高考数学人教A版（理）一轮复习：第七篇第2讲一元二次不等式及其解法 6页

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2021-06-19 发布

高考数学人教A版（理）一轮复习：第七篇第2讲一元二次不等式及其解法

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第2讲一元二次不等式及其解法 A级　基础演练 ‎(时间：30分钟　满分：55分)‎ 一、选择题(每小题5分，共20分)‎ ‎1．(2012·南通二模)已知f(x)＝则不等式f(x)2，因此x<0.‎ 综上，x<4.故f(x)0，不等式－c0，∴－0的解集是 (　　)．‎ A．(0,1)∪(，＋∞) B．(－，1)∪(，＋∞)‎ C．(，＋∞) D．(－，)‎ 解析　原不等式等价于或 ‎∴x>或00的解集为，则不等式－cx2＋2x－a>0的解集为________．‎ 解析　由ax2＋2x＋c>0的解集为知a<0，且－，为方程ax2＋2x＋c＝0的两个根，由根与系数的关系得－＋＝－，－×＝，解得a＝－12，c＝2，∴－cx2＋2x－a>0，即2x2－2x－12<0，其解集为(－2,3)．‎ 答案　(－2,3)‎ ‎6．在实数集上定义运算⊗：x⊗y＝x(1－y)，若不等式(x－a)⊗(x＋a)<1对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围是________．‎ 解析　由题意知(x－a)⊗(x＋a)＝(x－a)(1－x－a)＝－x2＋x＋a2－a.故－x2＋x＋a2－a<1对任意x∈R都成立．‎ 即－x2＋x<－a2＋a＋1对任意x∈R都成立．‎ 而－x2＋x＝－2＋≤，只需－a2＋a＋1>即可，即4a2－4a－3<0，解得－ ‎4的解集为{x|x<1或x>b}，‎ ‎(1)求a，b；‎ ‎(2)解不等式ax2－(ac＋b)x＋bc<0.‎ 解　(1)因为不等式ax2－3x＋6>4的解集为{x|x<1或x>b}，所以x1＝1与x2＝b是方程ax2－3x＋2＝0的两个实数根，且b>1.‎ 由根与系数的关系，得解得 ‎(2)由(1)知不等式ax2－(ac＋b)x＋bc<0为x2－(2＋c)x＋2c<0，即(x－2)(x－c)<0.‎ ‎①当c>2时，不等式(x－2)(x－c)<0的解集为{x|22时，不等式的解集为{x|20，‎ 即Δ＝(m－2)2－4(m－1)(－1)>0，得m2>0，‎ 所以m≠1且m≠0.‎ ‎(2)在m≠0且m≠1的条件下，因为＋＝＝m－2，‎ 所以＋＝2－ ‎＝(m－2)2＋2(m－1)≤2.‎ 得m2－2m≤0，所以0≤m≤2.‎ 所以m的取值范围是{m|01的解集为 (　　)．‎ A．(－∞，－1)∪(0，＋∞) B．(－∞，0)∪(1，＋∞)‎ C．(－1,0) D．(0,1)‎ 解析　∵f(x)＝ax2－(a＋2)x＋1，Δ＝(a＋2)2－4a＝a2＋4>0，‎ ‎∴函数f(x)＝ax2－(a＋2)x＋1必有两个不同的零点，‎ 又f(x)在(－2，－1)上有一个零点，则f(－2)f(－1)<0，‎ ‎∴(6a＋5)(2a＋3)<0，∴－1即为－x2－x>0，‎ 解得－10对x∈R恒成立，则关于t的不等式a2t＋10对x∈R恒成立，‎ 则Δ＝4a2－4a<0，所以0t2＋2t－3>0，‎ 即所以10恒成立，则b的取值范围是________．‎ 解析　依题意，f(x)的对称轴为x＝1，且开口向下，‎ ‎∴当x∈[－1,1]时，f(x)是增函数．‎ 若f(x)>0恒成立，则f(x)min＝f(－1)＝－1－2＋b2－b＋1>0，即b2－b－2>0，∴(b－2)(b＋1)>0，∴b>2或b<－1.‎ 答案　(－∞，－1)∪(2，＋∞)‎ ‎4．(2012·浙江)设a∈R，若x>0时均有[(a－1)x－1](x2－ax－1)≥0，则a＝________.‎ 解析　显然a＝1不能使原不等式对x>0恒成立，故a≠1且当x1＝，a≠1时原不等式成立．对于x2－ax－1＝0，设其两根为x2，x3，且x20.当x>0时，原不等式恒成立，故x1＝满足方程x2－ax－1＝0，代入解得a＝或a＝0(舍去)．‎ 答案　三、解答题(共25分)‎ ‎5．(12分)设函数f(x)＝a2ln x－x2＋ax，a＞0.‎ ‎(1)求f(x)的单调区间；‎ ‎(2)求所有的实数a，使e－1≤f(x)≤e2对x∈[1，e]恒成立．‎ 注　e为自然对数的底数．‎ 解　(1)因为f(x)＝a2ln x－x2＋ax，其中x＞0，‎ 所以f′(x)＝－2x＋a＝－.‎ 由于a＞0，所以f(x)的增区间为(0，a)，减区间为(a，＋∞)．‎ ‎(2)由题意得，f(1)＝a－1≥e－1，即a≥e.‎ 由(1)知f(x)在[1，e]内单调递增，‎ 要使e－1≤f(x)≤e2，对x∈[1，e]恒成立，‎ 只要解得a＝e.‎ ‎6．(13分)(2013·金华模拟)设二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c，函数F(x)＝f(x)－x 的两个零点为m，n(m0的解集；‎ ‎(2)若a>0，且00，即a(x＋1)(x－2)>0.‎ 当a>0时，不等式F(x)>0的解集为{x|x<－1或x>2}；当a<0时，不等式F(x)>0的解集为{x|－10，且00.‎ ‎∴f(x)－m<0，即f(x)

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