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- 2021-06-19 发布
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课后限时集训28
平面向量的概念及线性运算
建议用时:45分钟
一、选择题
1.设D,E,F分别为△ABC的三边BC,CA,AB的中点,则+=( )
A. B.
C. D.
A [由题意得+=(+)+(+)=(+)=.]
2.(2019·兰州模拟)设D为△ABC所在平面内一点,=-4,则=( )
A.- B.+
C.- D.+
B [设=x+y,由=-4可得,+=-4-4,即--3=-4x-4y,则解得
即=+,故选B.]
3.已知向量a,b不共线,且c=λa+b,d=a+(2λ-1)b,若c与d共线反向,则实数λ的值为( )
A.1 B.-
C.1或- D.-1或-
B [由于c与d共线反向,则存在实数k使
c=kd(k<0),于是λa+b=k[a+(2λ-1)b].
整理得λa+b=ka+(2λk-k)b.
由于a,b不共线,所以有
整理得2λ2-λ-1=0,
解得λ=1或λ=-.
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又因为k<0,所以λ<0,故λ=-.]
4.在平行四边形ABCD中,点E为CD的中点,BE与AC的交点为F,设=a,=b,则向量=( )
A.a+b B.-a-b
C.-a+b D.a-b
C [由△CEF∽△ABF,且E是CD的中点得==,则==(+)
==-a+b,故选C.]
5.在△ABC中,AB=2,BC=3,∠ABC=60°,AD为BC边上的高,O为AD的中点,若=λ+μ,则λ+μ等于( )
A.1 B.
C. D.
D [∵=+=+,
∴2=+,即=+.
故λ+μ=+=.]
6.已知点O,A,B不在同一条直线上,点P为该平面上一点,且2=2+,则( )
A.点P在线段AB上
B.点P在线段AB的反向延长线上
C.点P在线段AB的延长线上
D.点P不在直线AB上
B [因为2=2+,所以2=,所以点P在线段AB的反向延长线上,故选B.]
7.(2019·西安调研)如图,在平行四边形ABCD中,M,N分别为AB,AD上的点,且=,=,AC,MN交于点P.若=λ,则λ的值为( )
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A. B.
C. D.
D [∵=,=,
∴=λ=λ(+)=λ
=λ+λ.
∵点M,N,P三点共线,
∴λ+λ=1,则λ=.故选D.]
二、填空题
8.若=,=(λ+1),则λ=________.
- [如图,由=,可知点P是线段AB上靠近点A的三等分点,则=-,结合题意可得λ+1=-,所以λ=-.
]
9.(2019·郑州模拟)设e1与e2是两个不共线向量,=3e1+2e2,=ke1+e2,=3e1-2ke2,若A,B,D三点共线,则k的值为________.
- [由题意,A,B,D三点共线,故必存在一个实数λ,使得=λ.
又=3e1+2e2,=ke1+e2,=3e1-2ke2,
所以=-=3e1-2ke2-(ke1+e2)
=(3-k)e1-(2k+1)e2,
所以3e1+2e2=λ(3-k)e1-λ(2k+1)e2,
又因为e1与e2 不共线,
所以解得k=-.]
10.下列命题正确的是________.(填序号)
①向量a,b共线的充要条件是有且仅有一个实数λ,使b=λa;
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②在△ABC中,++=0;
③只有方向相同或相反的向量是平行向量;
④若向量a,b不共线,则向量a+b与向量a-b必不共线.
④ [易知①②③错误.
∵向量a与b不共线,∴向量a,b,a+b与a-b均不为零向量.
若a+b与a-b共线,则存在实数λ使a+b=λ(a-b),即(λ-1)a=(1+λ)b,∴此时λ无解,故假设不成立,即a+b与a-b不共线.]
1.如图所示,平面内有三个向量,,,其中与的夹角为120°,与的夹角为30°,且||=||=1,||=,若=λ+μ,则λ+μ=( )
A.1 B.2
C.3 D.4
C [∵与的夹角为120°,与的夹角为30°,且||=||=1,||=,∴由=λ+μ,两边平方得3=λ2-λμ+μ2,①
由=λ+μ,两边同乘得=λ-,两边平方得=λ2-λμ+,②
①-②得=.根据题图知μ>0,∴μ=1.代入=λ-得λ=2,∴λ+μ=3.故选C.]
2.设O在△ABC的内部,D为AB的中点,且++2=0,则△ABC的面积与△AOC的面积的比值为( )
A.3 B.4 C.5 D.6
B [如图,∵D为AB的中点,则=(+),又++2=0,
∴=-,∴O为CD的中点,
又∵D为AB中点,∴S△AOC=S△ADC=S△ABC,则=4.]
3.如图,在平行四边形ABCD中,O是对角线AC,BD的交点,N是线段OD的中点,AN
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的延长线与CD交于点E,若=m+,则实数m的值为________.
[由N是OD的中点,得=+
=+(+)=+,
又因为A,N,E三点共线,
故=λ,
即m+=λ,
又与不共线,
所以解得
故实数m=.]
4.在等腰梯形ABCD中, =2,点E是线段BC的中点,若=λ+μ,则λ=________,μ=________.
[取AB的中点F,连接CF,则由题可得CF∥AD,且CF=AD.
∵=+=+=+(-)=+=+,∴λ=,μ=.]
1.O是平面上一定点,A,B,C是平面上不共线的三个点,动点P满足:=+λ,λ∈[0,+∞),则P的轨迹一定通过△ABC的( )
A.外心 B.内心
C.重心 D.垂心
B [作∠BAC的平分线AD.
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因为=+λ,所以=λ=λ′·(λ′∈[0,+∞)),所以=·,所以∥,所以P的轨迹一定通过△ABC的内心,故选B.]
2.(2019·安庆二模)在△ABC中,AB=1,BC=,CA=3,O为△ABC的外心,若=m+n,其中m,n∈[0,1],则点P的轨迹所对应图形的面积是________.
[由余弦定理得,cos∠BAC===,所以∠BAC=60°.
因此=2OB,OB=.由题意知,点P的轨迹所对应图形是以OB,OC为邻边的菱形,∠BOC=120°.于是这个菱形的面积是2S△BOC=2××OB2·sin 120°=×=.]
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