数学文卷·2017届陕西省西安市长安区第一中学大学区高三第三次联考（2017 8页

长安一中2014级大学区联考 数学（文）‎ ‎ 第I卷（选择题 共60分）‎ 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）‎ ‎1. 若（是虚数单位），则的共轭复数为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎2.已知全集，集合，，则（ ）‎ A. [1，2] B. C. (1，2] D. ‎ ‎3. 某校开设类选修课2门，类选修课3门，一位同学从中选3门.若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有（ ）‎ A. 3种 B. 6种 C. 9种 D. 18种 ‎ 收入 （万元）‎ ‎8.2‎ ‎8.6‎ ‎10.0‎ ‎11.3‎ ‎11.9‎ 支出 （万元）‎ ‎6.2‎ ‎7.5‎ ‎8.0‎ ‎8.5‎ ‎9.8‎ ‎4. 为了解某社区居民的家庭年收入所年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：‎ 根据上表可得回归直线方程，其中 ，据此估计，该社区一户收入为15万元家庭年支出为( )‎ A．11.4万元 B．11.8万元 C．12.0万元 D．12.2万元 ‎5. 已知命题：，；命题：，，则下列命题中为真命题的是（ ）‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎6. 将函数的图像分别向左、向右各平移个单位长度后，所得的两个图像的对称轴重合，则的最小值为（ ）‎ A. 3 B. C. 6 D. ‎ ‎7. 某几何体的三视图如图所示，此几何体的体积是（ ） ‎ A. B. C. D. ‎ ‎8. 若等比数列的前项和，则（ ）‎ A. 4 B. 12 C. 24 D. 36‎ ‎9. 一个算法的程序框图如图所示，该程序输出的结果为，则空白处应填入的条件是（ ） ‎ A. B. C. D.‎ ‎10. 正项数列中，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎11.已知双曲线的左、右焦点分别是，过的直线交双曲线的右支于两点，若，且，则该双曲线的离心率为（ ）‎ A. B. C. 2 D. ‎ ‎12.已知函数函数恰有三个不同的零点，则实数的取值范围是（ ）‎ A. [，3） B. [，] C. [，3) D .[,1)‎ 第II卷（非选择题 共90分）‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）‎ 13. ‎ 若实数满足，则的取值范围是.‎ 14. ‎ 已知向量满足，且，则向量与的夹角为_______.‎ 15. ‎ 已知过点的直线与椭圆相交于两点，若点是的中点，则直线的方程为.‎ ‎16.如图，是可导函数，直线：是曲线在处的切线，令，是 的导函数，则_______. ‎ 三、解答题（本大题分必考题和选考题两部分，满分70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算过程）‎ ‎（一）必考题（共5小题，每小题12分，共60分）‎ ‎17. (本小题满分12分)‎ 已知锐角中内角所对边的边长分别为，满足 ‎，且.‎ ‎(1)求角的值；‎ ‎(2)设函数，且图像上相邻两最高点间的距离为，求的取值范围.‎ ‎18. (本小题满分12分)‎ 如图，三棱锥中，平面，，，是的中点，是的中点，点在上，.‎ ‎（1）证明：平面；‎ ‎（2）若，求点到平面的距离.‎ ‎19. (本小题满分12分) “一带一路”是“丝绸之路经济带”和“21世纪海上丝绸之路”的简称．某市为了了解人们对“一带一路”的认知程度，对不同年龄和不同职业的人举办了一次“一带一路”知识竞赛，满分100分（90分及以上为认知程度高），现从参赛者中抽取了人，按年龄分成5组（第一组：，第二组，第三组：，第四组：，第五组：），得到如图所示的频率分布直方图，已知第一组有6人．‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）求抽取的人的年龄的中位数（结果保留整数）；‎ ‎（3）从该市大学生、军人、医务人员、工人、个体户五种人中用分层抽样的方法依次抽取6人，42人，36人，24人，12人，分别记为1-5组，从这5个按年龄分的组合5个按职业分的组中每组各选派1人参加知识竞赛代表相应组的成绩，年龄组中1-5组的成绩分别为93，96，97，94，90，职业组中1-5组的成绩分别为93，98，94，95，90．‎ ‎（i）分别求5个年龄组和5个职业组成绩的平均数和方差；‎ ‎（ii）以上述数据为依据，评价5个年龄组和5个职业组对“一带一路”的认知程度，并谈谈你的感想．‎ ‎20.(本小题满分12分)‎ 已知是抛物线上一点，经过点的直线与抛物线交于两点（不同于点），直线分别交直线于点.‎ ‎（1）求抛物线方程及其焦点坐标，准线方程；‎ ‎（2）已知为原点，求证：为定值.‎ ‎21.(本小题满分12分)‎ 已知函数.‎ (1) 求的单调区间和极值点；‎ (2) 是否存在实数，使得函数有三个不同的零点？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由.‎ ‎（二）选考题（共10分.请考生在第22-23两题中任选一道作答，如果多选，则按所做的第一题记分.作答时请写清题号）‎ ‎22. (本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程 已知曲线的参数方程为（为参数，），‎ 以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.‎ (1) 若极坐标为的点在曲线上，求曲线与曲线的交点坐标；‎ ‎(2)若点的坐标为，且曲线与曲线交于两点，求.‎ ‎23.(本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲 已知，，，函数的最小值为4.‎ ‎(1)求的值；‎ ‎(2)求的最小值.‎ 文数答案 一、选择题（共12小题，每小题只有一个正确答案，每小题5分，共60分）‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ C D C B A D C B A D A A 二、填空题（本题共5小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13. 14. ‎ ‎15. 16. 0‎ 三、解答题（共70分，要求写出主要的证明、解答过程）‎ ‎17.(本小题满分12分)‎ 解：(1)因为，由余弦定理知，所以， （2分）‎ 又因为，则由正弦定理得， （4分）‎ 所以，所以. （6分）‎ ‎(2)‎ 由已知，则， （9分）‎ 因为，由于，所以，‎ ‎.于是. （12分）‎ ‎18.(本小题满分12分)‎ ‎（Ⅰ）证明：如图，取中点，连接，‎ ‎∵为中点，.‎ ‎∴. （2分）‎ ‎∵.‎ ‎∴平面平面， （5分）‎ ‎∴平面． （6分）‎ ‎（Ⅱ）∵平面，∴．‎ 又 ‎∴平面PAB． （7分）‎ 又 ‎∴，‎ ‎∴． （9分）‎ 记点P到平面BCD的距离为d，则∴，‎ ‎∴， （11分）‎ 所以，点P到平面BCD的距离为． （12分） ‎ ‎19. (本小题满分12分)‎ 解：（1）根据频率分布直方图得第一组频率为，‎ ‎，． （3分）‎ ‎（2）设中位数为，则，‎ ‎，‎ 中位数为32． （6分）‎ ‎（3）（i）5个年龄组的平均数为，‎ 方差为． （8分）‎ ‎5个职业组的平均数为，‎ 方差为． （10分）‎ ‎（ii）评价：从平均数来看两组的认知程度相同，从方差来看年龄组的认知程度更好． （12分）‎ ‎20.(本小题满分12分)‎ 解：（1）将代入，得，‎ 所以抛物线方程为，焦点坐标为，准线方程为. （4分）‎ ‎（2）设，，，，‎ 设直线方程为，‎ 与抛物线方程联立得到，消去，得：‎ ‎，‎ 则由韦达定理得：‎ ‎，. （7分）‎ 直线的方程为：，即，‎ 令，得，‎ 同理可得：，又，，‎ ‎. （11分）‎ 所以，即为定值. （12分）‎ ‎21.(本小题满分12分) ‎ 解：(1)，‎ 由，得；，得，‎ 所以在上单调递减，在上单调递增.‎ 所以的极小值点为. （5分）‎ (2) 假设存在实数，使得函数有三个不同的零点，‎ 即方程有三个不等实根.‎ 令，，‎ 由，得或；‎ 由，得，‎ 所以在上单调递增，上单调递减，上单调递增，所以的极大值为，的极小值为. （9分）‎ 要使方程有三个不等实根，则函数的图像与轴 要有3个交点.根据的图像可知必须满足 解得.‎ 所以存在实数，使得方程有三个不等实根，‎ 实数的取值范围是. （12分）‎ ‎22.(本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程 (1) 点对应的直角坐标为，‎ 由曲线的参数方程知：曲线是过点的直线，故曲线的方程为.‎ 而曲线的直角坐标方程为，联立得 解得：故交点坐标分别为. （4分）‎ ‎(2)由判断知：在直线上，将代入方程得：，设点对应的参数分别为，‎ 则，，而，所以. （10分） ‎ ‎23.(本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲 解：(1)因为 当且仅当时，等号成立.‎ 又，，所以，‎ 所以的最小值为.‎ 又已知的最小值为4，所以. （5分）‎ (2) 由(1)知，由柯西不等式得，‎ 所以.‎ 当且仅当，即，，时等号成立.‎ 所以的最小值为. （10分）‎