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- 2021-06-19 发布
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全品教学网2018年高考数学讲练测【新课标版文】【测】【来.源:全,品…中&高*考*网】第七章 不等式
第04节 基本不等式及其应用
班级__________ 姓名_____________ 学号___________ 得分__________
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选择中,只有一个是符合题目要求的.)
1.下列不等式一定成立的是( )
A.
B.
C.
D.
【答案】C
2. 【2018贵州贵阳市第一中学模拟】在等差数列{an}中,若an>0,且a5=2,则1a2+9a8的最小值为( )
A. 4 B. 6 C. 8 D. 16
【答案】A
【解析】由等差数列性质得:a2+a8=2a5=4,
1a2+9a8=14(1a2+9a8)(a2+a8)=14(1+9+9a2a8+a8a2)≥14(10+29a2a8*a8a2)=4 ,
等号成立的条件为9a2a8=a8a2,a8=3a2 ,故选A.
3. 【2018东北四市一模试题】已知x>0,y>0,且4x+y=xy,则x+y的最小值为( )
A. 8 B. 9 C. 12 D. 16
【答案】B
【解析】由题意可得:4y+1x=1,则:
x+y=x+y4y+1x=5+4xy+yx≥5+24xy×yx=9,
当且仅当x=3,y=6时等号成立,
综上可得:则x+y的最小值为9.
本题选择B选项.
4.设,若的最小值为
A. B.8 C. D.
【答案】D
【解析】
试题分析:因为,所以,又因为所以,
,当且仅当即取等号,答案为D.
5.已知x>0,y>0,且4xy-x-2y=4,则xy的最小值为( )
A. B.2 C. D.2
【答案】D【来.源:全,品…中&高*考*网】
【解析】 ∵x>0,y>0, x+2y≥2,
∴4xy-(x+2y)≤4xy-2,
∴4≤4xy-2,即(-2)( +1)≥0,
∴≥2,∴xy≥2.
6. 已知函数,若且,则的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由已知得:,
所以.注意,因为,所以不能取等号.选D.
7.点在由点、确定的直线上,且,则的值为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由题意得,则选A.
8.设均为正数,且,则的最小值为( )
A.16 B.15 C.10 D.9
【答案】D
9. 【2018河南林州市第一中学模拟】已知正项等比数列的前项和为,且,则的最小值为( )
A. 10 B. 15 C. 20 D. 25
【答案】C
【解析】由题意可得: ,由可得,
由等比数列的性质可得: 成等比数列,
则: ,综上可得:
,
当且仅当时等号成立.
综上可得,则的最小值为20.
本题选择C选项.
10. 【2018黑龙江大庆实验中学模拟】若直线mx+ny+2=0(m>0,n>0)截得圆的弦长为2,则 的
最小值为( )
A. 4 B. 6 C. 12 D. 16
【答案】B
11. 【2018湖南岳阳一中模拟】已知,则的最小值为( )
A. 6 B. 4 C. D.
【答案】A
【解析】因为,而(当且仅当时取等号),故 (当且仅当取等号),应选答案A。
12.【2018河南南阳第一中学模拟】已知,若,则的最大值为( )
A. 3 B. 4 C. 14 D. 8
【答案】B
【解析】恒成立,
即恒成立,
只要,
,
本题选择B选项.
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填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中的横线上.)
13.【2018江西南昌模拟】已知函数的最小值为6,则正数的值为_________.
【答案】
【解析】 令 的最小值为6 , 解得 ,故答案为
14. 【2018江苏南京溧水高级中学模拟】以为钝角的中, ,当角最大时, 面积为________.
【答案】
【解析】过作,垂足为,则, ,又,设,则,当且仅当,即时取“=”,由正切函数的单调性可知此时也最大,综上所述, 的面积为,故答案为.
15. 【2018河南南阳市第一中学模拟】设, 时满足的正数,则的最大值是__________.
【答案】【来.源:全,品…中&高*考*网】
【解析】∵x,y是满2x+y=4的正数
即xy⩽2
∴lgx+lgy=lgxy⩽lg2即最大值为lg2.【来.源:全,品…中&高*考*网】
16.【2018河南师范大学附属中学模拟】已知分别为内角的对边, ,且,则面积的最大值为__________.
【答案】
解答题 (本大题共4小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
17.利用基本不等式求最值:
(1)若,求函数 的最小值,并求此时x的值.
(2)设 ,求函数 的最大值.
【解析】(1)当时,,所以当且仅当,即x=2时取等号.
因此,函数 在x = 2时取得最小值4 .
(2)由 得,,所以
,
当且仅当2x=3-2x,即x = 时取等号.因此,函数的最大值为
18.若对任意x>0,≤a恒成立,求a的取值范围.
【解析】∵a≥=对任意x>0恒成立,设u=x++3,∴只需a≥恒成立即可.
∵x>0,∴u≥5(当且仅当x=1时取等号).
由u≥5,知0< ≤,∴a≥.
19.【2018·山东齐鲁名校第二次调研】首届世界低碳经济大会在南昌召开,本届大会以“节能减排,绿色生态”为主题.某单位在国家科研部门的支持下,进行技术攻关,采用了新工艺,把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品.已知该单位每月的处理量最少为300吨,最多为600吨,月处理成本y(元)与月处理量x(吨)之间的函数关系可近似地表示为y=x2-200x+45 000,且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为200元
(1)该单位每月处理量为多少吨时,才能使每吨的平均处理成本最低?
(2)该单位每月能否获利?如果获利,求出最大利润;如果不获利,则需要国家至少补贴多少元才能使该单位不亏损?
20.在中,角所对的边分别为,已知,.
(1)当成等差数列时,求的面积;【来.源:全,品…中&高*考*网】
(2)设为边的中点,求线段长的最小值.
【解析】
(1)因为成等差数列,所以,
由余弦定理,得,解得,
从而.
(2)方法一:因为为边的中点,所以,
则
,当且仅当时取等号,
所以线段长的最小值为.
方法二:因为为边的中点,所以可设,
由,得,
即,
又因为,
即,所以,
故,当且仅当时取等号,
所以线段长的最小值为.