【推荐】专题3-2+立体几何中的向量方法-试题君之课时同步君2017-2018学年高二数学人教版（选修2-1）x 11页

一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．在空间直角坐标系中，平面的一个法向量是 A． B． C． D． ‎【答案】B ‎【解析】平面的法向量是，且．故选B．‎ ‎2．设直线l的方向向量为，平面的法向量为，若，则 A． B． C． D．或 ‎【答案】D ‎【解析】由线面平行的条件，可知或．故选D．‎ ‎3．已知向量是直线的方向向量，是平面的法向量，若，则与所成的角为 A． B． C． D． ‎【答案】B ‎4．已知点在平面内，是平面的一个法向量，则下列点P中，在平面内的是 A． B． C． D． ‎【答案】B ‎【解析】对于选项A，，则，故排除A；‎ 对于选项B，，则，故B正确；同理可排除C、D．故选B．‎ ‎5．已知正方体的棱长为1，点在线段上运动，则的取值范围是 A． B． C． D． ‎【答案】D ‎6．过正方形的顶点，作平面，若，则平面和平面所成的锐二面角的大小是 A． B． C． D． ‎【答案】B ‎【解析】以为坐标原点，以，，分别为，，轴建立空间直角坐标系，‎ 设，则，，，，‎ 所以，，，‎ 设平面的法向量为，则，所以，‎ 令，可得平面平面的一个法向量为，‎ 同理可得平面的一个法向量为，则，故，‎ 所以平面和平面所成的锐二面角的大小是，故选B．‎ ‎7．如图，已知在矩形中，，且点，分别为，的中点，若将矩形沿折叠，使得平面平面，则异面直线与所成角的余弦值为 A． B． C． D． ‎【答案】D ‎8．如图所示，正方体ABCD-A1B‎1C1D1的棱长为1，线段B1D1上有两个动点E，F，且EF＝，则下列结论中错误的是 A．AC⊥BE B．EF∥平面ABCD C．三棱锥A-BEF的体积为定值 D．异面直线AE，BF所成的角为定值 ‎【答案】D 二、填空题：请将答案填在题中横线上．‎ ‎9．在平面ABC中，，，，若，且为平面ABC的法向量，则________________．‎ ‎【答案】 ‎【解析】由题易得，，又为平面ABC的法向量，所以，即，即，故．故填．‎ ‎10．直线的方向向量为，平面的一个法向量为，则直线与平面所成角的正弦值为________________．‎ ‎【答案】 ‎【解析】设直线与平面所成的角是，则．故填．‎ ‎11．如图所示，在棱长为2的正方体中，，分别是，的中点，那么异面直线和所成角的余弦值等于________________．‎ ‎【答案】 ‎12．如图所示，在直三棱柱中，底面是为直角的等腰直角三角形，，，是的中点，点在线段上，当________________时，平面．‎ ‎【答案】或 ‎13．如图，以等腰直角三角形斜边上的高为折痕，把与折成互相垂直的两个平面后，有以下四个结论：‎ ‎①；‎ ‎②；‎ ‎③三棱锥是正三棱锥；‎ ‎④平面的法向量和平面的法向量互相垂直．‎ 其中正确结论的序号是________________（请把正确结论的序号都填上）．‎ ‎【答案】②③‎ ‎【解析】易知，，，设，如图，以为原点，，，分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则(0，0，1)，(1，0，0)，(0，1，0)，(0，0，0)．‎ ‎①，，故，①不正确；‎ ‎②，，，故；‎ ‎③显然，且，，，易得三棱锥是正三棱锥；‎ ‎④易得平面ADC的一个法向量是，设平面的法向量为，则由，可得，令，可得平面的一个法向量为，则，所以平面的法向量和平面的法向量不垂直，④不正确．故填②③．‎ 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎14．如图，已知正方体的棱长为，求平面与平面之间的距离．‎ ‎【答案】．‎ ‎【解析】由正方体的性质，易得平面平面，‎ 则两平面间的距离可转化为点到平面的距离．‎ 如图，以为坐标原点，，，所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，‎ ‎15．正方体中，，求平面与平面所成角的大小．‎ ‎【答案】．‎ ‎【解析】如图，建立空间直角坐标系Dxyz．‎ 则A(1，0，0)，B(1，1，0)，B1(1，1，1)，D1(0，0，1)．‎ 所以(1，0，－1)，(1，1，－1)，(1，1，0)．‎ 设平面的法向量为，平面的法向量为，‎ 则由和，可得和，即和，‎ 令，可得平面的一个法向量为，‎ 令，可得平面的一个法向量为，‎ 所以，所以平面与平面所成角的大小为．‎ ‎16．如图，在三棱锥中，，为的中点，平面，垂足落在线段上．已知，，，． ‎ ‎（1）证明：； ‎ ‎（2）在线段上是否存在点，使得二面角为直二面角？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由．‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）存在点，且，使得二面角为直二面角．‎ ‎（2）设，则，‎ ，．‎ 设平面的法向量，平面的法向量．‎ 由，得，取，可得．‎ 由，得，取，可得．‎ 由，得，解得，因为，所以．‎ 综上所述，存在点，且，使得二面角为直二面角．‎ ‎17．如图，在四面体中，平面，，，．是的中点，是的中点，点在线段上，且．‎ ‎（1）证明：平面；‎ ‎（2）若二面角的大小为60°，求∠BDC的大小．‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）．‎ ‎（2）设m＝(x，y，z)为平面BMC的法向量，易得＝(－x0，，1)，＝(0，，1)，‎ 所以取y＝－1，得m＝．‎ 本学期结束 ‎ ‎