专题31 空间中直线、平面平行位置关系的证明方法-备战2018高考技巧大全之高中数学黄金解题模板 23页

‎【高考地位】‎ 立体几何是高考的重点内容之一，每年高考大题必有立体几何题，尤其是第一问主要考查证明线面垂直、平行，面面垂直等问题，解决这类问题的方法主要有：几何法和空间向量法. 在高考中其难度属中档题.‎ ‎【方法点评】‎ 方法一 几何法 使用情景：转化的直线或平面比较容易找到 解题模板：第一步 按照线线平行得到线面平行，进而得出面面平行的思路分析解答；‎ 第二步 找到关键的直线或平面；‎ 第三步 得出结论.‎ 例1 如图，在棱长均为4的三棱柱中， 分别是和的中点.‎ ‎（1）求证： 平面 ‎（2）若平面平面，求三棱锥的体积.‎ ‎ (方法 2)在 中，因为，‎ 所以为正三角形，因此.‎ 因为平面平面，交线为， 平面，‎ 所以平面，即是三棱锥的高.‎ 在中，由，得的面积.‎ 在中，因为，所以.‎ 所以三棱锥的体积.‎ ‎【点评】证明线面平行的思路一般有两种：一是在所证的平面内找到一条直线与已知直线平行即可；二是通过证明已知直线所在的平面与已知平面平行，进而得到这条直线与已知平面平行的结论.‎ 例2 已知四棱锥P – ABCD 中，底面ABCD为平行四边形．点M、N、Q分别在PA、BD、PD上，且PM : MA = BN : ND = PQ : QD．求证：平面MNQ∥平面PBC．‎ ‎【答案】详见解析.‎ ‎【点评】由比例线段得到线线平行，依据线面平行的判定定理得到线面平行，证得两条相交直线平行于一个平面后，转化为面面平行．一般证“面面平面”问题最终转化为证线与线的平行．‎ ‎【变式演练1】　如图，正方形的边长为2，分别为线段的中点，在五棱锥中，为棱的中点，平面与棱分别交于点．‎ 求证：；‎ ‎【答案】详见解析.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：证明线面平行，一般利用线面平行判定定理，即从线线平行出发给予证明，而线线平行的寻找与论证，往往需要结合平几条件，如本题利用正方形性质得，从而有平面．而线线平行的证明，一般利用线面平行性质定理，即从两平面交线出发给予证明. ‎ 试题解析：证明：在正方形中，因为是的中点，所以．‎ 又因为平面，所以平面．因为平面，且平面平面，所以． ‎ ‎【变式演练2】如图，直三棱柱中，，，点在线段上.‎ 若是中点，证明：平面.‎ ‎【答案】详见解析.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：证明线面平行，一般利用线面平行判定定理，即从线线平行出发给予证明，而线线平行的寻找与论证，往往需要结合平几知识，如本题利用三角形中位线性质得线线平行.‎ 试题解析：证明：连结BC1，交B1C于E，连结ME．‎ 因为 直三棱柱ABC-A1B1C1，M是AB中点，所以侧面BB1C1C为矩形，‎ ME为△ABC1的中位线，所以 ME// AC1． ‎ 因为 ME平面B1CM， AC1平面B1CM，所以 AC1∥平面B1C. ‎ ‎【变式演练3】已知正方体ABCD –A1B1C1D1 证：平面AB1D1∥平面C1BD.‎ ‎【答案】详见解析.‎ 考点：空间直线与平面的平行的判定及性质.‎ ‎【变式演练4】已知：空间四边形ABCD，E、F分别是AB、AD的中点.求证EF∥平面BCD.‎ ‎【答案】详见解析.‎ 考点：空间直线与平面的平行的判定及性质.‎ 方法二 空间向量法 使用情景：转化的直线或平面不容易找到，而一直条件方便建立空间直角坐标比较容易写出 解题模板：第一步 建立适当的空间直角坐标系；‎ 第二步 分别写出各点的坐标，求出直线方向向量；‎ 第三步 利用向量的关系得到直线和平面的关系即可.‎ 例3 如图所示，在正方体ABCD－A1B‎1C1D1中，M、N分别是C‎1C、B‎1C1的中点，求证：MN∥平面A1BD.‎ ‎【答案】详见解析.‎ ‎【解析】如图所示，以D为原点，DA、DC、DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．设正方体的棱长为1，则可得M(0,1，)，N(，1,1)，D(0,0,0)，A1(1,0,1)，B(1,1,0)．‎ ‎【点评】用向量证明线面平行的方法有：‎ ‎(1)证明该直线的方向向量与平面的某一法向量垂直；‎ ‎(2)证明该直线方向向量与平面内某直线的方向向量平行；‎ ‎(3)证明该直线的方向向量可以用平面内的两个不共线的向量线性表示；‎ ‎(4)本题易错点为：只证明MN∥A1D，而忽视MN⊄平面A1BD.‎ ‎【变式演练5】已知正方体ABCD－A1B‎1C1D1的棱长为2，E、F分别是BB1、DD1的中点，求证：‎ ‎(1)FC1∥平面ADE；(2)平面ADE∥平面B‎1C1F.‎ ‎【答案】详见解析.‎ ‎【解析】(1)如图所示，建立空间直角坐标系D－xyz，则有D(0,0,0)，A(2,0,0)，C(0,2,0)，C1(0,2,2)，E(2,2,1)，F(0,0,1)．‎ 所以＝(0,2,1)，＝(2,0,0)，＝(0,2,1)．设n1＝(x1，y1，z1)是平面ADE一个法向量，则n1⊥ ‎，n1⊥，即，解得.令z1＝2，则y1＝－1，所以n1＝(0，－1,2)．‎ 考点：空间向量证明直线、平面的平行；‎ ‎【高考再现】‎ ‎1. 【2017课表1，文6】如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直接AB与平面MNQ不平行的是 ‎ A． B．‎ ‎ C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题分析：由B，AB∥MQ，则直线AB∥平面MNQ；由C，AB∥MQ，则直线AB∥平面MNQ；由D，AB∥NQ，则直线AB∥平面MNQ．故A不满足，选A．‎ ‎【考点】空间位置关系判断 ‎【名师点睛】本题主要考查线面平行的判定定理以及空间想象能力，属容易题．证明线面平行的常用方法：①利用线面平行的判定定理，使用这个定理的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，可利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行．②利用面面平行的性质，即两平面平行，在其中一平面内的直线平行于另一平面．‎ ‎2. 【2017课标II，文18】如图，四棱锥中，侧面为等边三角形且垂直于底面 ,‎ ‎ ‎ ‎（1）证明：直线平面;‎ ‎（2）若△面积为，求四棱锥的体积.‎ ‎【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）‎ ‎ ‎ ‎3. 【2017课标II，理19】如图，四棱锥P-ABCD中，侧面PAD为等比三角形且垂直于底面ABCD， E是PD的中点。‎ ‎（1）证明：直线 平面PAB；‎ ‎【解析】（1）取的中点，连结，。‎ 因为是的中点，所以∥,,由得∥，又,所以。四边形为平行四边形，∥。‎ 又平面，平面，故平面。‎ ‎4. 【2017天津，理17】如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥底面ABC，.点D，E，N分别为棱PA，PC，BC的中点，M是线段AD的中点，PA=AC=4，AB=2. ‎ ‎（Ⅰ）求证：MN∥平面BDE；‎ ‎ 5. 【2017浙江，19】（本题满分15分）如图，已知四棱锥P–ABCD，△PAD是以AD为斜边的等腰直角三角形，，CD⊥AD，PC=AD=2DC=2CB，E为PD的中点．‎ ‎（Ⅰ）证明：平面PAB；‎ ‎【反馈练习】‎ ‎1. 【2018湖南五市十校教研教改共同体联考】已知是两条不同的直线， 是两个不同的平面.‎ ‎①若，则；‎ ‎②如果，则；‎ ‎③若，且，则；‎ ‎④若不平行，则与不可能垂直于同一平面.‎ 其中为真命题的是__________．‎ ‎【答案】②④‎ ‎2. 【2018黑龙江齐齐哈尔第八中学模拟】如图所示，直三棱柱中， ， ， 为棱的中点.‎ ‎（Ⅰ）探究直线与平面的位置关系，并说明理由；‎ ‎（Ⅱ）若，求三棱锥的体积.‎ ‎【解析】（Ⅰ）连接，设，因为四边形为矩形，所以为的中点.设为的中点，连接， ，则，且.‎ 由已知，且，则，且，‎ 所以四边形为平行四边形，‎ 所以，即.‎ 因为平面， 平面，所以平面.‎ ‎（Ⅱ）易知平面，由（Ⅰ）可知， 平面.‎ 所以点到平面的距离等于点到平面的距离，‎ 所以.因为，‎ 所以，‎ 故三棱锥的体积为.‎ ‎3. 【2018天津耀华中学模拟】如图，在三棱柱中，侧棱底面， ， 为的中点， ，四棱锥的体积为.‎ ‎（Ⅰ）求证： 平面；‎ ‎∵平面， 平面，‎ ‎∴平面 ‎4. 【2018山西实验中学模拟】如图所示， 为的直径，点在上（不与重合)， 平面，点分别为线段的中点. 为线段上(除点外）的一个动点.‎ ‎（1）求证： 平面；‎ ‎（2）求证： .‎ ‎ ‎ ‎5. 【2018天津第一中学模拟】如图，正方形与梯形所在的平面互相垂直， ‎ 为的中点.‎ ‎（1）求证： 平面；‎ ‎（2）求证： 平面；‎ ‎ ‎ ‎6. 【2018湖南省五市十校教研教改共同体联考】如图，在矩形中， ， 平面， ， 为的中点.‎ ‎（1）求证： 平面；‎ ‎（2）记四棱锥的体积为，三棱锥的体积为，求.‎ ‎ ‎ ‎7. 【2018河北邢台育才中学模拟】如图，在四棱锥中，四边形是菱形， ，平面平面在棱上运动.‎ ‎（1）当在何处时， 平面；‎ ‎（2）当平面时，求直线与平面所成角的正弦值.‎ ‎【解析】（1）当为中点时， 平面设，在中， 为中位线，即，又平面平面， 平面.‎ ‎8.【2018湖南湘东五校联考】如图，在多面体中，四边形是正方形，是等边三角形，．‎ ‎（I）求证：；‎ ‎（II）求多面体的体积.‎ ‎ ‎ ‎ ∥平面.‎ ‎（Ⅱ）在正方形中，，又是等边三角形，所以，‎ 所以 于是 又，平面，‎ 又，平面 于是多面体是由直三棱柱和四棱锥组成的.‎ 又直三棱柱的体积为，‎ 四棱锥的体积为，‎ 故多面体的体积为.‎ ‎9.【2018河北邢台市育才中学模拟】如图，在四棱锥中，四边形是菱形， ，平面平面在棱上运动.‎ ‎（1）当在何处时， 平面；‎ ‎（2）已知为的中点， 与交于点，当平面时，求三棱锥的体积.‎ ‎（2）为的中点， 则 又 ‎，且 ，又.‎ ‎.‎ ‎.‎ 又，点为的中点， 到平面的距离为.‎ ‎.‎ ‎10. 【2018湖南师大附中模拟】如图，在几何体中，四边形为菱形，对角线与的交点为，四边形为梯形， .‎ ‎（Ⅰ）若，求证： 平面；‎ ‎（Ⅱ）求证：平面平面；‎ ‎∵，∴，∴为平行四边形，‎ ‎∴，‎ ‎∵平面， 平面，‎ ‎∴平面；‎ ‎（Ⅱ）证明：∵四边形为菱形，‎ ‎∴，‎ ‎∵， 是的中点，‎ ‎∴，‎ ‎∵，‎ ‎∴平面，‎ ‎∵平面，‎ ‎∴平面平面；‎ ‎11. 【2018黑龙江大庆实验中模拟】在如图所示的五面体中，面为直角梯形， ，平面 平面， ， 是边长为2的正三角形.‎ ‎（1）证明： ；‎ ‎（2）证明： 平面．‎ ‎ ‎