命题角度2-1 利用正弦定理和余弦定理解三角形（第01期）-2018年高考数学（理）备考之百强校大题狂练系列 11页

‎2018届高考数学（理）大题狂练 命题角度1：利用正弦定理和余弦定理解三角形 ‎1.如图中，已知点在边上，且，，，．‎ ‎（1）求的长；‎ ‎（2）求．‎ ‎【答案】（1）；（2）．‎ 试题解析：（1）因为，所以，‎ 所以．‎ 在中，由余弦定理可知， 即，解之得或，由于，所以．‎ ‎（2）在中，由正弦定理可知，，‎ 又由可知，所以 因为，即 考点：1．诱导公式；2．正弦定理与余弦定理．‎ ‎2.在， ， ‎（1）若，求的长 ‎（2）若点在边上， ， ， 为垂足， ，求角的值.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎（2）因为，所以.‎ 在中，由正弦定理可得： ，‎ 因为，所以.‎ 所以，所以.‎ ‎3.如图，在中， ， 为边上的点， 为上的点，且， ， ．‎ ‎（1）求的长；‎ ‎（2）若，求的值．‎ ‎【答案】（1）（2） ‎【解析】试题分析：本题是正弦定理、余弦定理的应用。（1）中，在中可得的大小，运用余弦定理得到关于的一元二次方程，通过解方程可得的值；（2）中先在中由正弦定理得，并根据题意判断出为钝角，根据求出。‎ ‎（2）在中，由正弦定理得，‎ 即 所以，‎ 所以．‎ 因为点在边上，所以，‎ 而，‎ 所以只能为钝角，‎ 所以，‎ 所以 ．‎ ‎4.的内角的对边分别为，且．‎ ‎（1）证明： 成等比数列；‎ ‎（2）若角的平分线交于点，且，求．‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）.‎ ‎【解析】试题分析：（1）利用两角和的余弦函数公式化简已知等式可得sinAsinC=sin2B，由正弦定理可得：b2=ac，即可得证．（2）由已知可得：AD+CD=6，由三角形面积公式可得AD=2CD，从而可求AD=4，CD=2，由（1）可得：b2=36，利用角平分线的性质可得AB=2BC，即c=2a，从而可求a，c的值，进而利用余弦定理可求cosA，即可由余弦定理求得BD的值．‎ 试题解析：.解法一:‎ ‎（1）因为，‎ 所以 ，‎ 化简可得，‎ 由正弦定理得， ，故成等比数列.‎ ‎【注】利用角平分线定理得到同样得分，‎ 在中由余弦定理可得， ，‎ 在中由余弦定理可得， ，‎ 即，求得.‎ 解法二：（1）同解法一.‎ ‎（2）同解法一， .‎ 在中由余弦定理可得， ，‎ 在中由余弦定理可得， ，‎ 即，求得.‎ 解法三：‎ ‎（1）同解法一.‎ ‎（2）同解法二， .‎ 在中由余弦定理可得， ，‎ 由于，从而可得，‎ 在中由余弦定理可得， ，求得，‎ 在中由正弦定理可得， ，即.‎ ‎【注】若求得的值后，在中应用正弦定理求得的，请类比得分.‎ 解法四：‎ ‎（1）同解法一.‎ ‎（2）同解法一， .‎ 在中由余弦定理得， ，‎ 在中由余弦定理得， ，‎ 因为，所以有，‎ 故，‎ 整理得， ，即.‎ ‎5.在中，角的对边分别为，且.‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）若成等差数列，且公差大于0，求的值.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：本题主要考查解三角形中的正弦定理与数列的综合问题、利用正弦定理求三角函数值、等差数列的性质、三角函数值问题等基础知识，同时考查运算转化能力和计算能力. 第一问，根据正弦定理将边转换成角，即可得到；第二问，利用等差中项的概念得，再利用正弦定理将边转换成角，得到，设，两式联立，利用平方关系和两角和的余弦公式，得到，再利用内角和与诱导公式，将转化成，解方程求出的值，即的值.‎ 试题解析：（Ⅰ）由，根据正弦定理得，‎ 所以． 4分 ‎（Ⅱ）由已知和正弦定理以及（Ⅰ）得 ． ①‎ 设， ②‎ ‎①2＋②2，得． ③ 7分 又，，所以，，‎ 故． 10分 代入③式得．‎ 因此． ‎ 考点：1.正弦定理；2.等差中项；3.两角和的余弦公式；4.诱导公式.‎ ‎6.在ΔABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，且B=‎‎60‎‎∘‎，c=4‎． ‎ ‎（Ⅰ）若b=6‎，求角C的正弦值及ΔABC的面积；‎ ‎（Ⅱ）若D,E在线段BC上，且BD=DE=EC，AE=2‎3‎BD，求AD的长．‎ ‎【答案】（I）sinC=‎‎3‎‎3‎，面积为‎6‎2‎+2‎‎3‎；（II）‎13‎.‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎(1)首先利用正弦定理求得sinC=‎‎3‎‎3‎，然后求得sinA，结合面积公式可得ΔABC的面积 为‎6‎2‎+2‎‎3‎.‎ ‎(2)利用题意设出边长，结合余弦定理列出方程，最后利用勾股定理可得AD的长为‎13‎.‎ ‎（Ⅱ）设BD=x，则BE=2x，AE=2‎3‎x，又B=‎‎60‎‎∘‎，c=4‎，‎ 在ΔABE中，由余弦定理得‎12x‎2‎=16+4x‎2‎-2·4·2x·cos‎60‎‎∘‎，‎ 即‎8x‎2‎=16-8x，解得x=1‎，‎ 则BE=2‎，所以‎∠AEB=‎‎90‎‎∘‎，‎ 在直角ΔADE中，AD=AE‎2‎+DE‎2‎=‎12+1‎=‎‎13‎．‎ ‎7.如图，在平面四边形中，已知， ， ，在边上取点，使得，连接，若， .‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）求的长.‎ ‎【答案】（1）（2） ‎【解析】试题分析：（1）在中，直接由正弦定理求出；（2）在中， ， ，可求出，在中，直接由余弦定理可求得.‎ 试题解析：（1）在中，据正弦定理，有.‎ ‎∵， ， ，‎ ‎∴.‎ ‎（2）由平面几何知识，可知，在中，∵， ，‎ ‎∴.‎ ‎∴.‎ 在中，据余弦定理，有 ‎∴ 点睛：此题考查了正弦定理、余弦定理的应用，利用正弦、余弦定理可以很好得解决了三角形的边角关系，熟练掌握定理是解本题的关键．在中，涉及三边三角，知三（除已知三角外）求三，可解出三角形，当涉及两边及其中一边的对角或两角及其中一角对边时，运用正弦定理求解；当涉及三边或两边及其夹角时，运用余弦定理求解.‎ ‎8.已知中，角所对的边分别为，若.‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）若，求的值.‎ ‎【答案】（1）（2）2‎ ‎【解析】试题分析: （1）根据余弦定理边角互化,从而解出a值; （2）根据已知求出与,得到两者相等,故的值为.‎ 试题解析:解：（1）因为，故，所以，‎ 因为，所以，‎ 解得或（舍去），故.‎ ‎9.在ΔABC中，B=‎π‎3‎,点D在边AB上，BD=1‎，且DA=DC .‎ ‎（1）若ΔBCD的面积为‎3‎，求CD；‎ ‎（2）若AC=‎‎3‎，求‎∠DCA.‎ ‎【答案】（1）CD=‎‎13‎（2）‎∠DAC=‎π‎6‎或‎∠DCA=‎π‎18‎.‎ ‎【解析】试题分析：（1）由三角形面积公式求出BC=4‎.再由余弦定理求CD=‎‎13‎.（2）由正弦定理，有ACsin2∠DAC‎=‎CDsin∠DAC，CDsinB‎=‎BDsin⁡(2∠DAC+π‎3‎)‎，联立消CD得‎1‎sinπ‎3‎‎×‎3‎‎2COS∠DAC=‎‎1‎sin⁡(2∠DAC+π‎3‎)‎,解得sin‎2∠DAC+‎π‎3‎‎=COS∠DAC 利用诱导公式得‎∠DAC=‎π‎6‎或‎∠DCA=‎π‎18‎.‎ 试题解析：解：（1）因为SΔBCD‎=‎‎3‎，即‎1‎‎2‎BC⋅BD⋅sinB=‎‎3‎，又B=π‎3‎,BD=1‎，所以BC=4‎.‎ 在ΔBDC中，由余弦定理得，CD‎2‎=16+1-2×4×1×‎1‎‎2‎=13‎，解得CD=‎‎13‎.‎ ‎（2）在ΔACD中，DA=DC，可设‎∠A=∠ADC=θ，则‎∠ADC=π-2θ，又AC=‎‎3‎，由正弦定理，有ACsin2θ‎=‎CDsinθ，所以CD=‎‎3‎‎2cosθ.在ΔBDC中，‎∠BDC=2θ,∠BCD=‎2π‎3‎-2θ，由正弦定理得，CDsinB‎=‎BDsin∠BCD，即‎3‎‎2cosθsinπ‎3‎‎=‎‎1‎sin(‎2π‎3‎-2θ)‎，‎ 化简得cosθ=sin(‎2π‎3‎-2θ)‎，于是sin(π‎2‎-θ)=sin(‎2π‎3‎-2θ)‎，‎ 因为‎0<θ<‎π‎2‎，所以‎0<π‎2‎-θ,-π‎3‎<‎2π‎3‎-2θ<‎‎2π‎3‎，‎ 所以π‎2‎‎-θ=‎2π‎3‎-2θ或π‎2‎‎-θ+‎2π‎3‎-2θ=π，‎ 解得θ=‎π‎6‎或θ=‎π‎18‎，故‎∠DAC=‎π‎6‎或‎∠DCA=‎π‎18‎.‎ ‎10.已知中，角， ， 所对的边分别是， ， ，且，其中是的面积， .‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）若，求的值.‎ ‎【答案】(1) ；(2) .‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎(1)由题意结合三角形 面积公式可得， ，结合两角和差正余弦公式可得的值是；‎ ‎(2)由面积公式可得，结合正弦定理可得.‎ 试题解析：‎ ‎(1)∵，得，得，‎ 即，所以，‎ 又，∴，故， ，‎ 故.‎ ‎ ‎