2020届高考数学一轮复习（课时训练·文）第2章 函数概念与基本初等函数Ⅰ6函数的奇偶性与周期性 4页

‎【课时训练】函数的奇偶性与周期性 一、选择题 ‎1．(2018河南洛阳统考)下列函数为奇函数的是(　　)‎ A．f(x)＝ B．f(x)＝ex C．f(x)＝cos x D．f(x)＝ex－e－x ‎【答案】D ‎【解析】对于A，定义域不关于原点对称，故不是；对于B, f(－x)＝e－x＝≠－f(x)，故不是；对于C，f(－x)＝cos(－x)＝cos x≠－f(x)，故不是；对于D，f(－x)＝e－x－ex＝－(ex－e－x)＝－f(x)，是奇函数，故选D.‎ ‎2．(2018江南十校联考)设函数f(x)＝x＋sin x(x∈R)，则下列说法错误的是(　　)‎ A．f(x)是奇函数 B．f(x)在R上单调递增 ‎ C．f(x)的值域为R D．f(x)是周期函数 ‎【答案】D ‎【解析】因为f(－x)＝－x＋sin(－x)＝－(x＋sin x)＝－f(x)，所以f(x)为奇函数，故A正确；因为f ′(x)＝1＋cos x≥0，所以函数f(x)在R上单调递增，故B正确；f(x)的值域为R，故C正确；f(x)不是周期函数，故D错误．‎ ‎3．(2018兰州模拟)已知函数f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1,2a]上的偶函数，那么a＋b的值是(　　)‎ A．－　 B． C．－　 D． ‎【答案】B ‎【解析】∵f(x)是偶函数，∴f(－x)＝f(x)，∴b＝0.又a－1＝－2a，∴a＝，∴a＋b＝.故选B.‎ ‎4．(2018四川遂宁一模)已知函数f(x)在R上是奇函数，且满足f(x＋4)＝f(x)，当x∈(－2,0)时，f(x)＝2x2，则f(2 019)＝(　　)‎ A．－2 B．2‎ C．－98 D．98‎ ‎【答案】B ‎【解析】由f(x＋4)＝f(x)知，函数f(x)的周期为4，则f(2 019)＝f(504×4＋3)＝f(3)，‎ 又f(3)＝f(－1)，且f(－1)＝2，∴f(2 019)＝2.‎ ‎5．(2018湖南师范大学附属中学月考)已知函数y＝f(x)满足y＝f(－x)和y＝f(x＋2)都是偶函数，且f(1)＝1，则f(－1)＋f(7)＝(　　)‎ A．0 B．1‎ C．2 D．3‎ ‎【答案】C ‎【解析】∵y＝f(－x)为偶函数，‎ ‎∴f(－(－x))＝f(－x)，∴f(－x)＝f(x)，‎ ‎∴y＝f(x)为偶函数，∴当x＝1时，有f(－1)＝f(1)＝1.‎ 又y＝f(x＋2)是偶函数，∴f(－x＋2)＝f(x＋2)，∴f(x－2)＝f(x＋2)．‎ 则f(x)＝f(x＋4)，∴函数y＝f(x)为周期函数，且周期为4.∴f(7)＝f(8－1)＝f(－1)＝1.故f(－1)＋f(7)＝2.故选C.‎ ‎6．(2019吉林东北师大附中第一次摸底)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，且在区间[0,2]上是增函数，则(　　)‎ A．f(－25)0时， f(x)＝＋1，则当x<0时， f(x)＝________.‎ ‎【答案】－－1 ‎ ‎【解析】∵f(x)为奇函数，且x>0时， f(x)＝＋1，∴当x<0时，即－x>0，有 f(x)＝－f(－x)＝－(＋1)，即x<0时， f(x)＝－(＋1)＝－－1.‎ ‎12．(2018山东烟台模拟)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x2＋2x.若f(2－a2)＞f(a)，则实数a的取值范围是________．‎ ‎【答案】(－2,1) ‎ ‎【解析】∵f(x)是奇函数，∴当x＜0时， f(x)＝－x2＋2x.做出函数f(x)的大致图象如图所示，结合图象可知f(x)是R上的增函数．由f(2－a2)＞f(a)，得2－a2＞a，解得－2＜a＜1.‎ 三、解答题 ‎13．(2018云南民族中学月考)已知函数f(x)＝是奇函数．‎ ‎(1)求实数m的值；‎ ‎(2)若函数f(x)在区间[－1，a－2]上单调递增，求实数a的取值范围．‎ ‎【解】(1)设x<0，则－x>0，所以f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＝－x2－2x.‎ 又f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，于是x<0时， f(x)＝x2＋2x＝x2＋mx，所以m＝2.‎ ‎(2)要使f(x)在[－1，a－2]上单调递增，‎ 结合f(x)的图象(如图所示)知所以1＜a≤3，‎ 故实数a的取值范围是(1,3]．‎ ‎14．(2018天津六校期中联考)已知函数f(x)的定义域为D＝{x|x≠0}，且满足对任意x1，‎ x2∈D，有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)．‎ ‎(1)求f(1)的值；‎ ‎(2)判断f(x)的奇偶性并证明你的结论；‎ ‎(3)如果f(4)＝1，f(x－1)<2, 且f(x)在(0，＋∞)上是增函数，求x的取值范围．‎ ‎【解】(1)∵对于任意x1，x2∈D，有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)，∴令x1＝x2＝1，得f(1)＝2f(1)，∴f(1)＝0.‎ ‎(2)f(x)为偶函数．‎ 证明：令x1＝x2＝－1，有f(1)＝f(－1)＋f(－1)，‎ ‎∴f(－1)＝f(1)＝0.‎ 令x1＝－1，x2＝x，有f(－x)＝f(－1)＋f(x)，‎ ‎∴f(－x)＝f(x)，∴f(x)为偶函数．‎ ‎(3)依题意有f(4×4)＝f(4)＋f(4)＝2，‎ 又由(2)知， f(x)是偶函数，‎ ‎∴f(x－1)<2⇔f(|x－1|)