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- 2021-06-19 发布
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三明市A片区高中联盟校2017－2018学年第一学期阶段性考试
高 二 数 学（理科）
考试时间：2018年1月30日上午8：00－10：00 全卷满分：150分
注意事项：
1．试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）．
2．所有答案请答在答题卡上，试卷不上交．
3．请用2B铅笔将选择题答案填涂在答题卡上，综合题答案请用0.5mm黑色水笔写在答题卡的相应位置上，不得超出答题扫描区作答．
第Ⅰ卷 选择题（共计60分）
一．选择题：（本大题共有12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中只有一项符合题目要求．）
1．PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物,也称为可入肺颗粒物．如图是根据某中学学生社团某日早6点至晚9点在一中、二中两个校区附近的PM2.5监测点统计的数据(单位:毫克/立方米)列出的茎叶图，一中、二中两个校区浓度的方差较小的是( )
A．一中校区 B．二中校区
C．一中、二中两个校区相等 D．无法确定
22．若向量满足条件，则实数的值为（ ）
A．－1 B．2 C．3 D．4
3．某学校共有师生2 400人,现用分层抽样的方法,从所有师生中抽取一个容量为150的样本,已知从学生中抽取的人数为135,那么该学校的教师人数是( )
A．15 B．200 C．240 D．2160
4．如图是一个求的值的程序框图，则判断框中应填入的条件是（ ）
A． B． C． D．
5．计算＝（ ）
A． B．
C． D．
6．如图是某工厂对一批新产品长度(单位：mm)检测结果的频率分布直方图.估计这批产品的平均数为( )
A．22.5 B．22.75 C．25 D．20
7．已知：函数在内有最小值；，则是的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
8．已知函数在上可导，其导函数为，且函数的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是（ ）
A．为的极大值点
B．为的极小值点
C．为的极大值点
D．为的极小值点．
9．已知F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，若以为圆心，以的长为半径的圆与椭圆C交于点P，则椭圆C离心率的取值范围是( )
A． B． C． D．
10．在棱长为1的正方体中，二面角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
11．已知抛物线，当过轴上一点的直线与抛物线交于两点时，为锐角，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
12．给出下列命题：①可以用二进制数表示为；②对于任意事件，都有；③“在中，若，则”的逆命题是真命题；④在上恒成立在上恒成立．其中正确命题的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
第Ⅱ卷 非选择题（共计90分）
二．填空题：本大题共有4小题，每小题5分，共20分
13．在三棱锥中，点是的重心，若＝，则实数的值为＿＿＿＿＿＿．
14．若命题“存在实数，使”的否定是假命题，则实数的取值范围是＿＿．
15．已知直线是曲线的切线，则＝＿＿＿＿．
16．已知函数，，若在区间上存在两个不相等的实数，使得，成立，则的取值范围是＿＿＿＿＿＿＿．
三．解答题：本大题共有6小题，共70分
17．（本题满分10分）某经济学院的研究生为了研究中国人口老龄化对储蓄率的影响，收集了2007-2016年这10年的有关数据如下表：
第n年
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
老年抚养比（%）
9.7
10.1
10.5
10.7
11.1
11
11.3
11.5
12.1
12.3
储蓄率（%）
53
52
55
61
62
64
64
65
66
65
其中老年抚养比是指人口中非劳动年龄人口数中老年部分对劳动年龄人口数之比，用以表明每100名劳动年龄人口要负担多少名老年人；储蓄率指个人可支配收入总额中储蓄额所占的百分比。
（1）画出散点图；
（2）求出回归直线方程；
（3）如果我国老年抚养比达到15%，估计储蓄率是多少？
（所有计算数据都精确到0.1）
参考数据：，．
参考公式：，．
18．（本题满分12分）
已知双曲线与双曲线有公共渐近线，且过点．
（1）求双曲线的方程；
（2）若是双曲线的左右焦点，过且倾斜角为的直线交双曲线于两点，求的面积．
19．（本题满分12分）如图，在斜三棱柱中，平面，，是的中点，且.
（1）证明：平面；
（2）设平面和平面所成的锐二面角为，求．
20．（本题满分12分）已知袋子中放有大小和形状相同的小球若干，其中标号为0的小球1个，标号为1的小球1个，标号为2的小球个．若从袋子中随机抽取1个小球，取到标号为2的小球的概率是．
（1）求的值；
（2）从袋子中不放回地随机抽取2个小球，记第一次取出的小球标号为，第二次取出的小球标号为．
①记“”为事件，求事件发生的概率；②在区间上任取2个实数，记“不等式有解”为事件，求事件的概率．
21．（本题满分12分）已知椭圆E：的半焦距为，原点到经过两点，的直线的距离为．
（1）求椭圆E的离心率；
（2） 如图，直线AB与椭圆E相交于AB两点，是的中点，且，求椭圆E的方程．
22．（本题满分12分）
已知函数，．
（Ⅰ）若，试讨论的单调性；
（Ⅱ）当时，恒成立，求实数的取值范围．
三明市A片区高中联盟校2017－2018学年第一学期阶段性考试
高二数学（理科）参考答案
一．选择题：
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
A
C
C
B
A
B
A
D
C
A
D
B
二．填空题：
13． 14． 15． 16．．
三．解答题：
17．解析：（1）散点图如图…………3分
（2）∵，．
∴，∴，
，
∴所求的回归直线方程为． ……………………7分
（3）若我国老年抚养比达到15%，
由回归方程可得，
即当老年抚养比达到15%时，估计储蓄率大约是％． …………10分
18．解析：（1）设与双曲线有公共渐近线的双曲线的方程为，将点代入得，所求双曲线的方程为． …………4分
（2）由（1）知，双曲线两焦点分别为．
∵直线的倾斜角为，且直线经过右焦点，
∴直线的方程为． ……………………6分
由消去，得． ……………………8分
设，则．
∴． ……………………10分
设到直线的距离为，则．
∴所求的面积为． ………………12分
119． 解析：（1）连结交于点，连结，则
∵是的中点，∴．
又平面，平面．
∴平面． ……………………4分
（2）设，则．
∵平面，，∴两两垂直， ………………5分
以为原点，分别以所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系如图，
则． ……………………6分
∴，
， ……………………8分
设平面的法向量为，则
有，即，
令，则，
∴， ……………………10分
容易证明，向量是平面的法向量，
∴． ……………………12分
220．解析：（1）依题意，得． ……………………3分
（2）①取出2个小球的可能情况有：
0
1
2
2
0
（0,1）
（0,2）
（0,2）
1
（1,0）
（1,2）
（1,2）
2
（2,0）
（2,1）
（2,2）
2
（2,0）
（2,1）
（2,2）
共12种，其中满足“”的有6种；
∴所求概率为． ……………………8分
②全部结果所构成的区域为，
而事件构成的区域为，
∴所求事件的概率为． ……………………12分
21．解析：（1）由题意知经过两点，的直线的斜率，直线方程为， ……………………1分
原点到直线的距离为，∴．
∵ ，∴ ，∴． ……………………4分
（2）设，，则直线 ①
由（1）知E： ②
联立①②得， ……………6分
∴，
∵AB的中点是，∴， ③
∴，∴，
又∵，∴， ④ ……………………9分
由③④解得，，∴，
将，，代入②解得，∴．
∴椭圆E的方程为． ……………………12分
22．解析：（Ⅰ）定义域为，
， ……………………1分
当时，，∴在上单调递增，
当时，，在上单调递增，
当时，当时，，当时，，
∴在上单调递增，在上单调递减， ……………5分
综上得，当时，在上单调递增，
当时，在上单调递增，在上单调递减．
……………………7分
（Ⅱ）∵＝，所以题意等价于：
当时，≤0恒成立，
令，则，
令，则， ………………8分
（1）若，则在上恒成立，在上递增，
∴＞0，∴在上递增，
∴对任意的，都有，不符合题意．
（2）若，当时，，∴，
以下论证同（1），所以不符合题意．
（3）若，则在上恒成立，
∴在上递减，，
从而，即有，
综上所述，的取值范围是． ……………………12分
（其它解法相应给分）
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