高中数学选修2-1课件2_1_2椭圆的几何性质（1） 19页

2.1.2 椭圆的简单几何性质 (1) 复习： 1. 椭圆的定义 : 到两定点 F 1 、 F 2 的距离之和为常数（大于 | F 1 F 2 | ）的动点的轨迹叫做椭圆。 2. 椭圆的标准方程是： 3. 椭圆中 a,b,c 的关系是 : a 2 =b 2 +c 2 当焦点在 X 轴上时 当焦点在 Y 轴上时 1 、椭圆的方程中 x 与 y 的取值是否有限？ 探究： 2 、椭圆在坐标平面中的图形与 x 、 y 有什么关系？ 二、 椭圆 简单的几何性质 -a≤x≤a, -b≤y≤b 知 椭圆落在 x=±a,y= ± b 组成的矩形中 o y B 2 B 1 A 1 A 2 F 1 F 2 c a b 1 、范围： 椭圆的对称性 Y X O P （ x ， y ） P 1 （ -x ， y ） P 2 （ -x ， -y ） 2 、对称性 ： o y B 2 B 1 A 1 A 2 F 1 F 2 c a b 从图形上看， 椭圆关于 x 轴、 y 轴、原点对称。 从方程上看： （ 1 ）把 x 换成 -x 方程不变，图象关于 y 轴对称； （ 2 ）把 y 换成 -y 方程不变，图象关于 x 轴对称； （ 3 ）把 x 换成 -x ，同时把 y 换成 -y 方程不变，图象关于原点成中心对称。 3 、椭圆的顶点 令 x=0 ，得 y= ？，说明椭圆与 y 轴的交点？ 令 y=0 ，得 x= ？说明椭圆与 x 轴的交点？ * 顶点：椭圆与它的对称轴的四个交点，叫做椭圆的顶点。 *长轴、短轴：线段 A 1 A 2 、 B 1 B 2 分别叫做椭圆的长轴和短轴。 a 、 b 分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。 o y B 2 B 1 A 1 A 2 F 1 F 2 c a b (0,b) (a ， 0) (0,-b) (-a ， 0) 1 2 3 -1 -2 -3 -4 4 y 1 2 3 -1 -2 -3 -4 4 y 1 2 3 4 5 -1 -5 -2 -3 -4 x 1 2 3 4 5 -1 -5 -2 -3 -4 x 根据前面所学有关知识画出下列图形 （ 1 ） （ 2 ） A 1 B 1 A 2 B 2 B 2 A 2 B 1 A 1 4 、 椭圆的离心率 e ( 刻画椭圆扁平程度的量 ) 离心率：椭圆的焦距与长轴长的比： 叫做椭圆的离心率。 [1] 离心率的取值范围： [2] 离心率对椭圆形状的影响： 0b a 2 =b 2 +c 2 标准方程 范围 对称性 顶点坐标 焦点坐标 半轴长 离心率 a 、 b 、 c 的关系 |x|≤ a,|y|≤ b 关于 x 轴、 y 轴成轴对称；关于原点成中心对称 (a,0) 、 (-a,0) 、 (0,b) 、 (0,-b) (c,0) 、 (-c,0) 长半轴长为 a , 短半轴长为 b. a>b a 2 =b 2 +c 2 |x|≤ b,|y|≤ a 同前 (b,0) 、 (-b,0) 、 (0,a) 、 (0,-a) (0 , c) 、 (0, -c) 同前 同前 同前 例 1 已知椭圆方程为 9x 2 +25y 2 =225, 它的长轴长是 ： 。 短轴长是 ： 。 焦距是 ： 。 离心率等于 ： 。 焦点坐标是 ： 。 顶点坐标是 ： 。 外切矩形的面积等于 ： 。 10 6 8 60 解题的关键： 1 、将椭圆方程转化为标准方程 明确 a 、 b 2 、确定焦点的位置和长轴的位置 练习：已知椭圆 的离心率 求 m 的值及椭圆的长轴和短轴的长、焦点坐 标、顶点坐标。 练习 求下列椭圆的长轴长、短轴长、焦点坐标、顶点坐标和离心率。 （ 1 ） x 2 +9y 2 =81 (2) 25x 2 +9y 2 =225 (3) 16x 2 +y 2 =25 (4) 4x 2 +5y 2 =1 例 2 　 求适合下列条件的椭圆的标准方程 ⑴经过点 P( － 3,0) 、 Q(0, － 2) ； ⑵长轴长等于 20 ，离心率 3/5 。 ⑶一焦点将长轴分成２ ： １的两部分，且经过点 解 ： ⑴方法一：设方程为 mx 2 ＋ ny 2 ＝ 1 （ m ＞ 0 ， n ＞ 0 ， m≠n ）， 将点的坐标方程，求出 m ＝ 1/9,n ＝ 1/4 。 方法二：利用椭圆的几何性质，以坐标轴为对称轴的椭圆与坐标轴的交点就是椭圆的顶点，于是焦点在 x 轴上，且点 P 、 Q 分别是椭圆长轴与短轴的一个端点 ，故 a ＝ 3 ， b ＝ 2 ，所以椭圆的标准方程为 注 ：待定系数法求椭圆标准方程的步骤： ⑴定位； ⑵定量 ⑶ ⑵ 或 或 练习： 1. 根据下列条件，求椭圆的标准方程。 ① 长轴长和短轴长分别为 8 和 6 ，焦点在 x 轴上 ② 长轴和短轴分别在 y 轴， x 轴上，经过 P(-2,0) ， Q(0,-3) 两点 . ③ 一焦点坐标为（－ 3 ， 0 ）一顶点坐标为（ 0 ， 5 ） ④两顶点坐标为（ 0 ， ±6 ），且经过点（ 5 ， 4 ） ⑤焦距是 12 ，离心率是 0.6 ，焦点在 x 轴上。 2. 已知椭圆的一个焦点为 F （ 6 ， 0 ）点 B ， C 是短轴的两端点，△ FBC 是等边三角形，求这个椭圆的标准方程。 例 3 ： (1) 椭圆 的左焦点 是两个顶点，如果到直线 AB 的距 离为 ，则椭圆的离心率 e= . (3) 设 M 为椭圆 上一点， 为椭圆的焦点， 如果 ，求椭圆的离心率。 小结： 本节课我们学习了椭圆的几个简单几何性质：范围、对称性、顶点坐标、离心率等概念及其几何意义。了解了研究椭圆的几个 基本量 a ， b ， c ， e 及顶点、焦点、对称中心及其相互之间的关系 ，这对我们解决椭圆中的相关问题有很大的帮助，给我们以后学习圆锥曲线其他的两种曲线扎实了基础。在解析几何的学习中，我们更多的是从方程的形式这个角度来挖掘题目中的隐含条件，需要我们认识并熟练掌握 数与形 的联系。在本节课中，我们运用了 几何性质 ， 待定系数法 来求解椭圆方程，在解题过程中，准确体现了 函数与方程 以及 分类讨论 的数学思想。 3 、 P 为椭圆 上任意一点， F 1 、 F 2 是焦 点， 求 ∠ F 1 PF 2 的最大值 . 作业：