数学文卷·2018届河北省石家庄二中高三上学期期中考试（2017 11页

‎2017-2018学年第一学期期中考试 高三数学（文）‎ 一． 选择题（每题5分，共计60分）‎ ‎1.设集合A={x|x2+x﹣6＜0}，B={x|x＜0}，则=（ ）‎ A．{x|0< x<2} B．{x|} C．{x|﹣3＜x＜0} D．{x|x>0}‎ ‎2.已知z∈C，若，则z所对应的点在（ ）‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎3.设p：在（2，+∞）内单调递增，q：，则p是q的（ ）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 ‎ C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎4.已知实数x，y满足条件，则z=x+y的最小值为（ ）‎ A． B．4 C．2 D．3‎ ‎5.Sn为等差数列{an}的前n项和，S9=﹣36，S13=﹣104，等比数列{bn}中，b5=a5，b7=a7，则b6等于（ ）‎ A． B． C． D．无法确定 ‎6.如图，某几何体的三视图中，俯视图是边长为2的正三角形，正视图和左视图分别为直角梯形和直角三角形，则该几何体的体积为（ ）‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎7. 已知，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎8.已知周期为2的函数在区间 上的解析式为．若在区间 ‎[﹣2，3]上关于x的方程ax+2a﹣f（x）=0恰有四个不相等的实数根，则实数a的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．（1，2）‎ ‎9.如图，在四棱锥C﹣ABOD中，CO⊥平面ABOD，AB∥OD，OB⊥OD，且AB=2OD=12，AD=6 ，异面直线CD与AB所成角为30°，点O，B，C，D都在同一个球面上，则该球的表面积为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎ ‎ ‎10.如图是函数y=Asin（ωx+ϕ）（x∈R，A＞0，ω＞0，0＜ϕ＜ ）在区间上的图象，为了得到这个函数的图象，只需将y=cosx（x∈R）的图象上的所有的点（ ）‎ ‎ ‎ A．向右平移 个长度单位，再把所得各点的横坐标变为原来的 ，纵坐标不变 B．向右平移个长度单位，再把所得各点的横坐标变为原来的2‎ 倍，纵坐标不变 C．向右平移 个长度单位，再把所得各点的横坐标变为原来的，纵坐标不变 D．向右平移个长度单位，再把所得各点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变 ‎11.已知定义在R上的函数y=f（x）满足条件，且函数 是奇函数，由下列四个命题中不正确的是（ ）‎ A．函数f（x）是周期函数 B．函数f（x）的图象关于点对称 C．函数f（x）是偶函数 D．函数f（x）的图象关于直线对称 12. 已知函数f（x）=alnx + x2﹣b(x﹣1)﹣1，若对，f（x）≥0恒成立，则实数a的取值范围是（ ）‎ A． B．a＜2 C． D．‎ 二．填空题（每题5分，共计20分）‎ ‎13. “干支纪年法”是中国历法上自古以来就一直使用的纪年方法，甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸十个符号叫天干，子、丑、寅、卯、巳、午、未、申、酉、戌、亥十二个符号叫地支.把干支顺序相配正好六十为一周，周而复始，循环记录，这就是俗称的“干支表”.比如2015年是“干支纪年法”中的乙未年，2016年是“干支纪年法”中的丙申年，那么2017年是“干支纪年法”中的_________‎ ‎14. 已知△是边长为1的等边三角形，点分别是边的中点，连接并延长到点，使得，则的值为______________‎ ‎15. 已知x＞0，y＞0，，则的最小值是______ ‎ ‎16. 用表示不超过的最大整数，例如，，.已知数列满足，，则_____________.‎ 三、解答题（共6小题，共70分）‎ ‎17．（10分）设.‎ ‎(1)求的单调递增区间；‎ ‎(2)锐角中，角的对边分别为，若， ， ，求的值.‎ ‎ ‎ ‎18．（12分）已知数列的前项和，且是与的等差中项.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）若，求数列的前项和.‎ ‎19．（12分）如图，在四棱锥S ABCD中，平面SAD⊥平面ABCD．四边形ABCD为正方形，且点P为AD的中点，点Q为SB的中点．‎ ‎ ‎ ‎(1)求证：PQ∥平面SCD．‎ ‎(2)若SA＝SD，点M为BC的中点，在棱SC上是否存在点N，使得平面DMN⊥平面ABCD？若存在，请说明其位置，并加以证明；若不存在，请说明理由．‎ ‎ ‎ ‎20．（12分）已知函数， （）.‎ ‎（1）若， 恒成立，求实数的取值范围；‎ ‎（2）设函数，若在上有两个零点，求实数的取值范围.‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎21．（12分）如图所示，在四棱锥中， 为等边三角形， ,⊥平面，为的中点．‎ ‎（1）证明：；‎ ‎（2）若，求点到平面的距离．‎ ‎ ‎ ‎22．（12分）设函数．‎ ‎（1）讨论函数的单调性；‎ ‎（2）求证：对任意，，都有．‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 石家庄二中高三期中考试文科试卷 答案 一、选择：C A B C C A D A C C D A 二、填空：13. 丁酉年 14. 15. 16. 2016‎ ‎17. 解析：‎ ‎（1）由题意知 ‎ ，……………………………………………….3分 由 可得 所以函数 的单调递增区间是…………………5分 ‎（2）由得，又为锐角，所以 ……………6分 由余弦定理得： ，即，.………………….8分 即 ，而，所以………………….10分 ‎18. 解析：‎ ‎（1）∵an是2与Sn的等差中项，‎ ‎∴2an＝2＋Sn， ①‎ ‎∴2an－1＝2＋Sn－1，(n≥2) ②.………………….2分 ‎①－②得，2an－2an－1＝Sn－Sn－1＝an，‎ 即 ＝2(n≥2)．.………………….4分 在①式中，令n＝1得，a1＝2．‎ ‎∴数列{an}是首项为2，公比为2的等比数列，………………………………5分 ‎∴an＝2n. . ………………………………………………………………………………………………….6分 ‎（2）bn＝＝．‎ 所以Tn＝＋＋＋…＋＋， ①‎ 则Tn＝＋＋＋…＋＋， ②.………………….7分 ‎①－②得，‎ Tn＝＋＋＋＋…＋－ …………………8分 ‎＝＋2(＋＋＋…＋)－‎ ‎＝＋2×－ ‎ ‎＝－．.………………….10分 所以Tn＝3－． .………………….12分 ‎19. 解析：(1)取SC的中点R，连QR，DR.‎ 由题意知：PD∥BC且PD=BC.‎ 在△SBC中，Q为SB的中点，R为SC的中点，‎ 所以QR∥BC且QR=BC.‎ 所以QR∥PD且QR=PD，则四边形PDRQ为平行四边形. ….………………….3分 所以PQ∥DR.又PQ⊄平面SCD，DR⊂平面SCD，‎ 所以PQ∥平面SCD. .………………….………….5分 ‎(2)存在点N为SC中点,使得平面DMN⊥平面ABCD. …………….…………………6分 连接PC、DM交于点O，连接PM、SP，‎ 因为PD∥CM，并且PD=CM，‎ 所以四边形PMCD为平行四边形，‎ 所以PO=CO.‎ 又因为N为SC中点，‎ 所以NO∥SP. …………….…………………8分 因为平面SAD⊥平面ABCD，平面SAD∩平面ABCD=AD，并且SP⊥AD，‎ 所以SP⊥平面ABCD，….………………….10分 所以NO⊥平面ABCD,‎ 又因为NO⊂平面DMN，‎ 所以平面DMN⊥平面ABCD. …………….…………………12分 ‎20. （1）由题意，得的定义域为，‎ ‎. ….………………….2分 ‎，∴、随的变化情况如下表：‎ ‎0‎ 单调递减 极小值 单调递增 ‎ ‎ 所以. ….…………………4分 ‎ 在上恒成立，∴.….………………….5分 ‎（2）函数在上有两个零点，等价于方程在上有两个解.‎ 化简，得. ….………………….6分 设. 则， ‎ ‎， 、随的变化情况如下表:‎ ‎1‎ ‎3‎ 单调递增 单调递减 单调递增 ‎….………………….….…………………..………………….….…………………….….…………………8分 且， ， ，‎ ‎. ….………………….10分 所以，当时， 在上有两个解.‎ 故实数的取值范围是.….………………….12分 ‎21. 解析：‎ ‎（1）证明：取中点， ‎ ‎ 平面， ，‎ ‎ 平面，‎ ‎ ，‎ ‎ 平面，‎ ‎ .….…………………………………………………………………………………….2分 又 为等边三角形且为中点，‎ ‎ ， ….…………………………………………………………………………………………….4分 ‎ 平面 ‎ ‎ ….………………….…………………………………………………………………………………………….5分 ‎（2）解：取的中点， 平面，………………………………………………6分 又，‎ 所以，……………………………………………………………8分 由（1）知平面，所以，又 所以，…………………………………………………………………10分 设点到平面的距离为，‎ 由得….………………….12分 ‎22. 解析：（1），定义域为， ‎ ‎．………………………………………………2分 ‎① 当时， ，故函数在上单调递减； ‎ ‎② 当时，令，得 x ‎↘‎ 极小值 ‎↗‎ 综上所述，当时， 在上单调递减；当时，函数在上单调递减，在上单调递增． …………………………5分 ‎（2）当时，由第一问可知，函数在上单调递减，‎ 显然， ，故，‎ 所以函数在上单调递减，………………7分 因为对任意，都有，所以．‎ 所以，即，……………9分 所以，即，‎ 所以，即，‎ 所以．…………………………………………12分