数学文卷·2018届湖南省（长郡中学、株洲市二中）、江西省（南昌二中）等十四校高三第一次联考（2018 9页

‎2018届高三十四校联考第一次考试试卷 数学（文科）‎ 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知集合，，则（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎2.已知的始边与轴非负半轴重合，终边上存在点且，则（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎3.复数满足，则（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎4.若三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的四个面中直角三角形的个数是（ ）‎ A．1 B．2 C．3 D．4 ‎ ‎5.在区间上随机取一个数，则满足的概率是（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎6.我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤，问次一尺各重几何？”意思是：“‎ 现有一根金杖，长5尺，一头粗，一头细，在最粗的一端截下1尺，重4斤；在最细的一端截下1尺，重2斤；问依次每一尺各重多少斤？”设该金杖由粗到细是均匀变化的，其总重量为，则的值为（ ）‎ A．4 B．12 C．15 D．18 ‎ ‎7.已知双曲线方程为，则该双曲线的渐近线方程为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎8.某程序框图如图所示，该程序运行后输出的值是（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎9.已知定义在上的奇函数满足当时，，则的零点个数是（ ）‎ A．2 B．3 C．4 D．5 ‎ ‎10.如图，已知边长为2的正方体，点为线段的中点，则直线与平面所成角的正切值为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎11.已知函数，若的两个零点，满足，则的值为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎12.已知函数是定义在上的奇函数，其导函数为，若对任意的正实数，都有恒成立，且，则使成立的实数的集合为（ ）‎ A． B．‎ C． D． ‎ 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13.已知矩形的边，，则 ．‎ ‎14.若实数，满足约束条件则目标函数的最大值是 ．‎ ‎15.在中，，，分别是内角，，的对边，，则边 ．‎ ‎16.已知在三棱锥中，，，的中点为且，当该三棱锥体积最大时，它的内切球半径为 ．‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17.已知等比数列满足且．‎ ‎（1）求的通项公式；‎ ‎（2）设，求的前项和．‎ ‎18.已知某班的50名学生进行不记名问卷调查，内容为本周使用手机的时间长，如表：‎ 时间长（小时）‎ 女生人数 ‎4‎ ‎11‎ ‎3‎ ‎2‎ ‎0‎ 男生人数 ‎3‎ ‎17‎ ‎6‎ ‎3‎ ‎1‎ ‎（1）求这50名学生本周使用手机的平均时间长；‎ ‎（2）时间长为的7名同学中，从中抽取两名，求其中恰有一个女生的概率；‎ ‎（3）若时间长为被认定“不依赖手机”，被认定“依赖手机”，根据以上数据完成列联表：‎ 不依赖手机 依赖手机 总计 女生 男生 总计 能否在犯错概率不超过0.15的前提下，认为学生的性别与依赖手机有关系？‎ ‎0.15‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ ‎2.072‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ ‎（参考公式：，）‎ ‎19.在四棱锥中，，，，是一个边长为2的等边三角形，且平面平面，为的中点．‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）求点到平面的距离．‎ ‎20.在平面直角坐标系中，动点（）到点的距离与到轴的距离之差为1．‎ ‎（1）求点的轨迹的方程；‎ ‎（2）若，过点作任意一条直线交曲线于，两点，试证明是一个定值．‎ ‎21.已知函数（为实数）．‎ ‎（1）当与切于，求，的值；‎ ‎（2）设，如果在上恒成立，求的范围．‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.‎ ‎22.选修4-4：坐标系与参数方程 以原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线的极坐标方程为：，在平面直角坐标系中，直线的方程为（为参数）．‎ ‎（1）求曲线和直线的直角坐标方程；‎ ‎（2）已知直线交曲线于，两点，求，两点的距离．‎ ‎23.选修4-5：不等式选讲 已知函数．‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）求不等式的解集．‎ ‎2018届高三十四校联考第一次考试数学（文科）试卷答案 一、选择题 ‎1-5: 6-10: 11、12：‎ 二、填空题 ‎13. 14. 15. 16.‎ 三、解答题 ‎17.解：（1）因为且，所以，‎ 从而．‎ ‎（2）由（1）得，‎ ‎∴．‎ ‎18.解：（1），‎ 所以，这50名学生本周使用手机的平均时间长为9小时．　‎ ‎（2）时间长为的有7人，记为、、、、、、，其中女生记为、、、，从这7名学生中随机抽取两名的基本事件有：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共21个．‎ 设事件表示恰有一位女生符合要求的事件有：，，，，，，，，，，，共12个．‎ 所以恰有一个女生的概率为．‎ ‎（3）‎ 不依赖手机 依赖手机 总计 女生 ‎15‎ ‎5‎ ‎20‎ 男生 ‎20‎ ‎10‎ ‎30‎ 总计 ‎35‎ ‎15‎ ‎50‎ ‎，‎ 不能在犯错概率不超过0.15的前提下，认为学生的性别与依赖手机有关系．‎ ‎19.（1）证明：过作，交于点，连接，‎ 可知，而，‎ 所以，‎ 从而四边形为平行四边形，‎ 所以，‎ 又平面，平面，‎ 所以平面．　‎ ‎（2）由（1）可知到平面的距离等于到平面的距离，‎ 设到平面的距离为，‎ 由，∴，解得，‎ 故到平面的距离为．‎ ‎20.解：（1）到定点的距离与到定直线的距离相等，‎ ‎∴的轨迹是一个开口向右的抛物线，且，‎ ‎∴的轨迹方程为．‎ ‎（2）设过的直线的方程为，‎ 联立方程组整理得，‎ 设直线与抛物线的交点为，，‎ 则有，，‎ 又，‎ 因此是一个定值为．‎ ‎21.解：（1），‎ 由与切于点，‎ 则 解得，．‎ ‎（2），‎ ‎∴，且．‎ ‎①当时，，可知在递增，此时成立；‎ ‎②当时，，可知在递增，在递减，此时，不符合条件；‎ ‎③当时，恒成立，可知在递减，此时成立，不符合条件；‎ ‎④当时，，可知在递减，此时成立，不符合条件；‎ ‎⑤当时，，可知在递增，此时成立．‎ 综上所述，．‎ ‎22.解：（1）由题知，曲线化为普通方程为，‎ 直线的直角坐标方程为．‎ ‎（2）由题知，直线的参数方程为（为参数），‎ 代入曲线：中，化简，得，‎ 设，两点所对应的参数分别为，，则 所以，即，的距离为．‎ ‎23.解：（1）证明：．‎ ‎（2）‎ 所以或或 解得，‎ 故解集为．‎