值为，最小值为.
18.（1） .（2）见解析
【解析】（1）观察上述各不等式，得到与正整数有关的一般不等式为
.
（2）以下用数学归纳法证明 （）.
①当时，由题设可知，不等式显然成立.
②假设当（）时，不等式成立，即 ，
那么，当时，有 .
下证，即证.
即证 ，
即证，
即证，
即证.而显然成立.
因此 成立.
所以当时，不等式也成立.
根据①和②，不等式 对任意都成立.
19.（1）；（2）。
【解析】（1）依据
根据题意是纯虚数，故， 且 ， 故；
（2）依，
根据题意在复平面上对应的点在第二象限，可得
综上，实数的取值范围为
20.（1）（2）
【解析】
（1）
（2） ,所以的取值范围为
21.解：（Ⅰ）由题意，AB=x，BC=2﹣x，∵x＞2﹣x，∴1＜x＜2
设DP=y，则PC=x﹣y，由△ADP≌△CB'P，故PA=PC=x﹣y，
由PA2=AD2+DP2，得（x﹣y）2=（2﹣x）2+y2
即： .
（Ⅱ）记△ADP的面积为S2，则 ．
当且仅当 时，S2取得最大值．
故当材料长为 ，宽为 时，S2最大．
（Ⅲ）
于是令 ，∴
∴关于x的函数 在 上递增，在 上递减，
∴当 时，S1+2S2取得最大值．
故当材料长为 ，宽为 时，S1+2S2最大
22.（Ⅰ）在上单调递减，在上单调递增；（Ⅱ）当时，；（Ⅲ）证明过程见解析
【解析】（Ⅰ）的定义域为 ，
求导数，得 ，
若 ，则，此时在上单调递增，
若 ，则由得，当时， ，当时， ，
此时在上单调递减，在上单调递增.
（Ⅱ）令，则
.
求导数，得 ，
当时， ，在上是减函数.
而， ，
故当时，
（Ⅲ）由（Ⅰ）可知，当时，函数至多有一个零点，
故，从而的最小值为，且，
不妨设，则， ，
由（Ⅱ）得 ，
从而，于是，
由（Ⅰ）知， .
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