高二数学人教A版选修4-5教案：4-2用数学归纳法证明不等式举例x 7页

‎4.2用数学归纳法证明不等式举例 一、教学目标 ‎1．会用数学归纳法证明简单的不等式．‎ ‎2．会用数学归纳法证明贝努利不等式，了解贝努利不等式的应用条件．‎ 二、课时安排 ‎1课时 三、教学重点 会用数学归纳法证明简单的不等式．‎ 四、教学难点 会用数学归纳法证明贝努利不等式，了解贝努利不等式的应用条件．‎ 五、教学过程 ‎（一）导入新课 复习数学归纳法的基本思想。‎ ‎（二）讲授新课 教材整理　用数学归纳法证明不等式 ‎1．贝努利(Bernoulli)不等式 如果x是实数，且x>－1，x≠0，n为大于1的自然数，那么有(1＋x)n> .‎ ‎2．在运用数学归纳法证明不等式时，由n＝k成立，推导n＝k＋1成立时，常常要与其他方法，如比较法、分析法、综合法、放缩法等结合进行．‎ ‎（三）重难点精讲 题型一、数学归纳法证明不等式 例1已知Sn＝1＋＋＋…＋(n>1，n∈N＋)，求证：S2n>1＋(n≥2，n∈N＋).‎ ‎【精彩点拨】　先求Sn 再证明比较困难，可运用数学归纳法直接证明，注意Sn表示前n项的和(n>1)，首先验证n＝2；然后证明归纳递推．‎ ‎【自主解答】　(1)当n＝2时，S22＝1＋＋＋＝>1＋，‎ 即n＝2时命题成立．‎ ‎(2)假设n＝k(k≥2，k∈N＋)时命题成立，即S2k＝1＋＋＋…＋>1＋.‎ 当n＝k＋1时，‎ S2k＋1＝1＋＋＋…＋＋＋…＋ ‎>1＋＋＝1＋＋＝1＋.‎ 故当n＝k＋1时，命题也成立．‎ 由(1)(2)知，对n∈N＋，n≥2，S2n>1＋都成立．‎ 规律总结：此题容易犯两个错误，一是由n＝k到n＝k＋1项数变化弄错，认为的后一项为，实际上应为；二是＋＋…＋共有多少项之和，实际上 2k＋1到2k＋1是自然数递增，项数为2k＋1－(2k＋1)＋1＝2k.‎ ‎[再练一题]‎ ‎1．若在本例中，条件变为“设f(n)＝1＋＋＋…＋(n∈N＋)，由f(1)＝1>， f(3)>1，f(7)>，f(15)>2，…” .试问：f(2n－1)与大小关系如何？试猜想并加以证明．‎ ‎【解】　数列1,3,7,15，…，通项公式为an＝2n－1，数列，1，，2，…，通项公式为an＝，‎ ‎∴猜想：f(2n－1)>.‎ 下面用数学归纳法证明：‎ ‎①当n＝1时，f(21－1)＝f(1)＝1>，不等式成立．‎ ‎②假设当n＝k(k≥1，k∈N＋)时不等式成立，‎ 即f(2k－1)>，‎ 当n＝k＋1时，f(2k＋1－1)＝f(2k－1)＋＋＋…＋＋>f(2k－1)＋‎ ‎∴当n＝k＋1时不等式也成立．‎ 据①②知对任何n∈N＋原不等式均成立．‎ 例2　证明：2n＋2>n2(n∈N＋)．‎ ‎【精彩点拨】　⇒⇒ ‎【自主解答】　(1)当n＝1时，左边＝21＋2＝4；右边＝1，左边>右边；‎ 当n＝2时，左＝22＋2＝6，右＝22＝4，所以左>右；‎ 当n＝3时，左＝23＋2＝10，右＝32＝9，所以左>右．‎ 因此当n＝1,2,3时，不等式成立．‎ ‎(2)假设当n＝k(k≥3且k∈N＋)时，不等式成立，即2k＋2＞k2(k∈N＋)．‎ 当n＝k＋1时，2k＋1＋2＝2·2k＋2‎ ‎＝2(2k＋2)－2>2k2－2‎ ‎＝k2＋2k＋1＋k2－2k－3‎ ‎＝(k＋1)2＋(k＋1)(k－3)，‎ ‎∵k≥3，∴(k＋1)(k－3)≥0，‎ ‎∴(k＋1)2＋(k＋1)(k－3)≥(k＋1)2，‎ 所以2k＋1＋2>(k＋1)2.‎ 故当n＝k＋1时，原不等式也成立．‎ 根据(1)(2)知，原不等式对于任何n∈N＋都成立．‎ 规律总结：‎ ‎1．本例中，针对目标k2＋2k＋1，由于k的取值范围(k≥1)太大，不便于缩小．因此，用增加奠基步骤(把验证n＝1扩大到验证n＝1,2,3)的方法，使假设中k的取值范围适当缩小到k≥3，促使放缩成功，达到目标．‎ ‎2．利用数学归纳法证明数列型不等式的关键是由n＝k到n＝k＋1的变形．为满足题目的要求，常常要采用“放”与“缩”等手段，但是放缩要有度，这是一个难点，解决这个难题一是要仔细观察题目结构，二是要靠经验积累．‎ ‎[再练一题]‎ ‎2．用数学归纳法证明：对一切大于1的自然数，不等式…＞均成立．‎ ‎【证明】　(1)当n＝2时，左边＝1＋＝；右边＝.‎ ‎∵左边＞右边，∴不等式成立；‎ ‎(2)假设n＝k(k≥2，且k∈N＋)时不等式成立，‎ 即…＞.‎ 则当n＝k＋1时，‎ … ‎＞·＝＝ ‎＞＝＝.‎ ‎∴当n＝k＋1时，不等式也成立．‎ 由(1)(2)知，对于一切大于1的自然数n，不等式都成立.‎ 题型二、不等式中的探索、猜想、证明 例3　若不等式＋＋＋…＋>对一切正整数n都成立，求正整数a的最大值，并证明你的结论．‎ ‎【精彩点拨】　先通过n取值计算，求出a的最大值，再用数学归纳法进行证明，证明时，根据不等式特征，在第二步，运用比差法较方便．‎ ‎【自主解答】　当n＝1时，＋＋>，则>，∴a<26.‎ 又a∈N＋，∴取a＝25.‎ 下面用数学归纳法证明＋＋…＋>.‎ ‎(1)n＝1时，已证．‎ ‎(2)假设当n＝k时(k≥1，k∈N＋)，＋＋…＋>，‎ ‎∴当n＝k＋1时，‎ ‎＋＋…＋＋＋＋‎ ‎＝＋ ‎>＋，‎ ‎∵＋＝>，‎ ‎∴＋－>0，‎ ‎∴＋＋…＋>也成立．‎ 由(1)(2)可知，对一切n∈N＋，‎ 都有＋＋…＋>，‎ ‎∴a的最大值为25.‎ 规律总结：‎ ‎1．不完全归纳的作用在于发现规律，探究结论，但结论必须证明．‎ ‎2．本题中从n＝k到n＝k＋1时，左边添加项是＋＋－.这一点必须清楚．‎ ‎[再练一题]‎ ‎3．设an＝1＋＋＋…＋(n∈N＋)，是否存在n的整式g(n)，使得等式a1＋a2＋a3＋…＋an－1＝g(n)(an－1)对大于1的一切正整数n都成立？证明你的结论．‎ ‎【解】　假设g(n)存在，那么当n＝2时，‎ 由a1＝g(2)(a2－1)，‎ 即1＝g(2)，∴g(2)＝2；‎ 当n＝3时，由a1＋a2＝g(3)(a3－1)，‎ 即1＋＝g(3)，‎ ‎∴g(3)＝3，‎ 当n＝4时，由a1＋a2＋a3＝g(4)(a4－1)，‎ 即1＋＋ ‎＝g(4)，‎ ‎∴g(4)＝4，‎ 由此猜想g(n)＝n(n≥2，n∈N＋)．‎ 下面用数学归纳法证明：‎ 当n≥2，n∈N＋时，‎ 等式a1＋a2＋a3＋…＋an－1＝n(an－1)成立．‎ ‎(1)当n＝2时，a1＝1，‎ g(2)(a2－1)＝2×＝1，‎ 结论成立．‎ ‎(2)假设当n＝k(k≥2，k∈N＋)时结论成立，‎ 即a1＋a2＋a3＋…＋ak－1＝k(ak－1)成立，‎ 那么当n＝k＋1时，a1＋a2＋…＋ak－1＋ak ‎＝k(ak－1)＋ak＝(k＋1)ak－k ‎＝(k＋1)ak－(k＋1)＋1‎ ‎＝(k＋1)＝(k＋1)(ak＋1－1)，‎ 说明当n＝k＋1时，结论也成立，‎ 由(1)(2)可知 ，对一切大于1的正整数n，存在g(n)＝n使等式a1＋a2＋a3＋…＋an－1＝g(n)(an－1)成立．‎ ‎（四）归纳小结 归纳法证明不等式— ‎（五）随堂检测 ‎1．数学归纳法适用于证明的命题的类型是(　　)‎ A．已知⇒结论 B．结论⇒已知 C．直接证明比较困难 D．与正整数有关 ‎【答案】　D ‎2．用数学归纳法证明不等式1＋＋＋…＋＜2－(n≥2，n∈N＋)时，第一步应验证不等式(　　)‎ A．1＋＜2－ B．1＋＋＜2－ C．1＋＜2－ D.1＋＋＜2－ ‎【解析】　n0＝2时，首项为1，末项为.‎ ‎【答案】　A ‎3．用数学归纳法证不等式1＋＋＋…＋＞成立，起始值至少取(　　)‎ A．7　　　B．8　　　C．9　　　D．10‎ ‎【解析】　左边等比数列求和Sn＝ ‎＝2＞，‎ 即1－＞，＜，‎ ‎∴＜，‎ ‎∴n＞7，∴n取8，选B.‎ ‎【答案】　B 六、板书设计 ‎4.2用数学归纳法证明不等式举例 教材整理　用数学归纳法证明不等式 例1：‎ 例2：‎ 例3：‎ 学生板演练习 七、作业布置 同步练习：4.2用数学归纳法证明不等式举例 八、教学反思