文科数学大二轮复习冲刺创新专题题型2解答题规范踩点多得分第4讲立体几何第2课时空间距离与几何体中体积面积的计算练习 9页

第2课时　空间距离与几何体中体积、面积的计算 ‎[考情分析]　空间距离和几何体体积(面积)问题是每年高考的必考内容，并且多在解答题的第二、三问中出现，难度适中，为中档题.‎ 热点题型分析 热点1　空间距离的计算 点面距离常用以下两种方法求解：一是直接做出垂线段求解；二是利用三棱锥体积转换，求点到面的距离．‎ ‎ (2018·全国卷Ⅱ)如图，在三棱锥P－ABC中，AB＝BC＝2，PA＝PB＝PC＝AC＝4，O为AC的中点．‎ ‎(1)证明：PO⊥平面ABC；‎ ‎(2)若点M在棱BC上，且MC＝2MB，求点C到平面POM的距离．‎ 解　(1)证明：因为AP＝CP＝AC＝4，O为AC的中点，所以OP⊥AC，且OP＝2.连接OB，因为AB＝BC＝AC，所以△ABC为等腰直角三角形，且OB⊥AC，OB＝AC＝2.‎ 由OP2＋OB2＝PB2知OP⊥OB.‎ 由OP⊥OB，OP⊥AC，AC∩OB＝O，知PO⊥平面ABC.‎ ‎(2)作CH⊥OM，垂足为H.又由(1)可得OP⊥CH，所以CH⊥平面POM.‎ 故CH的长为点C到平面POM的距离．‎ - 9 -‎ 由题设可知OC＝AC＝2，CM＝BC＝，∠ACB＝45°.‎ 所以由余弦定理，得OM＝，‎ CH＝＝.‎ 所以点C到平面POM的距离为.‎ 诚如上文所说，求点面距问题可以采用等积转换求解，除此之外个别问题也可采用垂面法(利用面面垂直性质定理)和等价转移法(利用线面平行)求解．当然，一些求几何体体积问题，也是对点面距问题的相应考查．‎ 如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD＝DC＝CB＝1，∠BCD＝120°，四边形BFED为矩形，平面BFED⊥平面ABCD，BF＝1.‎ ‎(1)求证：AD⊥平面BFED；‎ ‎(2)已知点P在线段EF上，且＝2，求D到面APE的距离．‎ 解　(1)证明：在梯形ABCD中，因为AB∥CD，AD＝DC＝CB＝1，∠BCD＝120°，所以∠DAB＝∠CBA＝60°，AB＝2，所以由余弦定理得BD＝.因此AB2＝AD2＋BD2，所以AD⊥BD.又因为平面BFED⊥平面ABCD，平面BFED∩平面ABCD＝BD，AD⊂平面ABCD，所以AD⊥平面BFED.‎ ‎(2)由(1)知，AD⊥平面BFED，所以AD⊥EP，AD⊥ED.又因为EP⊥ED，所以EP⊥平面ADE.BD＝，BF＝1，＝2，所以EP＝，设D到面PEA的距离为d，因为VA－EDP＝VD－AEP，即·AD·S△EDP＝·d·S△AEP，所以d＝＝＝.‎ 热点2　几何体体积(面积)的计算 - 9 -‎ 空间几何体体积的常用公式：‎ ‎(1)V柱＝Sh(S为底面面积，h为体高)；‎ ‎(2)V锥＝Sh(S为底面面积，h为体高)；‎ ‎(3)V台＝(S＋＋S′)h(S′，S分别为上，下底面面积，h为体高)(不要求记忆)．‎ ‎(2019·全国卷Ⅱ)如图，长方体ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，点E在棱AA1上，BE⊥EC1.‎ ‎(1)证明：BE⊥平面EB1C1；‎ ‎(2)若AE＝A1E，AB＝3，求四棱锥E－BB1C1C的体积．‎ 解　(1)证明：由已知得B1C1⊥平面ABB1A1，BE⊂平面ABB1A1，故B1C1⊥BE.又BE⊥EC1，B1C1∩EC1＝C1，所以BE⊥平面EB1C1.‎ ‎(2)由(1)知∠BEB1＝90°.‎ 由题设知Rt△ABE≌Rt△A1B1E，‎ 所以∠AEB＝∠A1EB1＝45°，‎ 故AE＝AB＝3，AA1＝2AE＝6.‎ 如图，作EF⊥BB1，垂足为F，则EF⊥平面BB1C1C，且EF＝AB＝3.‎ 所以四棱锥E－BB1C1C的体积 V＝×3×6×3＝18.‎ ‎1．直接法：求一些规则几何体的体积时，可以根据几何体的特点，利用线面垂直、面面垂直等条件，确定几何体的高，再根据体积公式直接求解；‎ ‎2．等积变换法：三棱锥也称为四面体，它的每一个面都可以当做底面，恰当地进行换底等积变换便于问题的求解；‎ - 9 -‎ ‎3．割补法：割补法是处理立体几何问题的一种基本方法，解题思路是以已知几何体为背景，将其补成或分割成熟悉的、更易利用已知条件解决的简单几何体．‎ ‎(2019·广州模拟)如图，直角梯形ABEF中，∠ABE＝∠BAF＝90°，C，D分别是BE，AF上的点，且DA＝AB＝BC＝a，DF＝2CE＝2a.沿CD将四边形CDFE翻折至四边形CDPQ的位置，连接AP，BP，BQ，得到多面体ABCDPQ，且AP＝a.‎ ‎(1)求多面体ABCDPQ的体积；‎ ‎(2)求证：平面PBQ⊥平面PBD.‎ 解　(1)∵DA＝AB＝BC＝a，∠ABC＝∠BAD＝90°，‎ ‎∴四边形ABCD是正方形，∴CD⊥AD，CD⊥DP.‎ 又AD∩DP＝D，AD，DP⊂平面ADP，‎ ‎∴CD⊥平面ADP.‎ ‎∵AB∥CD，∴AB⊥平面ADP，‎ ‎∵AD2＋DP2＝AP2，∴AD⊥DP，‎ 又CD⊥AD，CD∩DP＝D，CD，DP⊂平面CDPQ，‎ ‎∴AD⊥平面CDPQ，又AD∥BC，‎ ‎∴BC⊥平面CDPQ.‎ ‎∴VB－CDPQ＝S梯形CDPQ·BC ‎＝××a＝a3，‎ VB－ADP＝S△ADP·AB ‎＝××a×2a×a＝，‎ ‎∴多面体ABCDPQ的体积为VB－CDPQ＋VB－ADP＝.‎ ‎(2)证明：取BP的中点G，连接GQ，DG，DQ，‎ - 9 -‎ 在△ABP中，BP＝＝2a，‎ ‎∴BG＝BP＝a，‎ 在△BCQ中，BQ＝＝a.‎ PQ＝＝a，‎ ‎∴PQ＝BQ，∴GQ⊥BP.‎ ‎∴QG＝＝a，又BD＝AB＝2a＝DP，‎ ‎∴DG⊥BP，∴DG＝＝a，‎ 又DQ＝＝a，‎ ‎∴DQ2＝QG2＋DG2，∴QG⊥DG.‎ 又BP∩DG＝G，BP，DG⊂平面PBD，‎ ‎∴QG⊥平面PBD，‎ 又QG⊂平面PBQ，∴平面PBQ⊥平面PBD.‎ 专题作业 ‎1．(2019·河南六市三模)已知在空间几何体ABCDE中，△BCD与△CDE均是边长为2的等边三角形，△ABC是腰长为3的等腰三角形，平面CDE⊥平面BCD，平面ABC⊥平面BCD.‎ ‎(1)试在平面BCD内作一条直线，使得直线上任意一点F与E的连线EF均与平面ABC平行，并给出证明；‎ ‎(2)求三棱锥E－ABC的体积．‎ 解　(1)如图所示，取DC的中点N，取BD的中点M，连接MN，则MN即为所求．‎ 证明：连接EM，EN，取BC的中点H，连接AH，‎ ‎∵△ABC是腰长为3的等腰三角形，H为BC的中点，‎ - 9 -‎ ‎∴AH⊥BC，又平面ABC⊥平面BCD，平面ABC∩平面BCD＝BC，AH⊂平面ABC，‎ ‎∴AH⊥平面BCD，同理可证EN⊥平面BCD，‎ ‎∴EN∥AH，‎ ‎∵EN⊄平面ABC，AH⊂平面ABC，‎ ‎∴EN∥平面ABC.‎ 又M，N分别为BD，DC的中点，∴MN∥BC，‎ ‎∵MN⊄平面ABC，BC⊂平面ABC，‎ ‎∴MN∥平面ABC.‎ 又MN∩EN＝N，MN⊂平面EMN，EN⊂平面EMN，‎ ‎∴平面EMN∥平面ABC，又EF⊂平面EMN，‎ ‎∴EF∥平面ABC，‎ 即直线MN上任意一点F与E的连线EF均与平面ABC平行．‎ ‎(2)连接DH，取CH的中点G，连接NG，则NG∥DH，‎ 由(1)可知EN∥平面ABC，‎ ‎∴点E到平面ABC的距离与点N到平面ABC的距离相等，‎ 又△BCD是边长为2的等边三角形，∴DH⊥BC，‎ 又平面ABC⊥平面BCD，平面ABC∩平面BCD＝BC，DH⊂平面BCD，‎ ‎∴DH⊥平面ABC，∴NG⊥平面ABC，‎ 易知DH＝，∴NG＝，‎ 又S△ABC＝·BC·AH＝×2×＝2，‎ ‎∴VE－ABC＝·S△ABC·NG＝.‎ ‎2.已知四棱锥S－ABCD的底面ABCD为直角梯形，AB∥CD，AB⊥BC，AB＝2BC＝2CD＝2，△SAD为正三角形．‎ ‎(1)点M为线段AB上一点，若BC∥平面SDM，＝λ，求实数λ的值；‎ ‎(2)若BC⊥SD，求点B到平面SAD的距离．‎ 解　(1)因为BC∥平面SDM，BC⊂平面ABCD，平面SDM∩平面ABCD＝DM，‎ 所以BC∥DM.‎ - 9 -‎ 又AB∥DC，所以四边形BCDM为平行四边形，‎ 所以CD＝MB，‎ 又AB＝2CD，所以M为AB的中点．‎ 因为A＝λ，所以λ＝.‎ ‎(2)因为BC⊥SD，BC⊥CD，所以BC⊥平面SCD，‎ 又BC⊂平面ABCD，‎ 所以平面SCD⊥平面ABCD.‎ 如图，在平面SCD内过点S作SE垂直CD交CD的延长线于点E，连接AE，‎ 又平面SCD∩平面ABCD＝CD，‎ 所以SE⊥平面ABCD，‎ 所以SE⊥CE，SE⊥AE，‎ 在Rt△SEA和Rt△SED中，‎ AE＝，DE＝，‎ 因为SA＝SD，所以AE＝DE，‎ 又易知∠EDA＝45°，‎ 所以AE⊥ED，‎ 由已知求得SA＝AD＝，所以AE＝ED＝SE＝1.‎ 连接BD，则V三棱锥S－ABD＝××2×1×1＝，‎ 又V三棱锥B－ASD＝V三棱锥S－ABD，S△SAD ‎＝×××＝，‎ 所以点B到平面SAD的距离为.‎ ‎3．(2019·河南洛阳统一考试)在四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，四边形ABCD是平行四边形，A1A⊥平面ABCD，∠BAD＝60°，AB＝2，BC＝1，AA1＝，E为A1B1的中点．‎ - 9 -‎ ‎(1)求证：平面A1BD⊥平面A1AD；‎ ‎(2)求多面体A1E－ABCD的体积．‎ 解　(1)证明：在△ABD中，∠BAD＝60°，AB＝2，AD＝BC＝1，‎ 由余弦定理得BD＝，∴BD2＋AD2＝AB2.‎ ‎∴BD⊥AD.∵A1A⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，‎ ‎∴A1A⊥BD.‎ 又A1A∩AD＝A，∴BD⊥平面A1AD.‎ 又BD⊂平面A1BD，∴平面A1BD⊥平面A1AD.‎ ‎(2)设AB，CD的中点分别为F，G，连接EF，FG，GE，BD∩FG＝H.‎ ‎∵E，F，G分别为A1B1，AB，CD的中点，‎ ‎∴多面体EFG－A1AD为三棱柱．‎ ‎∵BD⊥平面A1AD，‎ ‎∴DH为三棱柱的高．‎ 又S△A1AD＝AD·A1A＝，DH＝BD＝，‎ ‎∴三棱柱EFG－A1AD的体积为S△A1AD·HD＝×＝.‎ 在四棱锥E－BCGF中，EF∥A1A，‎ ‎∴EF⊥底面BCGF，EF＝A1A＝.‎ ‎∵S四边形BCGF＝S四边形ABCD ‎＝×2×1×sin60°＝，‎ ‎∴四棱锥E－BCGF的体积为 - 9 -‎ S四边形BCGF·EF＝××＝，‎ ‎∴多面体A1E－ABCD的体积为＋＝.‎ - 9 -‎