黑龙江省实验中学联盟校2020届高三第三次模拟考试数学（理）试题 4页

书书书 理科数学试卷第 １　　　　页（共 ４页） 黑龙江省实验中学 联　　 盟　　 校 　　 ２０２０年高三第三次模拟考试 理科数学能力测试 考试时间：１２０分钟　　　　　　总分：１５０分 注意事项： １．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。 ２．答题时请按要求用笔。 ３．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效：在草稿 纸、试卷上答题无效。 ４．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。 ５．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。 第Ⅰ卷　（选择题，共 ６０分） 一、选择题（本大题共 １２小题，每小题只有一个正确答案，每小题 ５分，共 ６０分） １．已知集合 Ａ＝｛－１，１，２，３，４，５｝，Ｂ＝｛ｘ∈Ｎ｜（ｘ－１）（ｘ－５）＜０｝，则瓓ＡＢ＝（　）． 　 Ａ．｛３｝　　　　　　Ｂ．｛２，３｝　　　　　　Ｃ．｛２，３，５｝　　　　　　Ｄ．｛－１，１，５｝ ２．已知平面 α，直线 ｍ，ｎ满足 ｍα，ｎα，则“ｍ／／ｎ”是“ｍ／／α”的（　） Ａ．充分不必要条件　　 Ｂ．必要不充分条件 Ｃ．充分必要条件　 Ｄ．既不充分也不必要条件 ３．假设 ｉ为虚数单位，复数 ｚ＝ｉ＋２ ｉ－１，则在复平面中，ｚ对应的点位于（　） Ａ．第一象限　 Ｂ．第二象限　 Ｃ．第三象限　 Ｄ．第四象限 ４．已知 ｔａｎα＝２， ｃｏｓα－５π( )４ ｓｉｎα＋３π( )４ ＝（　）． Ａ．３　 Ｂ．１　 Ｃ．－１　 Ｄ．－３ ５．等比数列 ａ{ }ｎ 的前 ｎ项和为 Ｓｎ，且 ４ａ１，２ａ２，ａ３成等差数列，若 ａ１＝１，则 Ｓ４＝（　）． Ａ．７　 Ｂ．８　 Ｃ．１５　 Ｄ．１６ ６．函数 ( )ｆｘ ＝ ｘ２－２( )ｘ ｅｘ的图象大致为（　）． Ａ． 　 Ｂ． 理科数学试卷第 ２　　　　页（共 ４页） Ｃ． 　 Ｄ． ７．已知 ｆ（ｘ）＝ｘ５＋２ｘ３＋３ｘ２＋ｘ＋１，应用秦九韶算法计算 ｘ＝３时的值时，ｖ３的值为（　）． Ａ．２７　 Ｂ．１１　 Ｃ．１０９　 Ｄ．３６ ８．已知数列｛ａｎ｝，ａ１＝１ ４，ａｎ＝１－ １ ａｎ－１ （ｎ≥２），则 ａ２０２０（　）． Ａ．４ ５　 Ｂ．１ ４ Ｃ．－３　 Ｄ．１ ５ ９．某几何体的三视图如图所示，俯视图为正三角形，则该几何体外接球的表面积为（　）． Ａ．２５π ４ Ｂ．６４π ３ Ｃ．２５π Ｄ．３２π １０．已知（ｘ＋１ ｘ）７展开式中，ｘ５的系数为 ａ，则∫ ａ ６ ２ｘｄｘ＝（　）． Ａ．１０　 Ｂ．１１　 Ｃ．１２　 Ｄ．１３ １１．已知直线 ｙ 槡＝ ３ｘ双曲线 Ｃ：ｘ２ ａ２ －ｙ２ ｂ２ ＝１ ａ＞０，ｂ( )＞０相交于不同的两点 Ａ和 Ｂ，Ｆ为双曲线 Ｃ的 左焦点，且满足 ＡＦ⊥ＢＦ，则双曲线 Ｃ的离心率为（　）． 槡 槡Ａ．３　 Ｂ．２　 Ｃ．３＋１　 Ｄ．槡３＋１ ２ １２．已知函数 ｆ（ｘ）＝ｅｘ－ａｘ－１在区间（－１，１）内存在极值点，且 ｆ（ｘ）＜０恰好有唯一整数解，则 ａ 的取值范围是（　）． Ａ．ｅ２－１ ２ｅ２ ，[ )ｅ　 Ｂ．ｅ２－１ ２ｅ２ ，[ )１∪ ｅ－１，ｅ２－１( ]２ Ｃ．ｅ－１，( )ｅ　 Ｄ．ｅ２－１ ２ｅ２ ，ｅ－１[ )ｅ ∪ ｅ－１，( )ｅ 理科数学试卷第 ３　　　　页（共 ４页） 第Ⅱ卷　（非选择题，共 ９０分） 二、填空题（本大题共 ４小题，每小题 ５分，共 ２０分） １３．如图，在△ＡＢＣ中，→ＢＤ＝１ ３ →ＢＣ，点 Ｅ在线段 ＡＤ上移动（不含端点），若 →ＡＥ ＝λ→ＡＢ＋μ→ＡＣ，则 λ ２＋１ μ的取值范围是 ． １４．已知 函 数 ( )ｆｘ ＝ ３ｘ＋１，ｘ≤０， ｘ－１ ｘ＋２，ｘ＞０{ ， 在 区 间 －１，[ ]２ 上 任 取 一 个 实 数 ｍ，则 ( )ｆｍ ＞０的 概 率 为 ． １５．如图，在四边形 ＡＢＣＤ中，ＡＤ／／ＢＣ，ＡＤ＝ＡＢ，∠ＢＣＤ＝４５°，∠ＢＡＤ＝９０°，将△ＡＢＤ沿 ＢＤ折起， 使平面 ＡＢＤ⊥平面 ＢＣＤ，构成三棱锥 Ａ－ＢＣＤ，则在三棱锥 Ａ－ＢＣＤ中，下列判断正确的 是 ．（写出所有正确的序号） ①平面 ＡＢＤ⊥平面 ＡＢＣ ②直线 ＢＣ与平面 ＡＢＤ所成角是 ４５° ③平面 ＡＣＤ⊥平面 ＡＢＣ ④二面角 Ｃ－ＡＢ－Ｄ余弦值为槡３ ３ １６．点 Ａ，Ｂ是抛物线 Ｃ：ｙ２ ＝２ｐｘｐ( )＞０上的两点，Ｆ是抛物线 Ｃ的焦点，若∠ＡＦＢ＝６０°，ＡＢ中点 Ｄ 到抛物线 Ｃ的准线的距离为 ｄ，则 ｄ ＡＢ 的最大值为 ． 三、解答题（共 ７０分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．第 １７～２１题为必考题，每 个试题考生都必须作答．第 ２２、２３题为选考题，考生根据要求作答．） １７．如图，在 ΔＡＢＣ中，内角 Ａ，Ｂ，Ｃ的对边分别为 ａ，ｂ，ｃ，已知 ｃ＝４，ｂ＝２，２ｃｃｏｓＣ＝ｂ，Ｄ，Ｅ分别为线 段 ＢＣ上的点，且 ＢＤ＝ＣＤ，∠ＢＡＥ＝∠ＣＡＥ． （１）求线段 ＡＤ的长； （２）求 ΔＡＤＥ的面积． １８．棱 柱 ＡＢＣＤ－Ａ１Ｂ１Ｃ１Ｄ１ 的 所 有 棱 长 都 等 于 ４，∠ＡＢＣ＝６０°，平 面 ＡＡ１Ｃ１Ｃ⊥ 平 面 ＡＢＣＤ， ∠Ａ１ＡＣ＝６０°． （１）证明：ＤＢ⊥ＡＡ１； （２）求二面角 Ｄ－ＡＡ１－Ｂ的平面角的余弦值； （３）在直线 ＣＣ１上是否存在点 Ｐ，使 ＢＰ／／平面 ＤＡ１Ｃ１？若存在，求出点 Ｐ 的位置． 理科数学试卷第 ４　　　　页（共 ４页） １９．学号为 １，２，３的三位小学生，在课余时间一起玩“掷骰子爬楼梯”游戏，规则如下：投掷一颗骰 子，将每次出现点数除以 ３，若学号与之同余（同除以 ３余数相同），则该小学生可以上 ２阶楼 梯，另外两位只能上 １阶楼梯，假定他们都是从平地（０阶楼梯）开始向上爬，且楼梯数足够多． （１）经过 ２次投掷骰子后，学号为 １的同学站在第 Ｘ阶楼梯上，试求 Ｘ的分布列； （２）经过多次投掷后，学号为 ３的小学生能站在第 ｎ阶楼梯的概率记为 Ｐｎ，试求 Ｐ１，Ｐ２，Ｐ３ 的 值，并探究数列 Ｐ{ }ｎ 可能满足的一个递推关系和通项公式． ２０．已知函数 ( )ｆｘ ＝１ ２ｘ２＋ａｌｎｘ； （１）当 ａ＜０时，ｘ＞０，使 ( )ｆｘ≤０成立，求 ａ的取值范围； （２）令 ( )ｇｘ ＝( )ｆｘ － ａ( )＋１ｘ，ａ∈ １，( ]ｅ，证明：对ｘ１，ｘ２∈ １，[ ]ａ，恒有 ｇｘ( )１ －ｇｘ( )２ ＜１． ２１．已知椭圆 Ｃ：ｘ２ ａ２ ＋ｙ２ ｂ２ ＝１ ａ＞ｂ( )＞０的离心率为槡６ ３，且经过点 Ａ槡３ ２，槡３( )２ ． （１）求椭圆 Ｃ的方程； （２）若不过坐标原点的直线 ｌ与椭圆 Ｃ相交于 Ｍ、Ｎ两点，且满足 →ＯＭ＋→ＯＮ＝λ→ＯＡ，求△ＭＯＮ面 积最大时直线 ｌ的方程． 选考题（共 １０分．请考生在第 ２２、２３题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．） ２２．在直角坐标系 ｘＯｙ中，曲线 Ｃ１的参数方程为 ｘ＝ｃｏｓφ ｙ＝槡３ ３ｓｉｎ{ φ （φ为参数）．以原点 Ｏ为极点，ｘ轴的 非负半轴为极轴中，两个坐标系取相等的长度单位，圆 Ｃ２ 的方程为（ｘ－１）２ ＋ｙ２ ＝１，射线 ｌ的 极坐标方程为 θ＝θ０ ρ≥( )０． （１）求曲线 Ｃ１和 Ｃ２的极坐标方程； （２）当 ０＜θ０＜π ２时，若射线 ｌ与曲线 Ｃ１ 和圆 Ｃ２ 分别交于异于点 Ｏ的 Ｍ、Ｎ两点，且 ＯＮ ＝２ ＯＭ ，求 ΔＭＣ２Ｎ的面积． ２３．已知函数 ｆ（ｘ）＝ ２ｘ＋１ －ａ３ｘ－１． （１）当 ａ＝１时，解不等式 ｆ（ｘ）＞－３； （２）若 ｆ（ｘ）≤ａ３ｘ＋４，求 ａ的最小值．