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- 2021-06-19 发布
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必修二 第四章 圆与方程(B)
一、选择题
1、过点P(－2,4)作圆O：(x－2)2＋(y－1)2＝25的切线l，直线m：ax－3y＝0与直线l平行，则直线l与m间的距离为( )
A．4 B．2 C． D．
2、若x、y满足x2＋y2－2x＋4y－20＝0，则x2＋y2的最小值是( )
A．－5 B．5－
C．30－10 D．无法确定
3、直线y＝x＋b与曲线x＝有且只有一个公共点，则b的取值范围是( )
A．|b|＝
B．－12 B．－32 D．以上都不对
二、填空题
13、两圆x2＋y2＋4y＝0，x2＋y2＋2(a－1)x＋2y＋a2＝0在交点处的切线互相垂直，那么实数a的值为________．
14、点M(1,2，－3)关于原点的对称点是________．
15、已知圆心在x轴上，半径为的圆O位于y轴左侧，且与直线x＋y＝0相切，则圆O的方程是________．
16、已知P(3,0)是圆x2＋y2－8x－2y＋12＝0内一点，则过点P的最短弦所在直线方程是________，过点P的最长弦所在直线方程是________．
三、解答题
17、已知动直线l：(m＋3)x－(m＋2)y＋m＝0与圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝9．
(1)求证：无论m为何值，直线l与圆C总相交．
(2)m为何值时，直线l被圆C所截得的弦长最小？请求出该最小值．
18、已知三条直线l1：x－2y＝0，l2：y＋1＝0，l3：2x＋y－1＝0两两相交，先画出图形，再求过这三个交点的圆的方程．
19、已知A(3,5)，B(－1,3)，C(－3,1)为△ABC的三个顶点，O、M、N分别为边AB、BC、CA的中点，求△OMN的外接圆的方程，并求这个圆的圆心和半径．
20、已知圆C：x2＋y2＋2x－4y＋3＝0．
(1)若圆C的切线在x轴和y轴上的截距相等，求此切线的方程．
(2)从圆C外一点P(x1，y1)向该圆引一条切线，切点为M，O为坐标原点，且有|PM|＝|PO|，求使得|PM|取得最小值的点P的坐标．
21、矩形ABCD的两条对角线相交于点M(2,0)，AB边所在直线的方程为x－3y－6＝0，点T(－1,1)在AD边所在直线上．
(1)求AD边所在直线的方程；
(2)求矩形ABCD外接圆的方程．
22、在三棱柱ABO－A′B′O′中，∠AOB＝90°，侧棱OO′⊥面OAB，OA＝OB＝OO′＝2．若C为线段O′A的中点，在线段BB′上求一点E，使|EC|最小．
以下是答案
一、选择题
1、A [根据题意，知点P在圆上，
∴切线l的斜率k＝－＝－＝．
∴直线l的方程为y－4＝(x＋2)．
即4x－3y＋20＝0．
又直线m与l平行，
∴直线m的方程为4x－3y＝0．
故直线l与m间的距离为d＝＝4．]
2、C [配方得(x－1)2＋(y＋2)2＝25，圆心坐标为(1，－2)，半径r＝5，所以的最小值为半径减去原点到圆心的距离，即5－，故可求x2＋y2的最小值为30－10．]
3、D [
如图，由数形结合知，选D．]
4、D [l为两圆圆心连线的垂直平分线，(0,0)与(－2,2)的中点为(－1,1)，kl＝1，
∴y－1＝x＋1，即x－y＋2＝0．]
5、A [设点A关于点(0,1，－3)的对称点为A′(x，y，z)，则(0,1，－3)为线段AA′的中点，即＝0，＝1，＝－3，
∴x＝－3，y＝4，z＝－10．∴A′(－3,4，－10)．]
6、A [设两切线切点分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则两切线方程为x1x＋y1y＝4，
x2x＋y2y＝4．
又M(4，－1)在两切线上，∴4x1－y1＝4,4x2－y2＝4．
∴两切点的坐标满足方程4x－y＝4．]
7、B [由直线的斜率a与在y轴上的截距b的符号，可判定圆心位置，又圆过原点，所以只有B符合．]
8、B [圆C1与C2方程相减得两圆公共弦方程，当圆C2的圆心在公共弦上时，圆C1始终平分圆C2的周长，所以选B．]
9、B [由题意知，圆心(1,0)到P点的距离为，所以点P在以(1,0)为圆心，以为半径的圆上，所以点P的轨迹方程是(x－1)2＋y2＝2，故选B．]
10、A [由题意知P(0，－)．P到圆心(－1,0)的距离为2，
∴P分直径所得两段为5－2和5＋2，即3和7．
选A．]
11、C [由勾股定理，得(m－2)2＋n2＝8．]
12、C [由题意知点在圆外，故12＋22＋k＋2×2＋k2－15>0，解得k<－3或k>2．]
二、填空题
13、－2
解析 两圆心与交点构成一直角三角形，由勾股定理和半径范围可知a＝－2．
14、(－1，－2,3)
15、(x＋2)2＋y2＝2
解析 设圆心坐标为(a,0)(a<0)，则由圆心到直线的距离为知＝，故a＝－2，因此圆O的方程为(x＋2)2＋y2＝2．
16、x＋y－3＝0，x－y－3＝0
解析 点P为弦的中点，即圆心和点P的连线与弦垂直时，弦最短；过圆心即弦为直径时最长．
三、解答题
17、(1)证明 直线l变形为m(x－y＋1)＋(3x－2y)＝0．
令解得
如图所示，故动直线l恒过定点A(2,3)．
而|AC|＝＝<3(半径)．
∴点A在圆内，故无论m取何值，直线l与圆C总相交．
(2)解 由平面几何知识知，弦心距越大，弦长越小，即当AC垂直直线l时，弦长最小，
此时kl·kAC＝－1，即·＝－1，∴m＝－．
最小值为2＝2．
故m为－时，直线l被圆C所截得的弦长最小，最小值为2．
18、解
l2平行于x轴，l1与l3互相垂直．三交点A，B，C构成直角三角形，经过A，B，C三点的圆就是以AB为直径的圆．
解方程组得
所以点A的坐标是(－2，－1)．
解方程组得
所以点B的坐标是(1，－1)．
线段AB的中点坐标是，又|AB|＝＝3．
所求圆的标准方程是2＋(y＋1)2＝．
19、解 ∵点O、M、N分别为AB、BC、CA的中点且A(3,5)，B(－1,3)，C(－3,1)，
∴O(1,4)，M(－2,2)，N(0,3)．
∵所求圆经过点O、M、N，
∴设△OMN外接圆的方程为
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
把点O、M、N的坐标分别代入圆的方程得
，
解得．
∴△OMN外接圆的方程为x2＋y2＋7x－15y＋36＝0，
圆心为，半径r＝．
20、解 (1)将圆C整理得(x＋1)2＋(y－2)2＝2．
①当切线在两坐标轴上的截距为零时，设切线方程为y＝kx，
∴圆心到切线的距离为＝，即k2－4k－2＝0，解得k＝2±．
∴y＝(2±)x；
②当切线在两坐标轴上的截距不为零时，设切线方程为x＋y－a＝0，
∴圆心到切线的距离为＝，即|a－1|＝2，解得a＝3或－1．
∴x＋y＋1＝0或x＋y－3＝0．综上所述，所求切线方程为y＝(2±)x或x＋y＋1＝0或x＋y－3＝0．
(2)∵|PO|＝|PM|，
∴x＋y＝(x1＋1)2＋(y1－2)2－2，即2x1－4y1＋3＝0，即点P在直线l：2x－4y＋3＝0上．
当|PM|取最小值时，即|OP|取得最小值，此时直线OP⊥l，
∴直线OP的方程为：2x＋y＝0，
解得方程组得
∴P点坐标为．
21、解 (1)∵AB所在直线的方程为x－3y－6＝0，且AD与AB垂直，∴直线AD的斜率为－3．
又∵点T(－1,1)在直线AD上，∴AD边所在直线的方程为y－1＝－3(x＋1)，
即3x＋y＋2＝0．
(2)由得
∴点A的坐标为(0，－2)，
∵矩形ABCD两条对角线的交点为M(2,0)，
∴M为矩形ABCD外接圆的圆心，又|AM|＝＝2，
∴矩形ABCD外接圆的方程为(x－2)2＋y2＝8．
22、解
如图所示，
以三棱原点，以OA、OB、OO′所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系Oxyz．
由OA＝OB＝OO′＝2，得A(2,0,0)、B(0,2,0)、O(0,0,0)，A′(2,0,2)、B′(0,2,2)、O′(0,0,2)．
由C为线段O′A的中点得C点坐标为(1,0,1)，设E点坐标为(0,2，z)，
∴|EC|＝
＝．
故当z＝1时，|EC|取得最小值为．
此时E(0,2,1)为线段BB′的中点．
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