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  • 2021-06-19 发布

文科数学大二轮复习冲刺创新专题题型2解答题规范踩点多得分第4讲立体几何第2课时空间距离与几何体中体积面积的计算练习

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第2课时 空间距离与几何体中体积、面积的计算 ‎[考情分析] 空间距离和几何体体积(面积)问题是每年高考的必考内容,并且多在解答题的第二、三问中出现,难度适中,为中档题.‎ 热点题型分析 热点1 空间距离的计算 点面距离常用以下两种方法求解:一是直接做出垂线段求解;二是利用三棱锥体积转换,求点到面的距离.‎ ‎ (2018·全国卷Ⅱ)如图,在三棱锥P-ABC中,AB=BC=2,PA=PB=PC=AC=4,O为AC的中点.‎ ‎(1)证明:PO⊥平面ABC;‎ ‎(2)若点M在棱BC上,且MC=2MB,求点C到平面POM的距离.‎ 解 (1)证明:因为AP=CP=AC=4,O为AC的中点,所以OP⊥AC,且OP=2.连接OB,因为AB=BC=AC,所以△ABC为等腰直角三角形,且OB⊥AC,OB=AC=2.‎ 由OP2+OB2=PB2知OP⊥OB.‎ 由OP⊥OB,OP⊥AC,AC∩OB=O,知PO⊥平面ABC.‎ ‎(2)作CH⊥OM,垂足为H.又由(1)可得OP⊥CH,所以CH⊥平面POM.‎ 故CH的长为点C到平面POM的距离.‎ - 9 -‎ 由题设可知OC=AC=2,CM=BC=,∠ACB=45°.‎ 所以由余弦定理,得OM=,‎ CH==.‎ 所以点C到平面POM的距离为.‎ 诚如上文所说,求点面距问题可以采用等积转换求解,除此之外个别问题也可采用垂面法(利用面面垂直性质定理)和等价转移法(利用线面平行)求解.当然,一些求几何体体积问题,也是对点面距问题的相应考查.‎ 如图,在梯形ABCD中,AB∥CD,AD=DC=CB=1,∠BCD=120°,四边形BFED为矩形,平面BFED⊥平面ABCD,BF=1.‎ ‎(1)求证:AD⊥平面BFED;‎ ‎(2)已知点P在线段EF上,且=2,求D到面APE的距离.‎ 解 (1)证明:在梯形ABCD中,因为AB∥CD,AD=DC=CB=1,∠BCD=120°,所以∠DAB=∠CBA=60°,AB=2,所以由余弦定理得BD=.因此AB2=AD2+BD2,所以AD⊥BD.又因为平面BFED⊥平面ABCD,平面BFED∩平面ABCD=BD,AD⊂平面ABCD,所以AD⊥平面BFED.‎ ‎(2)由(1)知,AD⊥平面BFED,所以AD⊥EP,AD⊥ED.又因为EP⊥ED,所以EP⊥平面ADE.BD=,BF=1,=2,所以EP=,设D到面PEA的距离为d,因为VA-EDP=VD-AEP,即·AD·S△EDP=·d·S△AEP,所以d===.‎ 热点2 几何体体积(面积)的计算 - 9 -‎ 空间几何体体积的常用公式:‎ ‎(1)V柱=Sh(S为底面面积,h为体高);‎ ‎(2)V锥=Sh(S为底面面积,h为体高);‎ ‎(3)V台=(S++S′)h(S′,S分别为上,下底面面积,h为体高)(不要求记忆).‎ ‎(2019·全国卷Ⅱ)如图,长方体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形,点E在棱AA1上,BE⊥EC1.‎ ‎(1)证明:BE⊥平面EB1C1;‎ ‎(2)若AE=A1E,AB=3,求四棱锥E-BB1C1C的体积.‎ 解 (1)证明:由已知得B1C1⊥平面ABB1A1,BE⊂平面ABB1A1,故B1C1⊥BE.又BE⊥EC1,B1C1∩EC1=C1,所以BE⊥平面EB1C1.‎ ‎(2)由(1)知∠BEB1=90°.‎ 由题设知Rt△ABE≌Rt△A1B1E,‎ 所以∠AEB=∠A1EB1=45°,‎ 故AE=AB=3,AA1=2AE=6.‎ 如图,作EF⊥BB1,垂足为F,则EF⊥平面BB1C1C,且EF=AB=3.‎ 所以四棱锥E-BB1C1C的体积 V=×3×6×3=18.‎ ‎1.直接法:求一些规则几何体的体积时,可以根据几何体的特点,利用线面垂直、面面垂直等条件,确定几何体的高,再根据体积公式直接求解;‎ ‎2.等积变换法:三棱锥也称为四面体,它的每一个面都可以当做底面,恰当地进行换底等积变换便于问题的求解;‎ - 9 -‎ ‎3.割补法:割补法是处理立体几何问题的一种基本方法,解题思路是以已知几何体为背景,将其补成或分割成熟悉的、更易利用已知条件解决的简单几何体.‎ ‎(2019·广州模拟)如图,直角梯形ABEF中,∠ABE=∠BAF=90°,C,D分别是BE,AF上的点,且DA=AB=BC=a,DF=2CE=2a.沿CD将四边形CDFE翻折至四边形CDPQ的位置,连接AP,BP,BQ,得到多面体ABCDPQ,且AP=a.‎ ‎(1)求多面体ABCDPQ的体积;‎ ‎(2)求证:平面PBQ⊥平面PBD.‎ 解 (1)∵DA=AB=BC=a,∠ABC=∠BAD=90°,‎ ‎∴四边形ABCD是正方形,∴CD⊥AD,CD⊥DP.‎ 又AD∩DP=D,AD,DP⊂平面ADP,‎ ‎∴CD⊥平面ADP.‎ ‎∵AB∥CD,∴AB⊥平面ADP,‎ ‎∵AD2+DP2=AP2,∴AD⊥DP,‎ 又CD⊥AD,CD∩DP=D,CD,DP⊂平面CDPQ,‎ ‎∴AD⊥平面CDPQ,又AD∥BC,‎ ‎∴BC⊥平面CDPQ.‎ ‎∴VB-CDPQ=S梯形CDPQ·BC ‎=××a=a3,‎ VB-ADP=S△ADP·AB ‎=××a×2a×a=,‎ ‎∴多面体ABCDPQ的体积为VB-CDPQ+VB-ADP=.‎ ‎(2)证明:取BP的中点G,连接GQ,DG,DQ,‎ - 9 -‎ 在△ABP中,BP==2a,‎ ‎∴BG=BP=a,‎ 在△BCQ中,BQ==a.‎ PQ==a,‎ ‎∴PQ=BQ,∴GQ⊥BP.‎ ‎∴QG==a,又BD=AB=2a=DP,‎ ‎∴DG⊥BP,∴DG==a,‎ 又DQ==a,‎ ‎∴DQ2=QG2+DG2,∴QG⊥DG.‎ 又BP∩DG=G,BP,DG⊂平面PBD,‎ ‎∴QG⊥平面PBD,‎ 又QG⊂平面PBQ,∴平面PBQ⊥平面PBD.‎ 专题作业 ‎1.(2019·河南六市三模)已知在空间几何体ABCDE中,△BCD与△CDE均是边长为2的等边三角形,△ABC是腰长为3的等腰三角形,平面CDE⊥平面BCD,平面ABC⊥平面BCD.‎ ‎(1)试在平面BCD内作一条直线,使得直线上任意一点F与E的连线EF均与平面ABC平行,并给出证明;‎ ‎(2)求三棱锥E-ABC的体积.‎ 解 (1)如图所示,取DC的中点N,取BD的中点M,连接MN,则MN即为所求.‎ 证明:连接EM,EN,取BC的中点H,连接AH,‎ ‎∵△ABC是腰长为3的等腰三角形,H为BC的中点,‎ - 9 -‎ ‎∴AH⊥BC,又平面ABC⊥平面BCD,平面ABC∩平面BCD=BC,AH⊂平面ABC,‎ ‎∴AH⊥平面BCD,同理可证EN⊥平面BCD,‎ ‎∴EN∥AH,‎ ‎∵EN⊄平面ABC,AH⊂平面ABC,‎ ‎∴EN∥平面ABC.‎ 又M,N分别为BD,DC的中点,∴MN∥BC,‎ ‎∵MN⊄平面ABC,BC⊂平面ABC,‎ ‎∴MN∥平面ABC.‎ 又MN∩EN=N,MN⊂平面EMN,EN⊂平面EMN,‎ ‎∴平面EMN∥平面ABC,又EF⊂平面EMN,‎ ‎∴EF∥平面ABC,‎ 即直线MN上任意一点F与E的连线EF均与平面ABC平行.‎ ‎(2)连接DH,取CH的中点G,连接NG,则NG∥DH,‎ 由(1)可知EN∥平面ABC,‎ ‎∴点E到平面ABC的距离与点N到平面ABC的距离相等,‎ 又△BCD是边长为2的等边三角形,∴DH⊥BC,‎ 又平面ABC⊥平面BCD,平面ABC∩平面BCD=BC,DH⊂平面BCD,‎ ‎∴DH⊥平面ABC,∴NG⊥平面ABC,‎ 易知DH=,∴NG=,‎ 又S△ABC=·BC·AH=×2×=2,‎ ‎∴VE-ABC=·S△ABC·NG=.‎ ‎2.已知四棱锥S-ABCD的底面ABCD为直角梯形,AB∥CD,AB⊥BC,AB=2BC=2CD=2,△SAD为正三角形.‎ ‎(1)点M为线段AB上一点,若BC∥平面SDM,=λ,求实数λ的值;‎ ‎(2)若BC⊥SD,求点B到平面SAD的距离.‎ 解 (1)因为BC∥平面SDM,BC⊂平面ABCD,平面SDM∩平面ABCD=DM,‎ 所以BC∥DM.‎ - 9 -‎ 又AB∥DC,所以四边形BCDM为平行四边形,‎ 所以CD=MB,‎ 又AB=2CD,所以M为AB的中点.‎ 因为A=λ,所以λ=.‎ ‎(2)因为BC⊥SD,BC⊥CD,所以BC⊥平面SCD,‎ 又BC⊂平面ABCD,‎ 所以平面SCD⊥平面ABCD.‎ 如图,在平面SCD内过点S作SE垂直CD交CD的延长线于点E,连接AE,‎ 又平面SCD∩平面ABCD=CD,‎ 所以SE⊥平面ABCD,‎ 所以SE⊥CE,SE⊥AE,‎ 在Rt△SEA和Rt△SED中,‎ AE=,DE=,‎ 因为SA=SD,所以AE=DE,‎ 又易知∠EDA=45°,‎ 所以AE⊥ED,‎ 由已知求得SA=AD=,所以AE=ED=SE=1.‎ 连接BD,则V三棱锥S-ABD=××2×1×1=,‎ 又V三棱锥B-ASD=V三棱锥S-ABD,S△SAD ‎=×××=,‎ 所以点B到平面SAD的距离为.‎ ‎3.(2019·河南洛阳统一考试)在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,四边形ABCD是平行四边形,A1A⊥平面ABCD,∠BAD=60°,AB=2,BC=1,AA1=,E为A1B1的中点.‎ - 9 -‎ ‎(1)求证:平面A1BD⊥平面A1AD;‎ ‎(2)求多面体A1E-ABCD的体积.‎ 解 (1)证明:在△ABD中,∠BAD=60°,AB=2,AD=BC=1,‎ 由余弦定理得BD=,∴BD2+AD2=AB2.‎ ‎∴BD⊥AD.∵A1A⊥平面ABCD,BD⊂平面ABCD,‎ ‎∴A1A⊥BD.‎ 又A1A∩AD=A,∴BD⊥平面A1AD.‎ 又BD⊂平面A1BD,∴平面A1BD⊥平面A1AD.‎ ‎(2)设AB,CD的中点分别为F,G,连接EF,FG,GE,BD∩FG=H.‎ ‎∵E,F,G分别为A1B1,AB,CD的中点,‎ ‎∴多面体EFG-A1AD为三棱柱.‎ ‎∵BD⊥平面A1AD,‎ ‎∴DH为三棱柱的高.‎ 又S△A1AD=AD·A1A=,DH=BD=,‎ ‎∴三棱柱EFG-A1AD的体积为S△A1AD·HD=×=.‎ 在四棱锥E-BCGF中,EF∥A1A,‎ ‎∴EF⊥底面BCGF,EF=A1A=.‎ ‎∵S四边形BCGF=S四边形ABCD ‎=×2×1×sin60°=,‎ ‎∴四棱锥E-BCGF的体积为 - 9 -‎ S四边形BCGF·EF=××=,‎ ‎∴多面体A1E-ABCD的体积为+=.‎ - 9 -‎

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