2021高考数学一轮复习课时作业13变化率与导数导数的计算文 5页

- 1 - 课时作业 13 变化率与导数、导数的计算 [基础达标] 一、选择题 1．函数 f(x)＝(x＋2a)(x－a)2 的导数为( ) A．2(x2－a2) B．2(x2＋a2) C．3(x2－a2) D．3(x2＋a2) 解析：∵f(x)＝(x＋2a)(x－a)2＝x3－3a2x＋2a3， ∴f′(x)＝3(x2－a2)． 答案：C 2．[2020·河南南阳月考]已知函数 f(x)的导函数为 f′(x)，且满足 f(x)＝2xf′(e) ＋ln x，则 f(e)＝( ) A．e B．－1 e C．－1 D．－e 解析：由 f(x)＝2xf′(e)＋ln x，得 f′(x)＝2f′(e)＋1 x ，则 f′(e)＝2f′(e)＋1 e ， 所以 f′(e)＝－1 e ，故 f(x)＝－2 e x＋ln x，所以 f(e)＝－1.故选 C 项． 答案：C 3．[2020·山西太原模拟]已知函数 f(x)＝xln x＋a 的图象在点(1，f(1))处的切线经 过原点，则实数 a 的值为( ) A．1 B．0 C.1 e D．－1 解析：∵f(x)＝xln x＋a，∴f′(x)＝ln x＋1，∴f′(1)＝1，f(1)＝a，∴切线方程 为 y＝x－1＋a，∴0＝0－1＋a，解得 a＝1.故选 A 项． 答案：A 4．[2020·湖南株洲模拟]设函数 y＝xsin x＋cos x 的图象在点(t，f(t))处的切线斜 率为 g(t)，则函数 y＝g(t)图象的一部分可以是( ) - 2 - 解析：由 y＝xsin x＋cos x 可得 y′＝sin x＋xcos x－sin x＝xcos x．则 g(t)＝tcos t，g(t)是奇函数，排除选项 B，D；当 x∈ 0，π 2 时，y>0，排除选项 C.故选 A. 答案：A 5．[2020·广州市高三调研考试]已知直线 y＝kx－2 与曲线 y＝xln x 相切，则实数 k 的值为( ) A．ln 2 B．1 C．1－ln 2 D．1＋ln 2 解析：由 y＝xln x 知 y′＝ln x＋1，设切点为(x0，x0ln x0)，则切线方程为 y－x0ln x0 ＝(ln x0＋1)(x－x0)，因为切线 y＝kx－2 过定点(0，－2)，所以－2－x0ln x0＝(ln x0＋1)(0 －x0)，解得 x0＝2，故 k＝1＋ln 2，选 D. 答案：D 二、填空题 6．[2019·全国卷Ⅰ]曲线 y＝3(x2＋x)ex 在点(0,0)处的切线方程为________． 解析：∵y′＝3(x2＋3x＋1)ex， ∴曲线在点(0,0)处的切线斜率 k＝y′|x＝0＝3， ∴曲线在点(0,0)处的切线方程为 y＝3x. 答案：y＝3x 7．[2020·天津十二重点中学联考]已知函数 f(x)＝(x2－a)ln x，f′(x)是函数 f(x) 的导函数，若 f′(1)＝－2，则 a 的值为________． 解析：∵f(x)＝(x2－a)ln x(x>0)，∴f′(x)＝2xln x＋x2－a x ，∴f′(1)＝1－a＝－2， 得 a＝3. 答案：3 8．[2020·湖南湘东六校联考]已知曲线 f(x)＝ex＋x2，则曲线 y＝f(x)在(0，f(0))处 的切线与坐标轴围成的图形的面积为________． 解析：由题意，得 f′(x)＝ex＋2x，所以 f′(0)＝1.又 f(0)＝1，所以曲线 y＝f(x)在(0， - 3 - f(0))处的切线方程为 y－1＝1×(x－0)，即 x－y＋1＝0，所以该切线与 x，y 轴的交点坐标 分别为(－1,0)，(0,1)，所以该切线与坐标轴围成的图形的面积为1 2 ×1×1＝1 2 . 答案：1 2 三、解答题 9．求下列函数的导数： (1)y＝(3x3－4x)(2x＋1)； (2)y＝x＋cos x x＋sin x ； (3)y＝ 1＋x 5 x2 . 解析：(1)解法一：因为 y＝(3x3－4x)(2x＋1)＝6x4＋3x3－8x2－4x，所以 y′＝24x3＋9x2 －16x－4. 解法二：y′＝(3x3－4x)′(2x＋1)＋(3x3－4x)(2x＋1)′＝(9x2－4)(2x＋1)＋(3x3－ 4x)·2＝24x3＋9x2－16x－4. (2)y′＝ x＋cos x′ x＋sin x － x＋cos x x＋sin x′ x＋sin x 2 ＝ 1－sin x x＋sin x － x＋cos x 1＋cos x x＋sin x 2 ＝－xcos x－xsin x＋sin x－cos x－1 x＋sin x 2 . (3)∵ 1＋x 5 x2 ＝x 3 5 ＋x 2 5  ， ∴y′＝ 1＋x 5 x2 ′＝(x 3 5 )′＋ x 2 5  ′＝3 5 x 2 5  －2 5 x 7 5  . 10．已知函数 f(x)＝x3－4x2＋5x－4. (1)求曲线 f(x)在点(2，f(2))处的切线方程； (2)求经过点 A(2，－2)的曲线 f(x)的切线方程． 解析：(1)因为 f′(x)＝3x2－8x＋5，所以 f′(2)＝1，又 f(2)＝－2， 所以曲线在点(2，f(2))处的切线方程为 y＋2＝x－2， 即 x－y－4＝0. (2)设曲线与经过点 A(2，－2)的切线相切于点 P(x0，x3 0－4x2 0＋5x0－4)，因为 f′(x0)＝ 3x2 0－8x0＋5， - 4 - 所以切线方程为 y－(－2)＝(3x2 0－8x0＋5)(x－2)， 又切线过点 P(x0，x3 0－4x2 0＋5x0－4)， 所以 x3 0－4x2 0＋5x0－2＝(3x2 0－8x0＋5)(x0－2)， 整理得(x0－2)2(x0－1)＝0，解得 x0＝2 或 1， 所以经过 A(2，－2)的曲线 f(x)的切线方程为 x－y－4＝0 或 y＋2＝0. [能力挑战] 11．[2020·江西南昌模拟]已知 f(x)在 R 上连续可导，f′(x)为其导函数，且 f(x)＝ ex＋e－x－xf′(1)·(ex－e－x)，则 f′(2)＋f′(－2)－f′(0)f′(1)＝( ) A．4e2＋4e－2 B．4e2－4e－2 C．0 D．4e2 解析：函数 f(－x)＝e－x＋ex－(－x)f′(1)·(e－x－ex)＝f(x)，即函数 f(x)是偶函数， 两边对 x 求导数，得－f′(－x)＝f′(x)．即 f′(－x)＝－f′(x)，则 f′(x)是 R 上的奇函 数，则 f′(0)＝0，f′(－2)＝－f′(2)，即 f′(2)＋f′(－2)＝0，则 f′(2)＋f′(－2) －f′(0)f′(1)＝0.故选 C 项． 答案：C 12．[2020·河北保定乐凯中学模拟]设函数 f(x)＝g(x)＋x2，曲线 y＝g(x)在点(1，g(1)) 处的切线方程为 y＝2x＋1，则曲线 y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线的斜率为( ) A．2 B.1 4 C．4 D．－1 2 解析：因为曲线 y＝g(x)在点(1，g(1))处的切线方程为 y＝2x＋1，所以 g′(1)＝2.又 f′(x)＝g′(x)＋2x，故曲线 y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线的斜率为 f′(1)＝g′(1)＋2 ＝4.故选 C 项． 答案：C 13．[2020·四川绵阳月考]过点 A(2,1)作曲线 f(x)＝x3－3x 的切线，最多有( ) A．3 条 B．2 条 C．1 条 D．0 条 解析：设切点为 P(x0，x3 0－3x0)．易知 f′(x0)＝3x2 0－3，则切线方程为 y－x3 0＋3x0＝(3x2 0 －3)(x－x0)，代入(2,1)得，2x3 0－6x2 0＋7＝0.令 y＝2x3 0－6x2 0＋7，则 y′＝6x2 0－12x0.由 y′＝0， 得 x0＝0 或 x0＝2，且当 x0＝0 时，y＝7>0，x0＝2 时，y＝－1<0，所以方程 2x3 0－6x2 0＋7＝0 有 3 个解，则过点 A(2,1)作曲线 f(x)＝x3－3x 的切线的条数是 3 条．故选 A 项． 答案：A - 5 -