高二数学教案第1讲：平面向量综合复习 9页

辅导教案 学员姓名： 学科教师：‎ 年 级： 辅导科目： ‎ 授课日期 ‎××年××月××日 ‎ 时 间 A / B / C / D / E / F段 主 题 平面向量综合复习 教学内容 ‎1. 了解平面向量的正交分解及其坐标表示；‎ ‎2. 理解平面向量的坐标运算；‎ 一、向量的相关概念（以提问的形式回顾）‎ ‎1．向量的概念 ‎①向量：___________________________________________________。‎ 答案：既有大小又有方向的量。‎ ②向量的一般表示方法：_____________________________________________________。答案：向量一般用……来表示，或用有向线段的起点与终点的大写字母表示，如：几何表示法，；坐标表示法。‎ ③向量的大小：______________________________________。‎ 答案：向量的大小即向量的模（长度），记作||即向量的大小，记作｜|。‎ ‎【注：向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小】‎ ④零向量：_________________________________________________。‎ 答案：长度为0的向量，记为，其方向是任意的，与任意向量平行，零向量 ‎。‎ ‎【注：由于的方向是任意的，且规定平行于任何向量，故在有关向量平行（共线）的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件。（注意与0的区别）】‎ ⑤单位向量：___________________________________________________。‎ 答案：模为1个单位长度的向量，向量为单位向量｜｜＝1。对于任意的非零向量，与同方向的单位向量叫做向量的单位向量，记做，‎ ⑥平行向量（共线向量）：___________________________________________________。‎ 答案：方向相同或相反的非零向量。任意一组平行向量都可以移到同一直线上，方向相同或相反的向量，称为平行向量，记作∥。由于向量可以进行任意的平移(即自由向量)，平行向量总可以平移到同一直线上，故平行向量也称为共线向量。‎ ‎【注：数学中研究的向量是自由向量，只有大小、方向两个要素，起点可以任意选取，现在必须区分清楚共线向量中的“共线”与几何中的“共线”、的含义，要理解好平行向量中的“平行”与几何中的“平行”是不一样的。】‎ ⑦相等向量：________________________________________________________。‎ 答案：长度相等且方向相同的向量。‎ ‎【注：相等向量经过平移后总可以重合，记为。大小相等，方向相同意味着：。】‎ ‎2．向量的运算 ‎（1）向量加法：______________________________________________。‎ 答案：求两个向量和的运算叫做向量的加法；设，则 ‎+==。‎ ‎【规定：（1）；（2）向量加法满足交换律与结合律；‎ 向量加法的“三角形法则”与“平行四边形法则”：‎ ‎（1）用平行四边形法则时，两个已知向量是要共始点的，和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线，而差向量是另一条对角线，方向是从减向量指向被减向量。‎ ‎（2） 三角形法则的特点是“首尾相接”，由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和；差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点 当两个向量的起点公共时，用平行四边形法则；当两向量是首尾连接时，用三角形法则。‎ 向量加法的三角形法则可推广至多个向量相加： ，但这时必须“首尾相连”。】‎ ‎（2）向量的减法 ‎ ‎①相反向量：_____________________________________________。‎ 答案：与长度相等、方向相反的向量，叫做的相反向量。记作,零向量的相反向量仍是零向量。‎ ‎【关于相反向量有： （i）=； (ii) +()=()+=；(iii)若、是互为相反向量，则=,=,+=。】‎ ‎②向量减法：________________________________________________。‎ 答案：向量加上的相反向量叫做与的差，记作：求两个向量差的运算，叫做向量的减法。‎ ‎③作图法：可以表示为从的终点指向的终点的向量（、有共同起点）。‎ ‎3.实数与向量的积 ‎①实数λ与向量的积是一个向量，记作λ，它的长度与方向规定如下：‎ ‎（Ⅰ）；‎ ‎（Ⅱ）当时，λ的方向与的方向相同；当时，λ的方向与的方向相反；当时，，方向是任意的。‎ ‎②数乘向量满足交换律、结合律与分配律 ‎4．两个向量共线定理：________________________________________________。‎ 答案：向量与非零向量共线有且只有一个实数，使得=。‎ ‎5．平面向量的基本定理：___________________________________________________。‎ 答案：如果是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量，有且只有一对实数使：其中不共线的向量叫做表示这一平面内所有向量的一组基底。‎ ‎6．平面向量的坐标表示 ‎（1）平面向量的坐标表示：在直角坐标系中，分别取与轴、轴方向相同的两个单位向量作为基底由平面向量的基本定理知，该平面内的任一向量可表示成，由于与数对是一一对应的，因此把叫做向量的坐标，记作，其中叫作在轴上的坐标，叫做在轴上的坐标。‎ 如果，则；如果，则 ‎，‎ ‎【注：①相等的向量坐标相同，坐标相同的向量是相等的向量；②向量的坐标与表示该向量的有向线段的始点、终点的具体位置无关，只与其相对位置有关系。】‎ ‎（2）平面向量的坐标运算：‎ ‎①若，则；‎ ‎②若，则；‎ ‎③若则；‎ ‎④若，则.‎ ‎7.定比分点的坐标公式：‎ ‎①已知是直线上任一点，且令，则 ‎② 当时，为有向线段的中点，其坐标为，这个公式叫有向线段的中点坐标公式。‎ ‎③的重心坐标公式：，为的重心，则 ‎（采用教师引导，学生轮流回答的形式）‎ 例1. 已知一个平行四边形的三个顶点分别为( 3,-2)、（5,2）和（-1，4）求它的第四个顶点的坐标。‎ 解：记 若为平行四边形，则中点（亦即平行四边形对角线交点）为, 则即;‎ 若为平行四边形，则中点（亦即平行四边形对角线交点）为..,则,即 若为平行四边形，则中点(亦即平行四边形对角线交点)为,则,即。‎ 注意分类讨论 例2. 已知两个非零向量a，b满足|a+b|=|ab|，则下面结论正确的是( )‎ ‎ (A) a∥b (B) a⊥b ‎ ‎(C){0,1,3} (D)a+b=ab 试一试：设a，b是两个非零向量, 下列命题正确的是( )‎ A．若|a＋b|＝|a|－|b|，则a⊥b B．若a⊥b，则|a＋b|＝|a|－|b|21世纪教育网 C．若|a＋b|＝|a|－|b|，则存在实数λ，使得a＝λb D．若存在实数λ，使得a＝λb，则|a＋b|＝|a|－|b|‎ 例3. 已知点分为，其中，又知，求及的值。‎ 解：∵ ∴(4-2)2+(y-3)2=32 y=3±2‎ 又分为 ∴‎ ‎∴ ‎ 或 ‎ 试一试：设且在的延长线上，使,，则求点的坐标 答案：设分点P（x,y），∵=―2，l=―2，∴ (x―4,y+3)=―2(―2―x,6―y),‎ x―4=2x+4, y+3=2y―12, ∴ x=―8,y=15, ∴ P(-8,15)‎ 例4. 设点A（2，2），B（5，4），O为原点，点P满足=+，（t为实数）；‎ ‎ （1），当点P在x轴上时，求实数t的值；‎ ‎ （2），四边形OABP能否是平行四边形？若是，求实数t的值 ；若否，说明理由，‎ 解：（1），设点P（x，0）， =(3,2),‎ ‎ ∵=+，∴ (x,0)=(2,2)+t(3,2), ‎ ‎ ∴ ‎ ‎ (2),设点P（x,y），假设四边形OABP是平行四边形，‎ ‎ 则有∥, Þ y=x―1,‎ ‎ ∥ Þ 2y=3x ∴ …… ①,‎ ‎ 又由=+，Þ (x,y)=(2,2)+ t(3,2),‎ ‎ 得 ∴ …… ②,‎ ‎ 由①代入②得：， 矛盾，∴假设是错误的，‎ ‎ ∴四边形OABP不是平行四边形。‎ ‎（学生统一完成，互相批改，教师针对重难点详细讲解）‎ ‎1. 设R，向量，且，则 ( )‎ ‎（A） （B） （C） （D）10‎ 答案：B ‎2. 设为单位向量，（1）若为平面内的某个向量，则;(2)若与平行，则；（3）若 与平行且||=1，则=。上述命题中，假命题个数是（ ）‎ A．0 B．1 C．2 D．3‎ 答案：D ‎3. 平面内给定三个向量，回答下列问题：‎ ‎（1）求满足的实数；‎ ‎（2）若，求实数；‎ ‎（3）若满足与平行，且，求。‎ 解：（1）由题意得，所以，得。‎ ‎（2），‎ ‎；‎ ‎（3）‎ 由题意得，得或 ‎4. 已知向量=（3, －4）, =（6, －3）,=（5－m, －3－m）,‎ ‎（1）若点A、B、C能构成三角形，求实数m应满足的条件；‎ ‎（2）若△ABC为直角三角形，且∠A为直角，求实数m的值． ‎ 解：（1）已知向量 若点A、B、C能构成三角形，则这三点不共线， ‎ 故知．‎ ‎∴实数时，满足的条件． ‎ ‎（2）若△ABC为直角三角形，且∠A为直角，则， ‎ ‎∴，解得． ‎ 附加题：‎ 在平行四边形中，，边、的长分别为2、1，若、分别是边、‎ 上的点，且满足，则的取值范围是 .‎ 答案：[2,5]‎ ‎1、向量如何用坐标表示？‎ ‎2、向量在进行四则运算时，坐标是如何运算的？‎ ‎3、平行（共线）向量的特点及其性质有哪些？‎ ‎4、定比分点公式及中点坐标公式是什么？‎ ‎1. 在中，若，则一定是 （ ） C A．钝角三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．不能确定 ‎2. 已知向量满足，则的夹角等于 （ ） A ‎　 A．　　　　　　B　　　　　　C　　　　　　　D　‎ ‎3. 已知向量夹角为 ，且；则 ‎ ‎4. 已知向量 ‎（1）求向量； ‎ ‎（2）设向量，其中，若，试求的取值范围.‎ 解：（1）令 ‎ ‎ ‎ （2） ‎ ‎ ‎ ‎ ===； ‎ ‎ ∵ ―1≤sinx≤1, ∴ 0≤≤2, ‎ ‎1. 直线方程的定义是什么？‎ ‎2. 直线的点方向式和点法向式分别是什么？适用范围是什么？‎