专题06 数列的综合（一）备战2019年高考数学二轮复习热点难点全面突破（上海地区） 8页

专题06 数列的综合（一）‎ 专题点拨 ‎1．①若{an}是公差为d的等差数列，则d>0时，{an}是递增数列；‎ ‎ 时，{an}是递减数列；d＝0时，{an}是常数列．‎ ‎②等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d(n≥1)可推广为数列通项公式an＝am＋(n－m)d(m，n∈N*且n>m)．‎ ‎③若m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq(m，n，p，q∈N*)，当{an}是有穷数列，则与首末两项等距离的两项之和，等于首末两项之和．‎ ‎④项数成等差数列，则相应的项也成等差数列，即ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)成等差数列．‎ ‎2．设Sn是等差数列{an}的前n项和，则 ‎①Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…构成的数列是等差数列；‎ ‎②也是一个等差数列；‎ 真题赏析 ‎1．(2016·上海)已知数列{an}和{bn}，其中an＝n2，n∈N*，{bn}的项是互不相等的正整数，若对于任意n∈N*，{bn}的第an项等于{an}的第bn项，＝__________．‎ ‎【答案】2　‎ ‎【解析】ban＝abn⇒bn2＝b⇒b1b4b9b16＝(b1b2b3b4)2⇒＝2.‎ 2． ‎(2016·上海)无穷数列由k个不同的数组成，Sn为的前n项和．若对任意n∈N*，Sn∈{2，3}，则k的最大值为__________．‎ ‎【答案】4　‎ ‎【解析】当a1＝2时，数列可能为2、0、1、－1或2、1、0、－1或2、1、－1、0；当a1＝3时，数列可能为3、0、－1、1或3、－1、0、1或3、－1、1、0，所以k的最大值为4.‎ 3． ‎（2017·上海）已知Sn和Tn分别为数列与数列的前n项和，且a1＝e4，Sn＝eSn＋1－e5，an＝ebn(n∈N*)，则当Tn取得最大值时，n的值为________．‎ ‎【答案】4或5　‎ ‎【解析】由Sn＝eSn＋1－e5，得Sn－1＝eSn－e5，两式相减，得an＝ean＋1，所以是首项为e4，公比为的等比数列，所以an＝e5－n.因为an＝ebn，所以bn＝lne5－n＝5－n，则由，即，解得4≤n≤5，所以当n＝4或n＝5时，Tn取得最大值．‎ ‎4．（2018·上海）给定无穷数列{an}，若无穷数列{bn}满足：对任意n∈N*，都有|bn﹣an|≤1，则称{bn}与{an}“接近”．‎ ‎（1）设{an}是首项为1，公比为的等比数列，bn=an+1+1，n∈N*，判断数列{bn}是否与{an}接近，并说明理由；‎ ‎（2）设数列{an}的前四项为：a1=1，a2=2，a3=4，a4=8，{bn}是一个与{an}接近的数列，记集合M={x|x=bi，i=1，2，3，4}，求M中元素的个数m.‎ ‎ 例题剖析 ‎【例1】在等差数列{an}中，若a1＋a2＋a3＋a4＝30，则a2＋a3＝________.‎ ‎【答案】15‎ ‎【解析】根据等差数列的性质am＋an＝ap＋aq⇔m＋n＝p＋q.则有a1＋a2＋a3＋a4＝2(a2＋a3)＝30⇒a2＋a3＝15.‎ ‎【变式训练1】‎ 已知{an}为等差数列，Sn为其前n项和，若a1＝6，a3＋a5＝0，则S6＝________.‎ ‎【答案】6‎ ‎【解析】∵是等差数列，∴a3＋a5＝2a4＝0，a4＝0，a4－a1＝3d＝－6，d＝－2，∴S6＝6a1＋15d ‎＝6×6＋15×(－2)＝6，故答案为6.‎ ‎【例2】等差数列的前项和为，，，则取得最大值时的为 ‎　　‎ A ． 25 B ． 27 C ． 25 或 26 D ． 26 或 27‎ ‎【答案】C ‎【解析】 设等差数列的公差为，，，‎ ‎，，‎ 联立解得，，‎ ‎．‎ 令，解得．‎ 则取得最大值时的为 25 或 26 ．‎ 故选：．‎ ‎【变式训练2】‎ 已知是数列的前项和，，，，数列是公差为2的等差数列，则　　‎ ‎．233 ．282 ．466 ．650‎ ‎【答案】B ‎【解析】是数列的前项和，，，，数列是公差为2的等差数列，‎ 可知，，，，，，，，，‎ 即：2，4，6，4，6，8，6，8，10，8，10，12，10，12，14，12，14，16，14，16，‎ 数列的前25项和：．‎ 故选：．‎ ‎【例3】在等差数列中，，．‎ ‎（1） 求数列的通项公式；‎ ‎（2） 对任意，将数列中落入区间，内的项的个数记为，记数列的前项和，求使得的最小整数； ‎ ‎，可得，‎ ‎．‎ 故选：．‎ 三、解答题 ‎8.等差数列{an}中，a1＝3，其前n项和为Sn，等比数列{bn}各项均为正数，‎ b1＝1，且b2＋S2＝12，{bn}的公比q＝.‎ ‎(1)求an与bn；‎ ‎(2)求＋＋…＋.‎ ‎【解析】(1)由已知可得，解得q＝3或q＝－4(舍去)，a2＝6，∴an＝3＋(n－1)×3＝3n，bn＝3n－1.‎ ‎(2)∵Sn＝，‎ ‎∴＝＝，‎ ‎∴＋＋…＋＝＝.‎ ‎ ‎ ‎ 9．已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝0，a1＋a2＋a3＋…＋an＋n＝an＋1，n∈N*.‎ ‎(1)求证：数列{an＋1}是等比数列；‎ ‎(2)设数列{bn}的前n项和为Tn，b1＝1，点(Tn＋1，Tn)在直线－＝上，‎ 若不等式＋＋…＋≥m－对于n∈N*恒成立，求实数m的最大值．‎ ‎【解析】(1)证明：由a1＋a2＋a3＋…＋an＋n＝an＋1，‎ 得a1＋a2＋a3＋…＋an－1＋n－1＝an(n≥2)，‎ 两式相减得an＋1＝2an＋1，‎ 变形为an＋1＋1＝2(an＋1)(n≥2)，‎ ‎∵a1＝0，∴a1＋1＝1，a2＝a1＋1＝1，‎ a2＋1＝2(a1＋1)，‎ ‎∴{an＋1}是以1为首项，公比为2的等比数列．‎ 令Rn＝1＋＋＋…＋，则Rn＝＋＋＋…＋，‎ 两式相减得(1－)Rn＝1＋＋＋＋…＋－＝2－，‎ ‎∴Rn＝4－.‎ 由Rn≥m－恒成立，即4－≥m恒成立，‎ 又(4－)－(4－)＝，‎ 故当n≤3时，单调递减；当n＝3时，4－＝；‎ 当n≥4时，单调递增；当n＝4时，‎ ‎4－＝；则4－的最小值为，所以实数m的最大值是.‎ ‎10.已知数列，均为各项都不相等的数列，为的前项和，．‎ ‎（1） 若，求的值；‎ ‎（2） 若是公比为的等比数列， 求证： 数列为等比数列；‎ ‎（3） 若的各项都不为零，是公差为的等差数列， 求证：，，，，成等差数列的充要条件是．‎ ‎【解析】 （1），，，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ 证明： （2） 设，则，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，为常数）‎ 数列为等比数列，‎ ‎（3）数列是公差为的等差数列，‎ 当时，，‎ 即，‎ 数列的各项都不为零，‎ ‎，，‎ 当时，，‎ 当时，，‎ 两式相减得： 当时，．‎ 先证充分性：‎ 由可知，‎ 当时，，‎ 又，‎ ‎，‎ 即，，，成等差数列；‎ 再证必要性：‎ ‎，，，成等差数列，‎ 当时，，‎ ‎，‎ ‎．‎ 综上所述，，，，成等差数列的充要条件是 ‎11.已知数列中，为它前项之和，且（），．‎ ‎（1）设，求证为等比数列；‎ ‎（2）设，求证为等差数列；‎ ‎（3）求数列的通项公式及前项之和的公式．‎ ‎【解析】（1）由得， .‎ 两式相减得，.‎ ‎.‎ 是公比为的等比数列.‎ ‎（3），由（2）知，，‎ ‎，.‎ ‎，.‎ ‎，，又也满足上式 ‎， .‎