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- 2021-06-19 发布
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2018年高考数学讲练测【新课标版文】【讲】第五章 平面向量
第01节 平面向量的概念及线性运算
【考纲解读】
考 点
考纲内容
5年统计
分析预测
1.平面向量的实际背景及基本概念
①了解向量的实际背景.
②理解平面向量的概念,理解两个向量相等的含义.
③理解向量的几何表示.
无
1.以考查向量的线性运算、共线为主,且主要是在理解它们含义的基础上,进一步解题,如利用向量的线性运算求参数等;
2.单独考查平面向量的实际背景及基本概念的题目极少.
3.备考重点:
(1) 理解相关概念是基础,掌握线性运算的方法是关键;
(2) 注意与平面几何、三角函数、解析几何等交汇问题,注意运用数形结合的思想方法.
2. 向量的线性运算
①掌握向量加法、减法的运算.并理解其几何意义.
②掌握向量数乘的运算及其几何意义。理解两个向量共线的含义。
③了解向量运算的性质及其几何意义
2013·新课标I.13;新课标II.13;
2014•新课标I.,6;
2016•新课标II.13;
2017•新课标I.13;II.20.
【知识清单】
1.向量的概念
1.向量:既有大小又有方向的量叫向量;向量的大小叫做向量的模.
2.零向量:长度等于0的向量,其方向是任意的.
3.单位向量:长度等于1个单位的向量.
4.平行向量:方向相同或相反的非零向量,又叫共线向量,规定:0与任一向量共线.
5.相等向量:长度相等且方向相同的向量.
6.相反向量:长度相等且方向相反的向量.
对点练习:
给出下列命题:
①两个具有公共终点的向量,一定是共线向量.
②两个向量不能比较大小,但它们的模能比较大小.
③ (为实数),则必为零.
其中错误的命题的个数为( )
A.1 B.2
C.3 D.0
【答案】
2.平面向量的线性运算
一.向量的线性运算
向量运算
定义
法则(或几何意义)
运算律
加法
求两个向量和的运算
三角形法则
平行四边形法则
(1)交换律:;
(2)结合律:
减法
求a与b的相反向量-b的和的运算叫做a与b的差
三角形法则
二.向量的数乘运算及其几何意义
1.定义:实数λ与向量a的积是一个向量,这种运算叫向量的数乘,记作λa,它的长度与方向规定如下:
①|λa|=|λ||a|;
②当λ>0时,λa的方向与a的方向相同;当λ<0时,λa的方向与a的方向相反;当λ=0时,λa=0.
2.运算律:设λ,μ是两个实数,则:
①;②;③.
对点练习:
【2015高考新课标1】设为所在平面内一点,则( )
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】由题知=,故选A.
3.共线向量
共线向量定理:向量a(a≠0)与b共线,当且仅当有唯一一个实数λ,使得b=λa.
对点练习:
设两个非零向量a与b不共线,
(1)若=a+b,=2a+8b,=3(a-b),
求证:A,B,D三点共线;
(2)试确定实数k,使ka+b和a+kb同向.
【答案】(1)证明见解析;(2)k=1.
【解析】(1)证明:∵=a+b,=2a+8b,=3(a-b),
∴=+=2a+8b+3(a-b)=2a+8b+3a-3b=5(a+b)=5.∴,共线.
又∵它们有公共点B,∴A,B,D三点共线.
(2)∵ka+b与a+kb同向,
∴存在实数λ(λ>0),使ka+b=λ(a+kb),
即ka+b=λa+λkb.
∴(k-λ)a=(λk-1)b.
∵a,b是不共线的两个非零向量,
解得或
又∵λ>0,∴k=1.
【考点深度剖析】
平面向量的概念及线性运算,往往以选择题或填空题的形式出现.常常以平面图形为载体,借助于向量的坐标形式等考查共线等问题;也易同解析几何知识相结合,以工具的形式出现.
【重点难点突破】
考点1 向量的有关概念
【1-1】给出下列命题:
①两个具有共同终点的向量,一定是共线向量;
②若是不共线的四点,则=是四边形为平行四边形的充要条件;
③若a与b同向,且|a|>|b|,则a>b;
④λ,μ为实数,若λa=μb,则a与b共线.
其中假命题的个数为( )
A.1 B.2
C.3 D.4
【答案】
【领悟技法】
(1)两向量起点相同,终点相同,则两向量相等;但两相等向量,不一定有相同的起点和终点.
(2)零向量和单位向量是两个特殊的向量.它们的模确定,但方向不确定..
(3)几个重要结论
①向量相等具有传递性,非零向量的平行具有传递性;
②向量可以平移,平移后的向量与原向量是相等向量.
【触类旁通】
【变式一】给出下列命题:
①的充要条件是且;
②若向量与同向,且,则;
③由于零向量的方向不确定,故零向量不与任意向量平行;
④若向量与向量平行,则向量与的方向相同或相反;
⑤起点不同,但方向相同且模相等的几个向量是相等向量;
⑥任一向量与它的相反向量不相等.
其中真命题的序号是________.
【答案】⑤
【解析】①当与是相反向量时,满足且,但≠,故①假;
②向量不能比较大小,故②假;
③与任意向量平行,故③假;
④当与中有零向量时,由于零向量的方向是任意的,故④假;
⑤由相等向量定义知,⑤真;
⑥的相反向量仍是,故⑥假.
考点2 平面向量的线性运算
【2-1】如图,正方形中,点是的中点,点 是的一个三等分点,那么等于( )
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
根据向量加法、减法的三角形法则可知
,故选D.
【领悟技法】
1.常用的法则是平行四边形法则和三角形法则,一般共起点的向量求和用平行四边形法则,求差用三角形法则,求首尾相连向量的和用三角形法则.
2.找出图形中的相等向量、共线向量,将所求向量与已知向量转化到同一个平行四边形或三角形中求解.
【触类旁通】
【变式一】平行四边形OADB的对角线交点为C,=,=,=a,=b,用a、b表示、、
【答案】=a+b, a+b,=a-b.
【解析】=a-b,==a-b,
=a+b,=a+b,
=+
==a+b,
=a-b.
考点3 共线向量
【3-1】在△ABC中,已知D是AB边上一点,若=,=+λ,则λ等于( )
A. B. C.- D.-
【答案】
【领悟技法】
共线向量定理应用时的注意点
(1)向量共线的充要条件中要注意“a≠0”,否则λ可能不存在,也可能有无数个.
(2)证明三点共线问题,可用向量共线来解决,但应注意向量共线与三点共线的区别与联系,当两向量共线且有公共点时,才能得出三点共线;另外,利用向量平行证明向量所在直线平行,必须说明这两条直线不重合.
【触类旁通】
【变式一】已知是△ABC所在平面内的一点,若,其中λ∈R,则点一定在( )
A.△ABC的内部 B.AC边所在直线上
C.AB边所在直线上 D.BC边所在直线上
【答案】
【解析】由得,∴.则为共线向量,又
有一个公共点三点共线,即点在直线上.故选.
【易错试题常警惕】
易错典例: 下列四个命题:①若|a|=0,则a=0;②若|a|=|b|,则a=b或a=-b;③若a∥b,则a与b同向或反向;④若a=0,则-a=0.其中正确命题的序号为________.
易错分析:概念理解不清致误.
正确解析:正解:若|a|=0,则a=0,故①错误;|a|=|b|只说明a与b的模相等,它们的方向不能确定,故②错误;若a∥b且a,b为非零向量时,a与b的方向相同或相反,当其中一个向量为零向量时,另一个向量的方向任意.故③错误;④正确.所以正确命题的序号为④.
答案:④
温馨提醒:(1)易忽略与0的区别,把零向量误写成0而致误.
(2)易将向量与数量混淆而致误,如|a|=|b|误推出a=±b等.
(3)忽视向量为零向量的特殊情况而致误.
【学科素养提升之思想方法篇】
数形结合百般好,隔裂分家万事休——数形结合思想
我国著名数学家华罗庚曾说过:"数形结合百般好,隔裂分家万事休。""数"与"形"反映了事物两个方面的属性。我们认为,数形结合,主要指的是数与形之间的一一对应关系。数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来,通过"以形助数"或"以数解形"即通过抽象思维与形象思维的结合,可以使复杂问题简单化,抽象问题具体化,从而起到优化解题途径的目的.
向量的几何表示,三角形、平行四边形法则,使向量具备形的特征,而向量的坐标表示和坐标运算又具备数的特征,因此,向量融数与形于一身,具备了几何形式与代数形式的“双重身份”.因此,在应用向量解决问题或解答向量问题时,要注意恰当地运用数形结合思想,将复杂问题简单化、将抽象问题具体化,达到事半功倍的效果.
【典例】【2017安徽马鞍山二模】已知P、Q为中不同的两点,且0, 0,则 为( )
A. B. C. D.
【答案】A