【数学】2020届一轮复习人教A版第7课函数的性质(1)学案（江苏专用） 6页

‎___第7课__函数的性质(1)____‎ ‎1. 理解函数的单调性、最大(小)值及其几何意义，能判断或证明一些简单函数的单调性．‎ ‎2. 掌握判断一些简单函数单调性的常用方法．‎ ‎3. 会运用函数图象理解和研究函数的单调性.‎ ‎1. 阅读：必修1第37～39页．‎ ‎2. 解悟：①圈出第37页蓝色框中关于单调函数及单调区间概念中的关键词；②如何求函数的单调区间？有哪些方法？③用定义法判断函数单调性的一般步骤和注意点；④对于基本初等函数，我们一般用什么方法求函数的最值？‎ ‎3. 践习：在教材空白处，完成第40页练习第1、2、5、7、8题.‎ ‎　基础诊断　‎ ‎1. 函数y＝的单调减区间是__(－∞，1)，(1，＋∞)__．‎ 解析：因为y＝＝1＋，所以该函数的单调减区间是(－∞，1)，(1，＋∞)．‎ ‎2. 已知函数y＝f(x)在R上是增函数，且f(m2)>f(－m)，则实数m的取值范围为__(－∞，－1)∪(0，＋∞)__．‎ 解析：因为y＝f(x)在R上是增函数，且f(m2)>f(－m)，所以m2>－m，即m2＋m>0，解得m>0或m<－1，所以实数m的取值范围是(－∞，－1)∪(0，＋∞)．‎ ‎3. 函数y＝x2－lnx的单调减区间为__(0，1]__．‎ 解析：由题意可知x>0，y′＝x－，令y′≤0，则x－≤0，即≤0，解得－1≤x≤1且x≠0.又因为x>0，所以00，解得10，则x－－1>0，解得x>2；‎ 令y′<0，则x－－1<0，解得00且函数f(x)在区间(1，＋∞)上单调递减，求实数a的取值范围．‎ 解析：(1) 设x10，x1－x2<0，‎ 所以f(x1)0，x2－x1>0，‎ 所以要使f(x1)－f(x2)>0，只需(x1－a)(x2－a)>0恒成立，所以a≤1.‎ 综上所述，a的取值范围是(0，1]．‎ 已知函数f(x)＝ax3＋x2＋x－1.‎ ‎(1) 当a＝－时，求f(x)的单调区间；‎ ‎(2) 若函数f(x)在[1，3]上单调递增，求a的取值范围．‎ 解析：(1) 当a＝－时，f(x)＝－x3＋x2＋x－1，‎ 则f′(x)＝－x2＋2x＋1.‎ 令f′(x)≥0，解得1－≤x≤1＋；‎ 令f′(x)<0，解得x<1－或x>1＋.‎ 故当a＝－时，f(x)的单调增区间为[1－，1＋]，‎ 单调减区间为(－∞，1－)，(1＋，＋∞)．‎ ‎(2) f′(x)＝2ax2＋2x＋1≥0对∀∈[1，3]恒成立，‎ 所以a≥－－＝－＋.‎ 因为∈，所以当x＝3时，－(＋1)2＋取最大值－，‎ 所以a的取值范围为.‎ 考向❸ 利用单调性求最值 例3　已知函数f(x)＝，x∈[1，＋∞)．‎ ‎(1) 当a＝时，求函数f(x)的最小值；‎ ‎(2) 若对任意x∈[1，＋∞)，f(x)>0恒成立，求实数a的取值范围．‎ 解析：(1) 当a＝时，f(x)＝x＋＋2.‎ 设1≤x10，2x1x2>2，‎ 所以0<<，1－>0，‎ 所以f(x2)－f(x1)>0，即f(x1)0恒成立，即x2＋2x＋a>0恒成立．‎ 设y＝x2＋2x＋a，x∈[1，＋∞)，‎ 则函数y＝x2＋2x＋a＝(x＋1)2＋a－1在区间[1，＋∞)上是增函数，‎ 所以当x＝1时，ymin＝3＋a，‎ 于是当且仅当ymin＝3＋a>0时，函数f(x)>0恒成立，故a>－3，即实数a的取值范围为(－3，＋∞)．‎ ‎　自测反馈　‎ ‎1. 已知定义在区间(－1，1)上的函数f(x)是减函数，且满足f(1－a)0，x1－x2<0，所以f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)0时，f(x)＝|(ax－1)x|，函数与x轴的交点为(0，0)，，函数的大致图象如图2，故函数f(x)在上单调递增，在(0，＋∞)上不是增函数．‎ 综上，当函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增时，a≤0，故“a≤0”是“函数f(x)＝|(ax－1)x|在区间(0，＋∞)上单调递增”的充要条件．‎ 图1 　　图2‎ ‎4. 若函数f(x)＝(a>0，且a≠1)的值域是[4，＋∞)，则实数a的取值范围是__(1，2]__．‎ 解析：当x≤2时，f(x)＝－x＋6≥－2＋6＝4；当x>2时，若a>1，则f(x)＝3＋logax>3＋loga2，由f(x)的值域可知，3＋loga2≥4，解得1