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  • 2021-06-19 发布

2021高考数学一轮复习课时作业40空间几何体的表面积和体积理

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课时作业40 空间几何体的表面积和体积 ‎ [基础达标]‎ 一、选择题 ‎1.若圆锥的侧面展开图是圆心角为120°,半径为l的扇形,则这个圆锥的表面积与侧面积比是(  )‎ A.3:2 B.2:1‎ C.4:3 D.5:3‎ 解析:底面半径r=l=l,故圆锥中S侧=πl2,S表=πl2+π2=πl2,所以表面积与侧面积的比为4:3.‎ 答案:C ‎2.[2020·重庆一中调考]一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为(  )‎ A.3π B.4π C.2π+4 D.3π+4‎ 解析:由几何体的三视图可知,该几何体为半圆柱,直观图如图所示,表面积为2×2+2××π×12+π×1×2=4+3π,故选D项.‎ 答案:D 10‎ ‎3.[2020·益阳市,湘潭市高三调研]如图,网格纸上小正方体的边长为1,粗实线画出的是某三棱锥的三视图,则该三棱锥的体积是(  )‎ A. B. C. D.4‎ 解析:由三视图可得三棱锥为图中所示的三棱锥A-PBC(放到棱长为2的正方体中),VA-PBC=×S△PBC×AB=××2×2×2=.故选B.‎ 答案:B ‎4.[2020·云南昆明教学质量检测]一个三棱柱的三视图如图所示,则该三棱柱的侧面积为(  )‎ A.12 B.24‎ C.12+ D.24+2 解析:根据三视图可知该三棱柱的直观图如图所示,所以该三棱柱的侧面积S=[2+2]×4=(2×2+2)×4=24.故选B项.‎ 答案:B ‎5.[2020·湖南东部六校联考]某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的四个面中,最大面的面积是(  )‎ 10‎ A.4 B.8 C.4 D.8‎ 解析:如图,设该三棱锥为P-ABC,其中PA⊥底面ABC,PA=4,△ABC是边长为4的等边三角形,故PB=PC=4,所以S△ABC=×4×2=4,S△PAB=S△PAC=×4×4=8,S△PBC=×4×=4,故四个面中最大面的面积为S△PBC=4,故选C项.‎ 答案:C ‎6.[2020·湖南六校联考]如图是一个几何体的三视图,且这个几何体的体积为8,则x等于(  )‎ A.1 B.2‎ C.3 D.4‎ 10‎ 解析:由三视图可知,该几何体为一个底面是直角梯形的四棱锥(如图),体积V=·x=8,∴x=4.故选D项.‎ 答案:D ‎7.[2020·山东德州联考]圆锥被一个平面截去一部分后与半球组成一个几何体,如图所示是该几何体的三视图,则该几何体的表面积为(  )‎ A.5π+4 B.10π+4 C.14π+4 D.18π+4 解析:由三视图可知该几何体是由半个圆锥和半个球构成的,所以几何体的表面积为×4×2+×π×22+×4×π×22+×2π×=14π+4.故选C项.‎ 答案:C ‎8.[2020·北京昌平区检测]《九章算术》是我国古代数学著作,书中有如下问题:“今有委米依垣内角,下周八尺,高五尺.问:积及为米几何?”其意思为:在屋内墙角处堆放米,米堆底部的弧长为8尺,米堆的高为5尺,问米堆的体积及堆放的米各为多少?已知米堆所形成的几何体的三视图如图所示,一斛米的体积约为1.62立方尺,由此估算出堆放的米约有(  )‎ A.21斛 B.34斛 C.55斛 D.63斛 解析:设圆锥的底面圆的半径为r,则r=8,解得r=,‎ 10‎ 故米堆的体积为××π×2×5=(立方尺).‎ ‎∵1斛米的体积约为1.62立方尺,‎ ‎∴÷1.62≈21(斛),故选A项.‎ 答案:A ‎9.[2019·河南新乡二模]已知一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为(  )‎ A. B. C. D. 10‎ 解析:由三视图可知,该几何体由一个三棱锥和一个三棱柱组合而成,其直观图如图所示,结合三视图中的数据可知该几何体的体积V=V柱+V锥=×(1+1)×1×2+××(1+1)×1×2=,故选C项.‎ 答案:C ‎10.[2020·广东深圳调研]如图,在平面四边形ABCD中,AB=AD=CD=1,BD=,BD⊥CD,将其沿对角线BD折成四面体ABCD,使平面ABD⊥平面BCD,若四面体ABCD的所有顶点在同一个球面上,则该球的体积为(  )‎ A. B.3π C. D.2π 解析:如图,取BD的中点E,BC的中点O,连接AE,OD,EO,AO.因为AB=AD,所以AE⊥BD.由于平面ABD⊥平面BCD,平面ABD∩平面BCD=BD,所以AE⊥平面BCD.因为AB=AD=CD=1,BD=,所以AE=,EO=,所以OA=.在Rt△BDC中,OB=OC=OD=BC=,所以四面体ABCD的外接球的球心为O,半径为,所以该球的体积V=π×3=.‎ 答案:A 10‎ 二、填空题 ‎11.[2020·南昌模拟]如图,直角梯形ABCD中,AD⊥DC,AD∥BC,BC=2CD=2AD=2,若将直角梯形绕BC边旋转一周,则所得几何体的表面积为________.‎ 解析:本题考查几何体的表面积.所得几何体的表面积是底面圆半径为1、高为1的圆柱的下底面积、侧面积和底面圆半径为1、高为1的圆锥的侧面积之和,即为π+2π+π=(3+)π.‎ 答案:(3+)π ‎12.[2020·黑龙江哈尔滨六中模拟]如图,一个直三棱柱形容器中盛有水,且侧棱AA1=8,当侧面AA1B1B水平放置时,液面恰好过AC,BC,A1C1,B1C1的中点,当底面ABC水平放置时,液面高为________.‎ 解析:设底面ABC的面积为S,当侧面AA1B1B水平放置时,液面恰好过AC,BC,A1C1,B1C1的中点,则水的体积为S×8,当底面ABC水平放置时,设液面高为h,水的体积为Sh,则Sh=S×8,可得h=6.‎ 答案:6‎ ‎13.[2020·湖南重点中学联考]《九章算术》是我国古代的数学名著,书中将底面为直角三角形,且侧棱垂直于底面的三棱柱称为堑堵.已知一个堑堵的底面积为6,其各面均与体积为的球相切,则该堑堵的表面积为________.‎ 解析:设球的半径为r,堑堵底面三角形的周长为l,由已知得r=1,∴堑堵的高为2.则lr=6,l=12,∴表面积S=12×2+6×2=36.‎ 答案:36‎ ‎14.[2020·广东广州调研]已知圆锥的底面半径为1,高为2,点P是圆锥的底面圆周上一点,若一动点从点P出发,绕圆锥侧面一圈之后回到点P,则绕行的最短距离是________.‎ 10‎ 解析:易知圆锥的侧面展开图是扇形,如图,设展开的扇形AOA′的圆心角为α,易得半径OA=3,因为圆锥的底面半径r=1,所以根据弧长公式可得2π=3α,即扇形的圆心角α=.连接AA′,作OH⊥AA′,交AA′于点H,则易得∠AOH=,所以动点从点P出发在圆锥侧面上绕一圈之后回到点P的最短距离为所对的弦长,即AA′=2AH=2×OA×sin∠AOH=2×3×=3.‎ 答案:3 ‎[能力挑战]‎ ‎15.[2020·河北六校联考]如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某几何体的三视图,则该几何体的体积为(  )‎ A. ‎ B. C. ‎ D. 解析:由三视图知,这个几何体是由一个四棱锥S-ABCD挖去个球得到的,其直观图放在正方体(正方体是虚拟图,起辅助作用)中如图所示,故该几何体的体积为×4×4×4- 10‎ ‎××(2)3=,选A项.‎ 答案:A ‎16.[2020·湖南六校联考]在《九章算术》中,将底面为矩形,且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为阳马.如图,若四棱锥P-ABCD为阳马,侧棱PA⊥底面ABCD,且PA=3,BC=AB=4,设该阳马的外接球半径为R,内切球半径为r,则=________.‎ 解析:易知该阳马补形所得到的长方体的体对角线为外接球的直径,所以(2R)2=AB2+BC2+AP2=42+42+32=41,得R=.因为侧棱PA⊥底面ABCD,且底面ABCD为正方形,所以内切球O1在侧面PAD上的射影是△PAD的内切圆,设O1在侧面PAD上的射影为O2,连接O2P,O2A,O2D,则由S△PAD=S△PAO2+S△PDO2+S△ADO2,易得r=1,故=.‎ 答案: ‎17.[2019·全国卷Ⅱ]中国有悠久的金石文化,印信是金石文化的代表之一.印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体,但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面 体”(图1).半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体.半正多面体体现了数学的对称美.图2是一个棱数为48的半正多面体,它的所有顶点都在同一个正方体的表面上,且此正方体的棱长为1.则该半正多面体共有________个面,其棱长为________.‎ 解析:本题主要考查考生的运算求解能力、空间想象能力,考查的核心素养是直观想象、数学运算.‎ 10‎ 依题意知,题中的半正多面体的上、下、左、右、前、后6个面都在正方体的表面上,且该半正多面体的表面由18个正方形,8个正三角形组成,因此题中的半正多面体共有26个面.注意到该半正多面体的俯视图的轮廓是一个正八边形,设题中的半正多面体的棱长为x,则x+x+x=1,解得x=-1,故题中的半正多面体的棱长为-1.‎ 答案:26 -1‎ 10‎

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