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- 2021-06-19 发布
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全*品*高*考*网, 用后离不了!2016-2017学年贵州省贵阳市普通高中高三(上)8月摸底数学试卷(理科)
一、选择题:本大题共12小题,每题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的
1.已知集合A={x|y=log2(x﹣1)},B={x|x<2},则A∩B=( )
A.{x|0<x<2} B.{x|1<x<2} C.{x|1≤x<2} D.R
2.已知i为虚数单位,若复数z满足z+z•i=2,则z的虚部为( )
A.i B.1 C.﹣i D.﹣1
3.已知实数x,y满足,则函数z=x+3y的最大值为( )
A.10 B.8 C.5 D.1
4.已知双曲线的离心率为2,焦点是(﹣4,0),(4,0),则双曲线方程为( )
A. B. C. D.
5.在各项都为正数的等比数列{an}中,首项a1=3,前三项和为21,则a3+a4+a5=( )
A.33 B.72 C.84 D.189
6.在边长为1的正三角形ABC中, =2,则•=( )
A. B. C. D.1
7.函数y=sinx+cosx(0≤x<2π)取得最大值时,x=( )
A. B. C. D.
8.若函数f(x)=3x+lnx的图象在点(1,f(1))处的切线与直线x+ay+1=0垂直,则a=( )
A.﹣ B. C.﹣4 D.4
9.已知m、n为两条不同的直线,α、β为两个不同的平面,则下列命题中正确的是( )
A.α⊥β,m⊂α⇒m⊥β B.α⊥β,m⊂α,n⊂β⇒m⊥n
C.m∥n,n⊥α⇒m⊥α D.m⊂α,n⊂α,m∥β,n∥β⇒α∥β
10.阅读右边的程序,若输出的y=3,则输入的x的值为( )
A.1 B.2 C.±2 D.1或2
11.已知定义在R上的函数f(x)满足f(﹣x)=f(x),且当x<0,f(x)=3x+1,若a=2,b=4,c=25,则有( )
A.f(a)<f(b)<f(c) B.f(b)<f(c)<f(a) C.f(b)<f(a)<f(c) D.f(c)<f(a)<f(b)
12.设正实数x,y,z满足x2﹣3xy+4y2﹣z=0,则当取得最小值时,x+2y﹣z的最大值为( )
A.0 B. C.2 D.
二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.
13.(x2+)6的展开式中常数项是 .(用数字作答)
14.如图是一个几何体的三视图,若它的体积是3,则a= .
15.已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1(底面是正方形,侧棱垂直于底面)的8个顶点都在球O的表面上,AB=1,AA1′=2,则球O的半径R= ;若E、F是棱AA1和DD1的中点,则直线EF被球O截得的线段长为 .
16.已知直线l:y=k(x+1)﹣与圆x2+y2=(2)2交于A、B两点,过A、B分别作l的垂线与x轴交于C、D两点,若|AB|=4,则|CD|= .
三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.在△ABC中,角A、B、C的对边分别为a、b、c,且满足3asinC=4ccosA, •=3.
(Ⅰ)求△ABC的面积S;
(Ⅱ)若c=1,求a的值.
18.通过随机询问100性别不同的大学生是否爱好某项运动,得到如下2×2列联表:
男
女
总计
爱好
40
不爱好
25
总计
45
100
(Ⅰ)将题中的2×2列联表补充完整;
(Ⅱ)能否有99%的把握认为断爱好该项运动与性别有关?请说明理由;
(Ⅲ)利用分层抽样的方法从以上爱好该项运动的大学生中抽取6人组建了“运动达人社”,现从“运动达人设”中选派3人参加某项校际挑战赛,记选出3人中的女大学生人数为X,求X的分布列和数学期望.
附:K2=,
p(K2≥k0)
0.050
0.010
0.001
k0
3.841
6.635
10.828
19.如图,四棱锥P﹣ABCD的底面是正方形,PD⊥底面ABCD,点E在棱PB上.
(Ⅰ)求证:平面AEC⊥平面PDB;
(Ⅱ)当PD=2AB,且E为PB的中点,求二面角B﹣AE﹣C的余弦值.
20.已知椭圆C: +=1(a>0,b>0)的离心率为,点A(0,﹣2)与椭圆右焦点F的连线的斜率为.
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)O为坐标原点,过点A的直线l与椭圆C相交于P、Q两点,当△OPQ的面积最大时,求直线l的方程.
21.已知函数f(x)=xlnx,g(x)=(其中a∈R)
(Ⅰ)求函数f(x)的极值;
(Ⅱ)设函数h(x)=f′(x)+g(x)﹣1,试确定h(x)的单调区间及最值;
(Ⅲ)求证:对于任意的正整数n,均有e>成立.(注:e为自然对数的底数)
请考生在22、23、24三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.[选修4-1:几何证明选讲]
22.如图所示,AC为⊙O的直径,D为的中点,E为BC的中点.
(Ⅰ)求证:DE∥AB;
(Ⅱ)求证:AC•BC=2AD•CD.
[选修4-4:坐标系与参数方程]
23.在直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为(t为参数),以原点O为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,圆C的极坐标方程为ρ=2sinθ.
(Ⅰ)求圆C的直角做标方程;
(Ⅱ)圆C的圆心为C,点P为直线l上的动点,求|PC|的最小值.
[选修4-5:不等式选讲]
24.设函数f(x)=|x+1|﹣|2x﹣4|;
(Ⅰ)解不等式f(x)≥1;
(Ⅱ)若对∀x∈R,都有f(x)+3|x﹣2|>m,求实数m的取值范围.
还未学选修4-1、4-4、4-5的学生可选作此题
25.等比数列{an}的各项均为正数,且2a3是a2与a6的等比中项,2a1+3a2=16.
(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;
(Ⅱ)设bn=log2a1+log2a2+…+log2an,求数列{}的前n项和Sn.
2016-2017学年贵州省贵阳市普通高中高三(上)8月摸底数学试卷(理科)
参考答案与试题解析
一、选择题:本大题共12小题,每题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的
1.已知集合A={x|y=log2(x﹣1)},B={x|x<2},则A∩B=( )
A.{x|0<x<2} B.{x|1<x<2} C.{x|1≤x<2} D.R
【考点】交集及其运算.
【分析】先根据对数函数求出函数的定义域得到集合A,再利用交集定义求解.
【解答】解:由A={x|y=log2(x﹣1),x∈R},可得A={x|x>1},
又B={x|x<2},
∴A∩B={x|1<x<2},
故选:B.
2.已知i为虚数单位,若复数z满足z+z•i=2,则z的虚部为( )
A.i B.1 C.﹣i D.﹣1
【考点】复数代数形式的混合运算.
【分析】利用复数的除法的运算法则化简求解即可.
【解答】解:复数z满足z+z•i=2,
可得z==1﹣i.
则z的虚部为﹣1.
故选:D.
3.已知实数x,y满足,则函数z=x+3y的最大值为( )
A.10 B.8 C.5 D.1
【考点】简单线性规划.
【分析】作出不等式组对应的平面区域,利用目标函数的几何意义,进行求最值即可.
【解答】解:由z=x+3y,得,作出不等式对应的可行域,
平移直线,由平移可知当直线,经过点A时,
直线,的截距最大,此时z取得最大值,
由得,即A(1,3),
代入z=x+3y,得z=1+3×3=10,
即目标函数z=x+3y的最大值为10.
故选:A.
4.已知双曲线的离心率为2,焦点是(﹣4,0),(4,0),则双曲线方程为( )
A. B. C. D.
【考点】双曲线的简单性质.
【分析】根据焦点坐标求得c,再根据离心率求得a,最后根据b=求得b,双曲线方程可得.
【解答】解.已知双曲线的离心率为2,焦点是(﹣4,0),(4,0),
则c=4,a=2,b2=12,
双曲线方程为,
故选A.
5.在各项都为正数的等比数列{an}中,首项a1=3,前三项和为21,则a3+a4+a5=( )
A.33 B.72 C.84 D.189
【考点】等比数列的性质.
【分析】根据等比数列{an}中,首项a1=3,前三项和为21,可求得q,根据等比数列的通项公式,分别求得a3,a4和a5代入a3+a4+a5,即可得到答案.
【解答】解:在各项都为正数的等比数列{an}中,首项a1=3,前三项和为21
故3+3q+3q2=21,
∴q=2,
∴a3+a4+a5=(a1+a2+a3)q2=21×22=84
故选C.
6.在边长为1的正三角形ABC中, =2,则•=( )
A. B. C. D.1
【考点】平面向量数量积的运算.
【分析】根据向量数量积的定义求出向量长度和向量夹角进行求解即可.
【解答】解:∵=2,
∴•=(+)•=(+)•=2+•
=1+×1×1cos120°=1﹣=,
法2.∵=2,
∴D是BC的中点,
则在正三角形中,AD=,<,>=∠BAD=30°,
则•=||•||cos30°=×1×=
故选:C.
7.函数y=sinx+cosx(0≤x<2π)取得最大值时,x=( )
A. B. C. D.
【考点】三角函数中的恒等变换应用.
【分析】直接利用辅助角公式化简,再由(0≤x<2π)求得答案.
【解答】解:y=sinx+cosx=2()=2sin(x+).
由,得.
∵0≤x<2π,∴当k=0时,x=.
故选:A.
8.若函数f(x)=3x+lnx的图象在点(1,f(1))处的切线与直线x+ay+1=0垂直,则a=( )
A.﹣ B. C.﹣4 D.4
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程.
【分析】先求出f(x)=3x+lnx的导数,再求出函数f(x)=3x+lnx的图象在点(1,f(1))处的切线的斜率,根据两直线垂直可解出a的值.
【解答】解:函数f(x)=3x+lnx的导数为f′(x)=3+,
∴f(x)的图象在点(1,f(1))处的切线斜率k=f′(1)=3+1=4,
∵直线x+ay+1=0的斜率为﹣,
∴由两直线垂直的条件:斜率之积为﹣1,可得﹣•4=﹣1,
∴a=4.
故选:D.
9.已知m、n为两条不同的直线,α、β为两个不同的平面,则下列命题中正确的是( )
A.α⊥β,m⊂α⇒m⊥β B.α⊥β,m⊂α,n⊂β⇒m⊥n
C.m∥n,n⊥α⇒m⊥α D.m⊂α,n⊂α,m∥β,n∥β⇒α∥β
【考点】空间中直线与平面之间的位置关系.
【分析】在A中,m与β平行、相交或m⊂β;在B中,m与n相交、平行或异面;由线面垂直的判定定理得C正确;在D中,α与β相交或平行.
【解答】解:由m、n为两条不同的直线,α、β为两个不同的平面,知:
在A中,α⊥β,m⊂α⇒m与β平行、相交或m⊂β,故A错误;
在B中,α⊥β,m⊂α,n⊂β⇒m与n相交、平行或异面,故B错误;
在C中,m∥n,n⊥α⇒m⊥α,由线面垂直的判定定理得,C正确;
在D中,m⊂α,n⊂α,m∥β,n∥β⇒α与β相交或平行,故D错误.
故选:C.
10.阅读右边的程序,若输出的y=3,则输入的x的值为( )
A.1 B.2 C.±2 D.1或2
【考点】程序框图.
【分析】首先判断程序框图,转化为分段函数形式,然后根据y=3分别代入三段函数进行计算,排除不满足题意的情况,最后综合写出结果.
【解答】解:根据程序框图分析,
程序框图执行的是分段函数运算:y=,
如果输出y为3,
则当:﹣x+4=3时,解得x=1,不满足题意;
当x2﹣1=3时,解得:x=2,或﹣2(舍去),
综上,x的值2
故选:B.
11.已知定义在R上的函数f(x)满足f(﹣x)=f(x),且当x<0,f(x)=3x+1,若a=2,b=4,c=25,则有( )
A.f(a)<f(b)<f(c) B.f(b)<f(c)<f(a) C.f(b)<f(a)<f(c) D.f(c)<f(a)<f(b)
【考点】对数值大小的比较.
【分析】当x>0时,f(x)=()x+1,再由c>a>b,能求出f(a),f(b),f(c)的大小关系.
【解答】解:∵定义在R上的函数f(x)满足f(﹣x)=f(x),且当x<0,f(x)=3x+1,
∴当x>0时,f(x)=()x+1,
∵a=2=4,b=4,c=25=,
∴c>a>b,
∴f(c)<f(a)<f(b).
故选:D.
12.设正实数x,y,z满足x2﹣3xy+4y2﹣z=0,则当取得最小值时,x+2y﹣z的最大值为( )
A.0 B. C.2 D.
【考点】基本不等式.
【分析】将z=x2﹣3xy+4y2代入,利用基本不等式化简即可求得x+2y﹣z的最大值.
【解答】解:∵x2﹣3xy+4y2﹣z=0,
∴z=x2﹣3xy+4y2,又x,y,z为正实数,
∴=+﹣3≥2﹣3=1(当且仅当x=2y时取“=”),
即x=2y(y>0),
∴x+2y﹣z=2y+2y﹣(x2﹣3xy+4y2)
=4y﹣2y2
=﹣2(y﹣1)2+2≤2.
∴x+2y﹣z的最大值为2.
故选:C.
二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.
13.(x2+)6的展开式中常数项是 15 .(用数字作答)
【考点】二项式定理的应用.
【分析】本题可通过通项公式Tr+1=Cnran﹣rbr来确定常数项,从而根据常数相中x的指数幂为0即可确定C6r(x2)6﹣r中r的值,然后即可求出常数项是15
【解答】解:设通项公式为,整理得C6rx12﹣3r,
因为是常数项,所以12﹣3r=0,所以r=4,
故常数项是c64=15
故答案为15.
14.如图是一个几何体的三视图,若它的体积是3,则a= 3 .
【考点】由三视图求面积、体积.
【分析】该几何体是放倒的三棱柱,依据所给数据求解即可.
【解答】解:由已知可知此几何体是三棱柱,其高为a,侧面是边长为2的正三角形,其面积为S==,
由题意可得:V=3=a,
解得:a=3.
故答案为:3.
15.已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1(底面是正方形,侧棱垂直于底面)的8个顶点都在球O的表面上,AB=1,AA1′=2,则球O的半径R= 6π ;若E、F是棱AA1和DD1的中点,则直线EF被球O截得的线段长为 .
【考点】棱柱的结构特征.
【分析】由题意可知正四棱柱的体对角线计算球的直径,求出对角线的长可得球的直径,求出半径,即可求出球的表面积;如图所示,OP 是球的半径,OQ是棱长的一半,求出PQ的2倍即可求出直线EF被球O截得的线段长.
【解答】解:正四棱柱对角线为球直径,A1C2=1+1+4,
所以R=,所以球的表面积为6π;
由已知所求EF是正四棱柱在球中其中一个截面的直径上的一部分,Q为EF的中点,
d=,R=,所以PQ==,
所以2PQ=.
故答案为:6π;
16.已知直线l:y=k(x+1)﹣与圆x2+y2=(2)2交于A、B两点,过A、B分别作l的垂线与x轴交于C、D两点,若|AB|=4,则|CD|= .
【考点】直线与圆的位置关系.
【分析】根据直线与圆相交,圆x2+y2=(2)2可知:圆心为(0,0),半径r=2,弦长为|AB|=4=2r,说明直线过圆心.求解k的值.得到直线AB的倾斜角,根据AOC和OBD是两个全等的直角三角形,OA=OB=2
即可求出OC和OD.即可得到|CD|的长度.
【解答】解:由圆的方程x2+y2=(2)2可知:圆心为(0,0),半径r=2,
∵弦长为|AB|=4=2r,说明,直线过圆心.
则有:0=k(0﹣1)﹣,解得k=,
直线AB的方程为:y=x.
设直线AB的倾斜角为θ,则tanθ=,
∴θ=60°
Rt△AOC中:|CO|===
那么:|CD|=2|OC|=
故答案为:.
三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.在△ABC中,角A、B、C的对边分别为a、b、c,且满足3asinC=4ccosA, •=3.
(Ⅰ)求△ABC的面积S;
(Ⅱ)若c=1,求a的值.
【考点】正弦定理;平面向量数量积的运算.
【分析】(I)由3asinC=4ccosA,利用正弦定理可得3sinAsinC=4sinCcosA,sinC≠0,可得tanA,sinA,cosA.由•=3,可得bccosA=3,解得bc.即可得出S=bcsinA.
(II)利用(I)及其余弦定理即可得出.
【解答】解:(I)∵3asinC=4ccosA,∴3sinAsinC=4sinCcosA,sinC≠0,
∴tanA=,可得sinA=,cosA=.
∵•=3,∴bccosA=3,∴bc=5.
∴S=bcsinA==2.
(II)由(I)可得:b=5.
∴a2=1+52﹣2×5×1×=20,
解得a=2.
18.通过随机询问100性别不同的大学生是否爱好某项运动,得到如下2×2列联表:
男
女
总计
爱好
40
不爱好
25
总计
45
100
(Ⅰ)将题中的2×2列联表补充完整;
(Ⅱ)能否有99%的把握认为断爱好该项运动与性别有关?请说明理由;
(Ⅲ)利用分层抽样的方法从以上爱好该项运动的大学生中抽取6人组建了“运动达人社”,现从“运动达人设”中选派3人参加某项校际挑战赛,记选出3人中的女大学生人数为X,求X的分布列和数学期望.
附:K2=,
p(K2≥k0)
0.050
0.010
0.001
k0
3.841
6.635
10.828
【考点】独立性检验的应用.
【分析】(Ⅰ)根据2×2列联表数据共享将表中空白部分数据补充完整.
(Ⅱ)求出K2,与临界值比较,即可得出结论;
(Ⅲ)由题意,抽取6人中,男生4名,女生2名,选出3人中的女大学生人数为X,X的取值为0,1,2,分别求出相应的概率,由此能求出X的分布列和E(X).
【解答】解:(Ⅰ)2×2列联表如下:
男
女
总计
爱好
40
20
60
不爱好
15
25
40
总计
55
45
100
(Ⅱ)K2=≈8.25>6.635,
∴99%的把握认为断爱好该项运动与性别有关;
(Ⅲ)由题意,抽取6人中,男生4名,女生2名,选出3人中的女大学生人数为X,X的取值为0,1,2,
则P(X=0)==,P(X=1)==,P(X=2)==.
X的分布列为
X
0
1
2
P
E(X)=0×+1×+2×=1.
19.如图,四棱锥P﹣ABCD的底面是正方形,PD⊥底面ABCD,点E在棱PB上.
(Ⅰ)求证:平面AEC⊥平面PDB;
(Ⅱ)当PD=2AB,且E为PB的中点,求二面角B﹣AE﹣C的余弦值.
【考点】二面角的平面角及求法;平面与平面垂直的判定.
【分析】(1)由PD⊥底面ABCD,可得PD⊥AC,利用正方形的性质可得:AC⊥BD,再利用线面面面垂直的判定与性质定理即可证明.
(2)分别以DA、DC、DP为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,利用法向量的夹角公式即可得出.
【解答】(1)证明:∵PD⊥底面ABCD,AC⊂平面ABCD,
∴PD⊥AC,
底面ABCD是正方形,∴AC⊥BD,
又PD∩BD=D,∴AC⊥平面ABCD,
又AC⊂平面AEC,
∴平面AEC⊥平面PDB.
(2)解:分别以DA、DC、DP为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,
不妨设AB=2,则D(0,0,0),A(2,0,0),B(2,2,0),P(0,0,4),E(1,1,2),
=(0,2,0),=(﹣1,1,2),
取平面ABC的一个法向量为,
设平面ABE的法向量,则,可得,取=(2,0,1).
∴===.
∴二面角B﹣AE﹣C的余弦值为.
20.已知椭圆C: +=1(a>0,b>0)的离心率为,点A(0,﹣2)与椭圆右焦点F的连线的斜率为.
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)O为坐标原点,过点A的直线l与椭圆C相交于P、Q两点,当△OPQ的面积最大时,求直线l的方程.
【考点】椭圆的简单性质.
【分析】(Ⅰ)设F(c,0),利用直线的斜率公式可得关于c的方程,求出c,由离心率e==,求得a,由b2=a2﹣c2,求得b的值,即可求得椭圆C的方程;
(Ⅱ)设P(x1,y1),Q(x2,y2),由题意可设直线l的方程为:y=kx﹣2,与椭圆的方程联立可得(1+4k2)x2﹣16kx+12=0,求出方程的根,从而表示出|PQ|以及点O到直线PQ的距离,从而表示出S△OPQ,再利用基本不等式的性质即可得出直线l的方程.
【解答】解:(1)设F(c,0).
∵直线AF的斜率为,
∴=,解得c=.
又离心率为e==,
由b2=a2﹣c2,解得:a=2,b=1,
∴椭圆E的方程为+y2=1.
(2)设P(x1,y1),Q(x2,y2),由题意可设直线l的方程为:y=kx﹣2,与椭圆方程联立,
整理得:(1+4k2)x2﹣16kx+12=0,当△=16(4k2﹣3)>0时,即k2>时,
x1+x2=,x1•x2=,
∴|PQ|=,
∵点O到直线l的距离d=,
∴S△OPQ=•d•|PQ|=,
设=t>0,则4k2=t2+3,
∴S△OPQ==≤1,
当且仅当t=2,即=2,解得k=±时取等号,且满足△>0,
∴△OPQ的面积最大时,直线l的方程为:y=±x﹣2.
21.已知函数f(x)=xlnx,g(x)=(其中a∈R)
(Ⅰ)求函数f(x)的极值;
(Ⅱ)设函数h(x)=f′(x)+g(x)﹣1,试确定h(x)的单调区间及最值;
(Ⅲ)求证:对于任意的正整数n,均有e>成立.(注:e为自然对数的底数)
【考点】利用导数研究函数的极值;导数的运算.
【分析】(Ⅰ)求出函数的导数,解关于导函数的不等式,求出函数的单调区间,从而求出函数的极值即可;
(Ⅱ)求出h(x)的导数,通过讨论a的范围求出函数的单调区间,从而求出函数的极值即可;
(Ⅲ)令a=1,得到≥1﹣lnx=ln,亦即≥,分别取 x=1,2,…,n,相乘即可.
【解答】解:(Ⅰ)f(x)=xlnx,(x>0),f′(x)=1+lnx,
令f′(x)>0,解得:x>,令f′(x)<0,解得:0<x<,
∴f(x)在(0,)递减,在(,+∞)递增,
∴f(x)的极小值是f()=﹣;
(Ⅱ)h(x)=f′(x)+g(x)﹣1=lnx+,(x>0),
h′(x)=﹣=,
①a≤0时,h′(x)>0,h(x)在(0,+∞)递增,无最值,
②a>0时,令h′(x)>0,解得:x>a,令h′(x)<0,解得:0<x<a,
∴h(x)在(0,a)递减,在(a,+∞)递增,
∴h(x)min=h(a)=1+lna,
(Ⅲ)取a=1,由(Ⅱ)知,h(x)=lnx+≥f(1)=1,
∴≥1﹣lnx=ln,亦即≥,
分别取 x=1,2,…,n得≥,
≥,≥,…,≥,
将以上各式相乘,得:e>成立.
请考生在22、23、24三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.[选修4-1:几何证明选讲]
22.如图所示,AC为⊙O的直径,D为的中点,E为BC的中点.
(Ⅰ)求证:DE∥AB;
(Ⅱ)求证:AC•BC=2AD•CD.
【考点】与圆有关的比例线段.
【分析】(I)欲证DE∥AB,连接BD,因为D为的中点及E为BC的中点,可得DE⊥BC,因为AC为圆的直径,所以∠ABC=90°,最后根据垂直于同一条直线的两直线平行即可证得结论;
(II)欲证AC•BC=2AD•CD,转化为AD•CD=AC•CE,再转化成比例式=.最后只须证明△DAC∽△ECD即可.
【解答】证明:(Ⅰ)连接BD,因为D为的中点,所以BD=DC.
因为E为BC的中点,所以DE⊥BC.
因为AC为圆的直径,所以∠ABC=90°,
所以AB∥DE.…
(Ⅱ)因为D为的中点,所以∠BAD=∠DAC,
又∠BAD=∠DCB,则∠DAC=∠DCB.
又因为AD⊥DC,DE⊥CE,所以△DAC∽△ECD.
所以=,AD•CD=AC•CE,2AD•CD=AC•2CE,
因此2AD•CD=AC•BC.…
[选修4-4:坐标系与参数方程]
23.在直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为(t为参数),以原点O为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,圆C的极坐标方程为ρ=2sinθ.
(Ⅰ)求圆C的直角做标方程;
(Ⅱ)圆C的圆心为C,点P为直线l上的动点,求|PC|的最小值.
【考点】参数方程化成普通方程.
【分析】(Ⅰ)由ρ2=x2+y2,x=ρcosθ,y=ρsinθ,代入即可得圆C的直角坐标方程.
(Ⅱ)把直线化成直角坐标方程,直线到圆上的距离最小,即是圆心到直线的d减去半径r.
【解答】解:(Ⅰ)由圆C的极坐标方程ρ=2sinθ,可得:ρ2=2ρsinθ.
由ρ2=x2+y2,y=ρsinθ代入可得:.
即圆的方程为:.
(Ⅱ)由直线l的参数方程(t为参数),消去参数t,可得:.
由(Ⅰ)可得:圆心为(0,),半径
圆心到直线的距离d==.
∵|PC|的最小值等于圆心到直线的d减去半径r.
所以:|PC|的最小值.
[选修4-5:不等式选讲]
24.设函数f(x)=|x+1|﹣|2x﹣4|;
(Ⅰ)解不等式f(x)≥1;
(Ⅱ)若对∀x∈R,都有f(x)+3|x﹣2|>m,求实数m的取值范围.
【考点】绝对值不等式的解法;绝对值三角不等式.
【分析】(Ⅰ)通过讨论x的范围,求出不等式的解集,取并集即可;(Ⅱ)根据绝对值的性质求出f(x)+3|x﹣2|的最小值,从而求出m的范围即可.
【解答】解:(Ⅰ)f(x)=|x+1|﹣|2x﹣4|=|x+1|﹣2|x﹣2|≥1,
x≥2时,x+1﹣2x+4≥1,解得:x≤4,
﹣1<x<2时,x+1+2x﹣4≥1,解得:x≥,
x≤﹣1时,﹣x﹣1+2x﹣4≥1,无解,
故不等式的解集是[,4];
(Ⅱ)若对∀x∈R,都有f(x)+3|x﹣2|>m,
即若对∀x∈R,都有|x+1|+|x﹣2|>m,
而|x+1|+|x﹣2|≥|x+1﹣x+2|=3,
故m<3.
还未学选修4-1、4-4、4-5的学生可选作此题
25.等比数列{an}的各项均为正数,且2a3是a2与a6的等比中项,2a1+3a2=16.
(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;
(Ⅱ)设bn=log2a1+log2a2+…+log2an,求数列{}的前n项和Sn.
【考点】等比数列的前n项和;等比数列的通项公式.
【分析】(I)利用等比数列的通项公式即可得出.
(II)利用对数的运算性质、等差数列的求和公式可得bn,再利用“裂项求和”方法即可得出.
【解答】解:(I)设等比数列{an}的公比为q>0,∵2a3是a2与a6的等比中项,2a1+3a2=16.
∴=a2a6,即=,a1(2+3q)=16,
解得a1=q=2,
∴an=2n.
(II)bn=log2a1+log2a2+…+log2an===,
∴==2.
∴数列{}的前n项和Sn=2+…+
=2
=.
2016年11月2日