2013届高考数学一轮复习 直线、平面垂直的判定及其性质 12页

‎2013届高考一轮复习 直线、平面垂直的判定及其性质 一、选择题 ‎1、如图所示,四边形ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD,则图中互相垂直的平面共有 ( )‎ A.3对 B.4对 C.5对 D.6对 ‎2、若a、b是空间两条不同的直线，α、β是空间的两个不同的平面，则a⊥α的一个充分条件是 ( )‎ A.a∥β，α⊥β B.aβ，α⊥β C.a⊥b，b∥α D.a⊥β，α∥β ‎3、如图,已知四边形ABCD是矩形,且PA⊥平面ABCD,下列结论中不正确的是 ( )‎ A.PB⊥BC B.PD⊥CD C.PB⊥BD D.PA⊥BD ‎4、m、n是空间两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，下面四个命题中，真命题的序号是.‎ ‎①m⊥α，n∥β，α∥βm⊥n；②m⊥n，α∥β，m⊥αn∥β；‎ ‎③m⊥n，α∥β，m∥αn⊥β；④m⊥α，m∥n，α∥βn⊥β.‎ ‎5、给定空间中的直线l及平面α，条件“直线l与平面α内无数条直线都垂直”是“直线l与平面α垂直”的 ( )‎ A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.既非充分也非必要条件 ‎6、设a、b是不同的直线，α、β是不同的平面，则下列四个命题中正确的是 ( )‎ A.若a⊥b，a⊥α，则b∥α B.若a∥α，α⊥β，则a⊥β C.若a⊥β，α⊥β，则a∥α D.若a⊥b，a⊥α，b⊥β，则α⊥β ‎7、如图,在斜三棱柱ABC-中，∠BAC=90°⊥AC，则在底面ABC上的射影H必在 ( )‎ A.直线AB上 B.直线BC上 C.直线AC上 D.△ABC内部 ‎8、在正四面体P-ABC中,D,E,F分别是AB,BC,CA的中点,下面四个结论中不成立的是( )‎ A.BC∥平面PDF B.DF⊥平面PAE C.平面PDF⊥平面ABC D.平面PAE⊥平面ABC ‎9、PA垂直于正方形ABCD所在平面，连接PB，PC，PD，AC，BD，则下列垂直关系正确的是 ( )‎ ‎①平面PAB⊥平面PBC ‎ ‎②平面PAB⊥平面PAD ‎ ‎③平面PAB⊥平面PCD ‎ ‎④平面PAB⊥平面PAC A.①②‎ B.①③‎ C.②③‎ D.②④‎ ‎10、设a、b、c表示三条直线，α、β表示两个平面，则下列命题的逆命题不成立的是 ( )‎ A.c⊥α，若c⊥β，则α∥β B.bα，cα，若c∥α，则b∥c C.bβ，若b⊥α，则β⊥α D.bβ，c是a在β内的射影，若b⊥c，则b⊥a 二、填空题 ‎11、正三棱锥的底面边长为2，侧面均为直角三角形，则此三棱锥的体积为 .‎ ‎12、在正方体ABCD—中,找一个平面与平面垂直,则该平面是 .‎ ‎(写出满足条件的一个平面即可)‎ ‎13、已知a、b是两条不重合的直线，α、β、γ是三个两两不重合的平面，给出下列四个命题:‎ ‎①若a⊥α，a⊥β，则α∥β；‎ ‎②若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；‎ ‎③若α∥β，aα，bβ，则a∥b；‎ ‎④若α∥β，α∩γ=a，β∩γ=b，则a∥b.‎ 其中正确命题的序号有 .‎ 三、解答题 ‎14、如图,在四棱锥P-ABCD中,PD⊥平面ABCD,PD=DC=BC=1,AB=2,AB∥DC,∠BCD=90°.‎ ‎(1)求证:PC⊥BC;‎ ‎(2)求点A到平面PBC的距离.‎ ‎15、如图, 是半径为a的半圆，AC为直径，点E为的中点，点B和点C为线段AD的三等分点.平面AEC外一点F满足FB=FD=.‎ ‎(1)证明：EB⊥FD;‎ ‎(2)已知点Q,R分别为线段FE,FB上的点，使得FQ=FE,FR=FB,求平面BED与平面RQD所成二面角的正弦值.‎ ‎16、如图,圆柱内有一个三棱柱ABC-,三棱柱的底面为圆柱底面的内接三角形,且AB是圆O的直径.‎ ‎(1)证明:平面;‎ ‎(2)设AB= ,在圆柱内随机选取一点,记该点取自于三棱柱ABC-内的概率为p. ‎(ⅰ)当点C在圆周上运动时,求p的最大值;‎ ‎(ⅱ)记平面与平面所成的角为θ(0°<θ≤90°).当p取最大值时,求cosθ的值.‎ 以下是答案 一、选择题 ‎1、 D 解析：∵PA⊥面ABCD,且PA面PAB,PA面PAD,PA面PAC,‎ ‎∴面PAB和面PAC和面PAD都与面ABCD垂直.‎ 又AD⊥PA,AD⊥AB,∴AD⊥面PAB.‎ 又AD面PAD,∴面PAB⊥面PAD.‎ 同理可证面PBC⊥面PAB,面PCD⊥面PAD.‎ ‎2、 D 解析:只有选项D，a⊥β，α∥βa⊥α.‎ ‎3、C 解析:由线面垂直的判定定理及线面垂直的定义可知A,B,D正确.‎ ‎4、 ①④‎ 解析:①显然正确；②错误，n还可能在β内；③错误，n可能与β相交但不垂直；④正确.‎ ‎5、B ‎6、D 解析:A中，b可能在α 内；B中，a可能在β内，也可能与β平行或相交(不垂直)；C中，a可能在α内；D中，a⊥b，a⊥α，则bα或b∥α，又b⊥β，∴α⊥β.‎ ‎7、 A 解析:由AC⊥AB，AC⊥，得AC⊥平面，AC平面ABC，‎ ‎∴平面⊥平面ABC，在面ABC上的射影H必在二平面交线AB上.‎ ‎8、 C 解析：如图所示，∵BC∥DF，∴BC∥平面PDF.‎ ‎∴A正确.由图形知BC⊥PE,BC⊥AE,‎ ‎∴BC⊥平面PAE.‎ ‎∴DF⊥平面PAE,∴B正确.‎ ‎∴平面ABC⊥平面PAE(BC⊥平面PAE).‎ ‎∴D正确.‎ ‎9、 A 解析:易证BC⊥平面PAB，‎ 则平面PAB⊥平面PBC；‎ 又AD∥BC，‎ 故AD⊥平面PAB，‎ 则平面PAD⊥平面PAB，‎ 因此选A.‎ ‎10、 C 解析:C选项的逆命题为bβ，若β⊥α则b⊥α.因为根据平面垂直的性质定理，如果两个平面垂直，其中一个平面内的直线只有垂直于交线的才垂直另一个平面,所以此逆命题不正确.故选C.‎ 二、填空题 ‎11、 ‎ 解析:如图，底面△BCD为正三角形，BC=CD=DB=2.‎ ‎∴AB=AC=AD=,‎ 又由于AB⊥AD且AC⊥AD.‎ ‎∴AD⊥平面ABC.‎ ‎∴.‎ ‎12、 平面 解析:连接,在正方形 又AB⊥平面平面，‎ ‎∴AB⊥.‎ 又∩AB=A,∴⊥平面，‎ 又，‎ 故平面⊥平面 .‎ ‎13、 ①④‎ 解析:垂直于同一直线的两平面平行，①正确；α与β也可能相交，②错；a、b也可异面，③错；由面面平行性质知，a∥b，④正确.‎ 三、解答题 ‎14、 (1)证明:∵PD⊥平面ABCD,BC平面ABCD,‎ ‎∴PD⊥BC.‎ 由∠BCD=90°,‎ 得BC⊥DC.‎ 又PD∩DC=D,PD平面PCD,‎ DC平面PCD,∴BC⊥平面PCD.‎ ‎∵PC平面PCD,∴PC⊥BC.‎ ‎ (2)解:连接AC,设点A到平面PBC的距离为h.‎ ‎∵AB∥DC,∠BCD=90°,‎ ‎∴∠ABC=90°.‎ 从而由AB=2,BC=1,得△ABC的面积.‎ 由PD⊥平面ABCD及PD=1,得三棱锥P—ABC的体积V=·PD=.‎ 因为PD⊥平面ABCD,DC平面ABCD,‎ 所以PD⊥DC.‎ 又PD=DC=1,所以PC=.‎ 由PC⊥BC,BC=1,‎ 得△PBC的面积,‎ 由V=·h=·h=,得h=. 因此,点A到平面PBC的距离为.‎ ‎15、 解：(1)证明：连接CF.‎ ‎∵是半径为a的半圆,AC为直径,点E为的中点,∴EB⊥AC.‎ 在△EBF中,EB=a,FB=,‎ ‎∴.‎ ‎∴△EBF为Rt△,且EB⊥FB.‎ 又∵FB∩AC=B,‎ ‎∴EB⊥平面FBD.‎ 又∵FD 平面FBD,∴EB⊥FD.‎ ‎(2)设平面BED与平面RQD的交线为DG.‎ 由FQ=FE,FR=FB,知QR∥EB.‎ 而EB平面BDE,‎ ‎∴QR∥平面BDE,‎ 而平面BDE∩平面RQD=DG,‎ ‎∴QR∥DG∥EB.‎ 由(1)知,BE⊥平面BDF,∴DG⊥平面BDF,‎ 而DR平面BDF,BD平面BDF，‎ ‎∴DG⊥DR,DG⊥BD.‎ ‎∴∠RDB是平面BED与平面RQD所成二面角的平面角.‎ ‎∵点B和点C为线段AD的三等分点，‎ ‎∴C为BD的中点.‎ 又FB＝FD,∴FC⊥BD.‎ 在Rt△BCF中, ,‎ 过R作RH⊥BC,垂足为H.∴FC∥RH.‎ 又FR=FB,∴BR=FB.‎ ‎∴RH=FC=a,BH=BC=.‎ ‎∵HD=HC+CD=,‎ ‎∴RD=.‎ ‎∴sin∠RDB= .‎ 故平面BED与平面RQD所成二面角的正弦值是.‎ ‎16、解法一: (1)∵⊥平面ABC,BC平面ABC,‎ ‎∴⊥BC.‎ ‎∵AB是圆O的直径,∴BC⊥AC.‎ 又AC∩=A,∴BC⊥平面.‎ 而BC平面,‎ 所以平面⊥平面.‎ ‎(2)(ⅰ)设圆柱的底面半径为r,‎ 则AB==2r,‎ 故三棱柱ABC—的体积 AC·BC·2r=AC·BC·r.‎ 又 当且仅当AC=BC=r时等号成立.‎ 从而, .‎ 而圆柱的体积,‎ 故,‎ 当且仅当AC=BC=r,即OC⊥AB时等号成立.‎ 所以,p的最大值等于.‎ ‎(ⅱ)由(ⅰ)可知,p取最大值时,OC⊥AB.‎ 于是,以O为坐标原点,建立空间直角坐标系O—xyz(如图),‎ 则C(r,0,0),B(0,r,0), .‎ ‎∵BC⊥平面,‎ ‎∴ =(r,-r,0)是平面的一个法向量. 设平面的法向量n=(x,y,z),‎ 由 故 取z=1,得平面的一个法向量为n=(0,-2,1).‎ ‎∵0°<θ≤90°,‎ ‎∴cosθ=|cos |=.‎ 解法二: (1)同解法一.‎ ‎(2)(ⅰ)设圆柱的底面半径为r,‎ 则AB= =2r,‎ 故三棱柱ABC-的体积V1=1〖〗‎2AC·BC·2r=AC·BC·r.‎ 设∠BAC=α(0°<α<90°),‎ 则AC=ABcosα=2rcosα,BC=ABsinα=2rsinα,‎ 由于AC·BC=,‎ 当且仅当sin2α=1,即α=45°时等号成立.‎ 故.‎ 而圆柱的体积,‎ 故,当且仅当sin2α=1,即α=45°时等号成立.‎ 所以,p的最大值等于.‎ ‎(ⅱ)同解法一.‎ 解法三: (1)同解法一.‎ ‎(2)(ⅰ)设圆柱的底面半径为r,则,‎ 故圆柱的体积.‎ 因为p= ,所以当取得最大值时,p取得最大值.‎ 又因为点C在圆周上运动,所以当OC⊥AB时,△ABC的面积最大.‎ 进而,三棱柱ABC-的体积最大,且其最大值为·2r·r·2r=2.‎ 故p的最大值为.‎ ‎(ⅱ)同解法一.‎