高中数学必修2第四章 章末复习提升 9页

‎1．圆的方程 ‎(1)圆的标准方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2，其中圆心是C(a，b)，半径长是r.特别地，圆心在原点的圆的标准方程为x2＋y2＝r2.‎ 圆的一般方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)．‎ ‎(2)由于圆的方程均含有三个参变量(a，b，r或D，E，F)，‎ 而确定这三个参数必须有三个独立的条件，因此，三个独立的条件可以确定一个圆．‎ ‎(3)求圆的方程常用待定系数法，此时要善于根据已知条件的特征来选择圆的方程．如果已知圆心或半径长，或圆心到直线的距离，通常可用圆的标准方程；如果已知圆经过某些点，通常可用圆的一般方程．‎ ‎2．点与圆的位置关系 ‎(1)点在圆上 ‎①如果一个点的坐标满足圆的方程，那么该点在圆上．‎ ‎②如果点到圆心的距离等于半径，那么点在圆上．‎ ‎(2)点不在圆上 ‎①若点的坐标满足F(x，y)>0，则该点在圆外；若满足 F(x，y)<0，则该点在圆内．‎ ‎②点到圆心的距离大于半径则点在圆外；点到圆心的距离小于半径则点在圆内．‎ 注意：若P点是圆C外一定点，则该点与圆上的点的最大距离：dmax＝|PC|＋r；最小距离：dmin＝|PC|－r.‎ ‎3．直线与圆的位置关系 直线与圆的位置关系有三种：相交、相离、相切，其判断方法有两种：代数法(通过解直线方程与圆的方程组成的方程组，根据解的个数来判断)、几何法(由圆心到直线的距离d与半径长r的大小关系来判断)．‎ ‎(1)当直线与圆相离时，圆上的点到直线的最大距离为d＋r，最小距离为d－r，其中d为圆心到直线的距离．‎ ‎(2)当直线与圆相交时，圆的半径长、弦心距、弦长的一半构成直角三角形．‎ ‎(3)当直线与圆相切时，经常涉及圆的切线．‎ ‎①若切线所过点(x0，y0)在圆x2＋y2＝r2上，则切线方程为x0x＋y0y＝r2；若点(x0，y0)在圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上，则切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.‎ ‎②若切线所过点(x0，y0)在圆外，则切线有两条．此时解题时若用到直线的斜率，则要注意斜率不存在的情况也可能符合题意．‎ ‎(4)过直线l：Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)与圆C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)的交点的圆系方程是x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＋λ(Ax＋By＋C)＝0，λ是待定的系数．‎ ‎4．圆与圆的位置关系 两个不相等的圆的位置关系有五种：外离、外切、相交、内切、内含，其判断方法有两种：代数法(通过解两圆的方程组成的方程组，根据解的个数来判断)、几何法(由两圆的圆心距d与半径长r，R的大小关系来判断)．‎ ‎(1)求相交两圆的弦长时，可先求出两圆公共弦所在直线的方程，再利用相交两圆的几何性质和勾股定理来求弦长．‎ ‎(2)过圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0的交点的直线方程为(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋F1－F2＝0.‎ ‎5．空间直角坐标系 ‎(1)建立的空间直角坐标系要遵循右手法则，空间上的任意一点都与有序实数组(x，y，z)一 一对应．‎ ‎(2)空间中P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)之间的距离 ‎|P1P2|＝.‎ ‎(3)可利用“关于谁对称，谁保持不变，其余坐标相反”的方法来求空间直角坐标系下的对称点．‎ 题型一　求圆的方程 求圆的方程主要是联想圆系方程、圆的标准方程和一般方程，利用待定系数法解题．采用待定系数法求圆的方程的一般步骤为：‎ ‎(1)选择圆的方程的某一形式；(2)由题意得a，b，r(或D，E，F)的方程(组)；(3)解出a，b，r(或D，E，F)；(4)代入圆的方程．‎ 例1　有一圆与直线l：4x－3y＋6＝0相切于点A(3,6)，且经过点B(5,2)，求此圆的方程．‎ 解　方法一　设圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，则圆心为C(a，b)，由|CA|＝|CB|，CA⊥l，‎ 得 解得a＝5，b＝，r2＝.‎ ‎∴圆的方程为(x－5)2＋2＝.‎ 方法二　设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，圆心为C，由CA⊥l，A(3,6)、B(5,2)在圆上，‎ 得解得 ‎∴所求圆的方程为：x2＋y2－10x－9y＋39＝0.‎ 方法三　设圆心为C，则CA⊥l，又设AC与圆的另一交点为P，则CA方程为y－6＝－(x－3)，‎ 即3x＋4y－33＝0.‎ 又kAB＝＝－2，∴kBP＝，‎ ‎∴直线BP的方程为x－2y－1＝0.‎ 解方程组得 ‎∴P(7,3)．∴圆心为AP中点，半径为|AC|＝.∴所求圆的方程为(x－5)2＋2＝.‎ 跟踪演练1　已知圆经过点A(2，－1)，圆心在直线2x＋y＝0上且与直线x－y－1＝0相切，‎ 求圆的方程．‎ 解　方法一　设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，‎ 其圆心为.‎ ‎∵圆过点A(2，－1)，∴5＋2D－E＋F＝0，①‎ 又圆心在直线2x＋y＝0上，‎ ‎∴2·＋＝0，即2D＋E＝0.②‎ 将y＝x－1代入圆方程得 ‎2x2＋(D＋E－2)x＋(1－E＋F)＝0.‎ Δ＝(D＋E－2)2－8(1－E＋F)＝0.③‎ 将①②代入③中，得(－D－2)2－8(1－2D－5)＝0，‎ 即D2＋20D＋36＝0，∴D＝－2或D＝－18.‎ 代入①②，得或 故所求圆的方程为x2＋y2－2x＋4y＋3＝0‎ 或x2＋y2－18x＋36y＋67＝0.‎ 方法二　设圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)．‎ ‎∵圆心在直线y＝－2x上，∴b＝－2a，‎ 即圆心为(a，－2a)．‎ 又圆与直线x－y－1＝0相切，且过点(2，－1)，‎ ‎∴＝r，(2－a)2＋(－1＋2a)2＝r2，‎ 即(3a－1)2＝2(2－a)2＋2(－1＋2a)2，‎ 解得a＝1或a＝9.‎ ‎∴a＝1，b＝－2，r＝或a＝9，b＝－18，r＝，‎ 故所求圆的方程为：(x－1)2＋(y＋2)2＝2，‎ 或(x－9)2＋(y＋18)2＝338.‎ 题型二　直线与圆、圆与圆的位置关系 ‎(1)直线与圆的位置关系是高考考查的重点，切线问题更是重中之重，判断直线与圆的位置关系以几何法为主，解题时应充分利用圆的几何性质以简化解题过程．‎ ‎(2)解决圆与圆的位置关系的关键是抓住它的几何特征，利用两圆圆心距与两圆半径的和、差的绝对值的大小来确定两圆的位置关系，‎ 以及充分利用它的几何图形的形象直观性来分析问题．‎ 例2　如图所示，在平面直角坐标系xOy中，已知圆C1：(x＋3)2＋(y－1)2＝4和圆C2：(x－4)2＋(y－5)2＝4.‎ ‎(1)若直线l过点A(4,0)，且被圆C1截得的弦长为2，求直线l的方程；‎ ‎(2)设P为平面上的点，满足：存在过点P的无穷多对互相垂直的直线l1和l2，它们分别与圆C1和圆C2相交，且直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等，试求所有满足条件的点P的坐标．‎ 解　(1)由于直线x＝4与圆C1不相交，所以直线l的斜率存在．设直线l的方程为y＝k(x－4)，圆C1的圆心到直线l的距离为d，因为直线l被圆C1截得的弦长为2，所以d＝＝1.由点到直线的距离公式得d＝，从而k(24k＋7)＝0.‎ 即k＝0或k＝－，所以直线l的方程为y＝0或7x＋24y－28＝0.‎ ‎(2)设点P(a，b)满足条件，不妨设直线l1的方程为y－b＝k(x－a)，k≠0，则直线l2的方程为y－b＝－(x－a)．因为圆C1和圆C2的半径相等，且直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等，所以圆C1的圆心到直线l1的距离和圆C2的圆心到直线l2的距离相等，即 ＝，‎ 整理得|1＋3k＋ak－b|＝|5k＋4－a－bk|，‎ 从而1＋3k＋ak－b＝5k＋4－a－bk或1＋3k＋ak－b＝‎ ‎－5k－4＋a＋bk，‎ 即(a＋b－2)k＝b－a＋3或(a－b＋8)k＝a＋b－5，‎ 因为k的取值范围有无穷多个，‎ 所以或 解得或 这样点P只可能是点P1或点P2.‎ 经检验点P1和P2满足题目条件．‎ 跟踪演练2　已知圆M：(x－1)2＋(y－1)2＝4，直线l过点P(2,3)且与圆M交于A，B两点，且|AB|＝2，求直线l的方程．‎ 解　(1)当直线l存在斜率时，设直线l的方程为y－3＝k(x－2)，即kx－y＋3－2k＝0.‎ 作示意图如图，作MC⊥AB于C.‎ 在Rt△MBC中，‎ ‎|BC|＝，|MB|＝2，‎ 故|MC|＝＝1，‎ 由点到直线的距离公式得＝1，‎ 解得k＝.‎ 所以直线l的方程为3x－4y＋6＝0.‎ ‎(2)当直线l的斜率不存在时，其方程为x＝2，‎ 且|AB|＝2，所以适合题意．‎ 综上所述，直线l的方程为3x－4y＋6＝0或x＝2.‎ 题型三　与圆有关的最值问题 在解决有关直线与圆的最值和范围问题时，最常用的方法是函数法，把要求的最值或范围表示为某个变量的关系式，用函数或方程的知识，尤其是配方的方法求出最值或范围；除此之外，数形结合的思想方法也是一种重要方法，直接根据图形和题设条件，应用图形的直观位置关系得出要求的范围．‎ 例3　已知圆C：(x＋2)2＋y2＝1，P(x，y)为圆C上任一点．‎ ‎(1)求的最大值与最小值；‎ ‎(2)求x－2y的最大值与最小值．‎ 解　(1)显然可以看作是点 P(x，y)与点Q(1,2)连线的斜率．令＝k，如图所示，则其最大、最小值分别是过点Q(1,2)的圆C的两条切线的斜率．‎ 对上式整理得kx－y－k＋2＝0，‎ ‎∴＝1，∴k＝.‎ 故的最大值是，最小值是.‎ ‎(2)令u＝x－2y，则u可视为一组平行线，当直线和圆C有公共点时，u的范围即可确定，且最值在直线与圆相切时取得．‎ 依题意，得＝1，解得u＝－2±，‎ 故x－2y的最大值是－2＋，最小值是－2－.‎ 跟踪演练3　当曲线y＝1＋与直线y＝k(x－2)＋4有两个相异交点时，实数k的取值范围是(　　)‎ A. B. C. D. 答案　C 解析　曲线y＝1＋是以(0,1)为圆心，2为半径的半圆(如图)，直线y＝k(x－2)＋4是过定点(2,4)的直线．‎ 设切线PC的斜率为k0，则切线PC的方程为y＝k0(x－2)＋4，圆心(0,1)到直线PC的距离等于半径2，即＝2，k0＝.‎ 直线PA的斜率为k1＝.‎ 所以，实数k的取值范围是