专题5-3+平面向量的数量积及其应用（讲）-2018年高考数学一轮复习讲练测（浙江版） 14页

第03节 平面向量的数量积及其应用 ‎【考纲解读】‎ 考 点 考纲内容 ‎5年统计 分析预测 平面向量的数量积 ‎①理解平面向量数量积的概念及其意义，了解平面向量的数量积与向量投影的关系。‎ ‎②掌握平面向量数量积的坐标运算，掌握数量积与两个向量的夹角之间的关系。‎ ‎③会用坐标表示平面向量的平行与垂直。‎ ‎2013•浙江文17；理7，17；‎ ‎2014•浙江文9；理8；‎ ‎2015•浙江文13；理15；‎ ‎2016·浙江文理15；‎ ‎2017•浙江10,15.‎ ‎1.以考查向量的数量积、夹角、模为主，基本稳定为选择题或填空题，难度中等以下； ‎ ‎2.与三角函数、解析几何等相结合，以工具的形式进行考查.‎ ‎3.备考重点：‎ ‎ (1) 理解数量积的概念是基础，掌握数量积的两种运算的方法是关键；‎ ‎(2)解答与平面几何、三角函数、解析几何等交汇问题时，注意运用数形结合的数学思想，通过建立平面直角坐标系，利用坐标运算解题.‎ ‎【知识清单】‎ ‎1．平面向量的数量积及其运算 一、两个向量的夹角 ‎1．定义 已知两个非零向量a和b，作＝a，＝b，则∠AOB＝θ叫做向量a与b的夹角．‎ ‎2．范围 向量夹角θ的范围是0°≤θ≤180°a与b同向时，夹角θ＝0°；a与b反向时，夹角θ＝180°.‎ ‎3．向量垂直 如果向量a与b的夹角是90°，则a与b垂直，记作a⊥b.‎ 二、平面向量数量积 ‎1．已知两个非零向量a与b，则数量|a||b|·cos θ叫做a与b的数量积，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos θ，其中θ是a与b的夹角．‎ 规定0·a＝0.‎ 当a⊥b时，θ＝90°，这时a·b＝0.‎ ‎2．a·b的几何意义：‎ 数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos θ的乘积．‎ 三、向量数量积的性质 ‎1．如果e是单位向量，则a·e＝e·a.‎ ‎2．a⊥ba·b＝0.‎ ‎3．a·a＝|a|2，.‎ ‎4．cos θ＝.(θ为a与b的夹角)‎ ‎5．|a·b|≤|a||b|.‎ 四、数量积的运算律 ‎1．交换律：a·b＝b·a.‎ ‎2．分配律：(a＋b)·c＝a·c＋b·c.‎ ‎3．对λ∈R，λ(a·b)＝(λa)·b＝a·(λb)．‎ 五、数量积的坐标运算 设a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，则：‎ ‎1．a·b＝a1b1＋a2b2.‎ ‎2．a⊥ba1b1＋a2b2＝0.‎ ‎3．|a|＝.‎ ‎4．cos θ＝＝.(θ为a与b的夹角)‎ 对点练习：‎ ‎【2017北京，理6】设m,n为非零向量，则“存在负数，使得”是“”的 ‎ （A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件 ‎ （C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】若，使，即两向量反向，夹角是，那么T，若，那么两向量的夹角为 ，并不一定反向，即不一定存在负数，使得，所以是充分不必要条件，故选A.‎ ‎2．向量的夹角与向量的模 ‎1. a·a＝|a|2，.‎ ‎2．cos θ＝.(θ为a与b的夹角)‎ ‎3.|a·b|≤|a||b|.‎ 对点练习：‎ ‎【2017浙江高三模拟】设，，是非零向量.若，则（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】D.‎ ‎ 3．平面向量垂直的条件 a⊥ba·b＝0a1b1＋a2b2＝0.‎ 对点练习：‎ ‎【2017浙江嘉兴、杭州、宁波效实五校联考】在中， ， ，则的最小值为______ ， 又若，则________.‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】 ，所以当时， 取最小值；因为，所以 ，由.‎ ‎【考点深度剖析】‎ 平面向量的数量积是高考考查的重点、热点，往往以选择题或填空题的形式出现.常常以平面图形为载体，考查数量积、夹角、垂直的条件等问题；也易同三角函数、解析几何等知识相结合，以工具的形式出现．‎ ‎【重点难点突破】‎ 考点1 平面向量数量积的运算 ‎【1-1】已知向量，，则（ ）‎ A．2 B．-2 C．-3 D．4‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【1-2】已知向量与的夹角为60°，，，则在方向上的投影为（ ）‎ A． B．2 C． D．3‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 因向量，的夹角为，，，，则在方向上的投影为,故应选A.‎ ‎【1-3】【2017天津，理13】在中，，，.若，，且，则的值为___________.‎ ‎【答案】 ‎ ‎ ‎ ‎【领悟技法】‎ ‎1.平面向量数量积的计算方法 ‎①已知向量a，b的模及夹角θ，利用公式a·b＝|a||b|cosθ求解；‎ ‎②已知向量a，b的坐标，利用数量积的坐标形式求解．‎ ‎(2)对于向量数量积与线性运算的综合运算问题，可先利用数量积的运算律化简，再进行运算． ‎ ‎【触类旁通】‎ ‎【变式一】【2016高考天津理数】已知△ABC是边长为1的等边三角形，点分别是边的中点，连接并延长到点，使得，则的值为（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【答案】B ‎【变式二】已知向量，则在方向上的投影为（ ）‎ A、 B、 C、 D、‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 因为，所以，则，则在方向上的投影既是在方向上的投影为.‎ ‎【变式三】在矩形中，，点在边上，若，则的值为（ ）‎ A．0 B． C．-4 D．4‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎ ‎ 考点2 向量的夹角与向量的模 ‎【2-1】已知向量，，则与夹角的余弦值为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】B.‎ ‎【解析】因为向量，，两式相加和相减可得，和；由数量积的定义式知，. 故应选B.‎ ‎【2-2】已知向量的夹角为，且，，则（ ）‎ ‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】D.‎ ‎【解析】∵，∴，‎ 又∵的夹角为，且，∴，解得或（舍去），‎ 即.‎ ‎【2-3】【2017山东，理12】已知是互相垂直的单位向量，若与的夹角为，则实数的值是 .‎ ‎【答案】‎ ‎【领悟技法】‎ 利用向量夹角公式、模公式，可将有关角度问题、线段长问题转化为向量的数量积来解决．‎ ‎【触类旁通】‎ ‎【变式一】【2016高考新课标1卷】设向量a=(m,1),b=(1,2),且|a+b|2=|a|2+|b|2,则m= .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 由,得,所以,解得.‎ ‎【变式二】△ABC中，△ABC的面积夹角的取值范围是（　　）‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】由三角形面积公式及已知知，所以①，由知，，所以，代入①得，，所以，所以 ‎，所以的夹角为，其取值范围为，故选B.‎ ‎【变式三】已知，，且与的夹角为锐角，则的取值范围是 .‎ ‎【答案】且 考点3平面向量垂直的条件 ‎【3-1】【2016高考山东理数】已知非零向量m，n满足4│m│=3│n│，cos=.若n⊥（tm+n），则实数t的值为（ ）‎ ‎（A）4 （B）–4 （C） （D）–‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 由，可设，又，所以 ‎ 所以，故选B.‎ ‎【3-2】【2017安徽阜阳二模】已知,则_________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题意得 ‎【3-3】【2017湖南娄底二模】已知， ， ，若向量满足 ‎，则的取值范围是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】易知，由得，所以或，由此可得的取值范围是.‎ ‎【领悟技法】‎ 利用平面向量垂直的充要条件，可将有关垂直问题转化为向量的数量积来解决．‎ ‎【触类旁通】‎ ‎【变式一】【2016·全国卷Ⅰ】设向量a＝(x，x＋1)，b＝(1,2)，且a⊥b，则x＝________.‎ ‎【答案】－ ‎【变式二】【2016高考新课标2】已知向量，且，则（ ）‎ ‎（A）－8 （B）－6 （C）6 （D）8‎ ‎【答案】D ‎【解析】向量，由得，解得，故选D.‎ ‎【易错试题常警惕】‎ 易错典例：已知向量 ‎ （1）若为锐角，求的范围；‎ ‎ （2）当时，求的值.‎ 易错分析：从出发解出的值，忽视剔除同向的情况．‎ 正确解析：（1）利用向量夹角公式即可得出，注意去掉同方向情况；‎ ‎（2）利用向量垂直与数量积的关系即可得出．‎ 试题解析：（1）若为锐角，则且不同向 温馨提醒：‎ ‎(1)两向量的夹角是指当两向量的起点相同时，表示两向量的有向线段所形成的角，若起点不同，应通过移动，使其起点相同，再观察夹角．‎ ‎ (2)两向量夹角的范围为[0，π]，特别当两向量共线且同向时，其夹角为0，共线且反向时，其夹角为π.‎ ‎ (3)在利用向量的数量积求两向量的夹角时，一定要注意两向量夹角的范围．‎ ‎【学科素养提升之思想方法篇】‎ 数形结合百般好，隔裂分家万事休——数形结合思想 我国著名数学家华罗庚曾说过:"数形结合百般好，隔裂分家万事休。""数"与"形"反映了事物两个方面的属性。我们认为，数形结合，主要指的是数与形之间的一一对应关系。数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过"以形助数"或"以数解形"即通过抽象思维与形象思维的结合，可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的.‎ 向量的几何表示，三角形、平行四边形法则，使向量具备形的特征，而向量的坐标表示和坐标运算又具备数的特征，因此，向量融数与形于一身，具备了几何形式与代数形式的“双重身份”.因此，在应用向量解决问题或解答向量问题时，要注意恰当地运用数形结合思想，将复杂问题简单化、将抽象问题具体化，达到事半功倍的效果.‎ ‎【典例】在平面四边形中，点，分别是边，的中点，且，，．若，则 ．‎ ‎【答案】13‎ ‎【解析】解法一（配凑）：由题意得，，‎ 从而，平方整理得．‎ 不妨设，，从而，，．‎ 由题意，从而，‎ ‎⑤④得，即．‎ ‎ ‎