2019版高考数学（文科 课标版）一轮复习题组训练：第7章 第2讲 二元一次不等式（组） （含最新模拟题） 18页

第二讲 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题 题组1　二元一次不等式(组)表示的平面区域 ‎1.[2016浙江,4,5分][文]若平面区域x+y-3≥0,‎‎2x-y-3≤0,‎x-2y+3≥0‎夹在两条斜率为1的平行直线之间,则这两条平行直线间的距离的最小值是(　　)‎ A.‎3‎‎5‎‎5‎ B.‎2‎ C.‎3‎‎2‎‎2‎ D.‎‎5‎ ‎ 2.[2015重庆,10,5分][文]若不等式组x+y-2≤0,‎x+2y-2≥0,‎x-y+2m≥0‎表示的平面区域为三角形,且其面积等于‎4‎‎3‎,则m的值为(　　)‎ ‎　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ A.-3 B.1 C.‎4‎‎3‎ D.3‎ ‎3.[2014安徽,13,5分][文]不等式组x+y-2≥0,‎x+2y-4≤0,‎x+3y-2≥0‎表示的平面区域的面积为　　　. ‎ ‎4.[2013山东,14,4分][文]在平面直角坐标系xOy中,M为不等式组‎2x+3y-6≤0,‎x+y-2≥0,‎y≥0‎所表示的区域上一动点,则|OM|的最小值是　　　　. ‎ 题组2　线性目标函数的最值及取值范围问题 ‎5.[2017全国卷Ⅰ,7,5分][文]设x,y满足约束条件x+3y≤3,‎x-y≥1,‎y≥0,‎则z=x+y的最大值为(　　)‎ A.0 B.1 C.2 D.3‎ ‎6.[2017全国卷Ⅱ,7,5分][文]设x,y满足约束条件‎2x+3y-3≤0,‎‎2x-3y+3≥0,‎y+3≥0,‎则z=2x+y的最小值是(　　)‎ A.-15 B.-9 C.1 D.9‎ ‎7.[2017全国卷Ⅲ,5,5分][文]设x,y满足约束条件‎3x+2y-6≤0,‎x≥0,‎y≥0,‎则z=x-y的取值范围是(　　)‎ A.[-3,0] B.[-3,2] C.[0,2] D.[0,3]‎ ‎8.[2014新课标全国Ⅰ,11,5分][文]设x,y满足约束条件x+y≥a,‎x-y≤-1,‎且z=x+ay的最小值为7,则a=(　　)‎ A.-5 B.3 C.-5或3 D.5或-3‎ ‎9.[2014山东,10,5分][文]已知x,y满足约束条件x-y-1≤0,‎‎2x-y-3≥0,‎当目标函数z=ax+by(a>0,b>0)在该约束条件下取到最小值2‎5‎时,a2+b2的最小值为(　　)‎ A.5 B.4 C.‎5‎ D.2‎ ‎10.[2014广东,3,5分]若变量x,y满足约束条件y≤x,‎x+y≤1,‎y≥-1,‎且z=2x+y的最大值和最小值分别为m和n,则m-n=(　　)‎ A.8 B.7 C.6 D.5‎ ‎11.[2014安徽,5,5分]x,y满足约束条件x+y-2≤0,‎x-2y-2≤0,‎‎2x-y+2≥0.‎若z=y-ax取得最大值的最优解不唯一,则实数a的值为(　　)‎ A.‎1‎‎2‎或-1 B.2或‎1‎‎2‎ C.2或1 D.2或-1‎ ‎12.[2014北京,6,5分]若x,y满足x+y-2≥0,‎kx-y+2≥0,‎y≥0,‎且z=y-x的最小值为-4,则k的值为(　　)‎ A.2 B.-2 C.‎1‎‎2‎ D.-‎‎1‎‎2‎ ‎13.[2016全国卷Ⅲ,13,5分][文]设x,y满足约束条件‎2x-y+1≥0,‎x-2y-1≤0,‎x≤1,‎则z=2x+3y-5的最小值为　　　. ‎ 题组3　线性规划的实际应用 ‎14.[2017天津,16,13分][文]电视台播放甲、乙两套连续剧,每次播放连续剧时,需要播放广告.已知每次播放甲、乙两套连续剧时,连续剧播放时长、广告播放时长、收视人次如下表所示:‎ 连续剧播放时长/分钟 广告播放时长/分钟 收视人次/万 甲 ‎70‎ ‎5‎ ‎60‎ 乙 ‎60‎ ‎5‎ ‎25‎ 已知电视台每周安排的甲、乙连续剧的总播放时间不多于600分钟,广告的总播放时间不少于30分钟,且甲连续剧播放的次数不多于乙连续剧播放次数的2倍.分别用x,y表示每周计划播出的甲、乙两套连续剧的次数.‎ ‎(Ⅰ)用x,y列出满足题目条件的数学关系式,并画出相应的平面区域;‎ ‎(Ⅱ)问电视台每周播出甲、乙两套连续剧各多少次,才能使总收视人次最多?‎ A组基础题 ‎1.[2018广东七校联考,3]设x,y满足约束条件‎2x+y-6≥0,‎x+2y-6≤0,‎y≥0,‎则目标函数z=x+y的最大值是(　　)‎ A.3 B.4 C.6 D.8 ‎ ‎2.[2018惠州市一调,5]点P(x,y)为不等式组‎2x-y-2≥0,‎‎3x+y-8≤0,‎x+2y-1≥0‎所表示的平面区域内的动点,则yx的最小值为(　　)‎ A.-‎1‎‎2‎ B.-2 C.-3 D.-‎‎1‎‎3‎ ‎3.[2018武汉市部分学校调研测试,8]某公司生产甲、乙两种桶装产品,已知生产甲产品1桶需耗A原料2千克,B原料3千克;生产乙产品1桶需耗A原料2千克,B原料1千克,每桶甲产品的利润是300元,每桶乙产品的利润是400元,公司在每天消耗A,B原料都不超过12千克的条件下,生产这两种产品可获得的最大利润为(　　)‎ A.1 800元　　 B.2 100元 C.2 400元　　 D.2 700元 ‎4.[2018武汉市部分重点中学高三起点考试,9]若x,y满足条件x+y-2≥0,‎x-2y+6≥0‎x≤2,‎,则目标函数z=x2+y2的最小值是(　　)‎ A.‎2‎ B.2 C.4 D.‎‎68‎‎9‎ ‎5.[2017长沙五月模拟,3]已知变量x,y满足‎2x-y≤0,‎x-2y+3≥0,‎x≥0,‎则z=8x·2y的最大值是(　　)‎ A.33 B.32 C.35 D.34‎ ‎6.[2017合肥市第三次质量监测,10]设x,y满足x≥0,‎x+y-2≤0,‎ax-y-a≤0,‎若z=2x+y的最大值为‎7‎‎2‎,则a的值为(　　)‎ A.-‎7‎‎2‎ B.0 C.1 D.-‎7‎‎2‎或1‎ ‎7.[2017甘肃兰州高考实战模拟,6]已知M(-4,0),N(0,-3),P(x,y)的坐标x,y满足x≥0,‎y≥0,‎‎3x+4y≤12,‎则△PMN面积的取值范围是(　　)‎ A.[12,24] B.[12,25] C.[6,12] D.[6,‎25‎‎2‎]‎ B组提升题 ‎8.[2018辽宁五校联考,8]已知实数x,y满足x-y+6≥0,‎x+y≥0,‎x≤3,‎若目标函数z=ax+y的最大值为3a+9,最小值为3a-3,则实数a的取值范围是(　　)‎ A.{a|-1≤a≤1} B.{a|a≤-1}‎ C.{a|a≤-1或a≥1} D.{a|a≥1}‎ ‎9.[2017海南省五校二模,9]已知实数x,y满足不等式组x≥1,‎y≥2,‎x+y≤4,‎若点P(2a+b,3a-b)在该不等式组所表示的平面区域内,则b+2‎a-1‎的取值范围是(　　)‎ A.[-12,-7] B.[-7,-‎9‎‎2‎] C.[-12,-‎9‎‎2‎] D.[-12,-2]‎ ‎10.[2017天星第二次大联考,10]已知不等式组x-y≥0,‎x≤4,‎y≥0‎的解集为D,有下面四个命题:‎ p1:∀(x,y)∈D,2y≤x的概率为‎1‎‎2‎;p2:∀(x,y)∈D,x+2y的最大值为12;p3:∃(x0,y0)∈D,2x0-y0≤0;p4:∀(x,y)∈D,x2+y2+2x+4y+5的最大值为64.‎ 其中真命题的个数是(　　)‎ A.1 B.2 C.3 D.4‎ ‎11.[2018洛阳市尖子生第一次联考,13]已知x,y满足条件x≥0,‎y≥x,‎‎3x+4y≤12,‎则x+2y+3‎x+1‎的取值范围是　. ‎ ‎12.[2017沈阳三模,14]已知x,y满足x-y+1≥0,‎x+y-3≥0,‎x≤2,‎若x2+y2的最大值为m,最小值为n,则mx+ny的最小值为　　　. ‎ ‎13.[2017重庆七校联考,15]已知实数x,y满足x-y-1≤0,‎x+y-5≤0,‎‎4x+y-8≥0,‎若目标函数z=x+ay取得最小值的最优解有无数多个,则z=x+ay的最大值为　　　　. ‎ ‎14.[2017陕西省六校第三次适应性训练,15]已知x,y满足约束条件x+y-2≤0,‎x-2y-2≤0,‎‎2x-y+2≥0,‎若2x+y+k≥0恒成立,则实数k取最小值时,直线2x+y+k=0被圆(x-1)2+(y-2)2=25截得的弦长为　　　　　. ‎ 答案 ‎1.B　不等式组x+y-3≥0,‎‎2x-y-3≤0,‎x-2y+3≥0‎表示的平面区域如图D 7-2-9中阴影部分所示,其中A(1,2),B(2,1),当这两条平行直线间的距离最小时,这两平行直线分别过点A,B,又两平行直线的斜率为1,直线AB的斜率为-1,所以线段AB的长度就是分别过点A,B的两条平行直线间的距离,易得|AB|=‎2‎,即这两条平行直线间的距离的最小值是‎2‎,故选B.‎ 图D 7-2-9‎ ‎2.B　作出不等式组表示的平面区域如图D 7-2-10中阴影部分所示,由图可知,要使不等式组表示的平面区域为三角形,则m>-1.由x+y-2=0,‎x-y+2m=0,‎得x=1-m,‎y=1+m,‎即A(1-m,1+m).由x+2y-2=0,‎x-y+2m=0,‎得x=‎2‎‎3‎-‎4‎‎3‎m,‎y=‎2‎‎3‎+‎2‎‎3‎m,‎即B(‎2‎‎3‎-‎4‎‎3‎m,‎2‎‎3‎+‎2‎‎3‎m).因为S△ABC=S△ADC-S△BDC=‎1‎‎2‎(2+2m)[(1+m)-(‎2‎‎3‎+‎2‎‎3‎m)]=‎1‎‎3‎(m+1)2=‎4‎‎3‎,所以m=1或m=-3(舍去),故选B.‎ 图D 7-2-10‎ ‎3.4　作出不等式组表示的平面区域如图D 7-2-11中阴影部分所示,可知S△ABC=‎1‎‎2‎×2×(2+2)=4.‎ 图D 7-2-11‎ ‎4.‎2‎　作出不等式组表示的可行域,如图D 7-2-12中阴影部分所示,因此|OM|的最小值为点O到直线x+y-2=0的距离,所以|OM|min=‎|-2|‎‎2‎=‎2‎.‎ 图D 7-2-12‎ ‎5.D　作出不等式组表示的平面区域如图D 7-2-13中阴影部分所示,平移直线y=-x,当直线经过点A(3,0)时,z=x+y取得最大值,所以zmax=3+0=3.故选D.‎ 图D 7-2-13‎ ‎6.A　依题意,在平面直角坐标系内画出不等式组表示的平面区域及直线2x+y=0(图略),平移直线y=-2x,当直线经过点(-6,-3)时,其在x轴上的截距最小,此时z=2x+y取得最小值,所以zmin=2×(-6)+(-3)=-15,故选A.‎ ‎7.B　作出不等式组‎3x+2y-6≤0,‎x≥0,‎y≥0‎表示的平面区域如图D 7-2-14中阴影部分所示,作出直线l0: y=x,平移直线l0,当直线z=x-y过点A(2,0)时,z取得最大值2,当直线z=x-y过点B(0,3)时,z取得最小值-3,所以z=x-y的取值范围是[-3,2],故选B.‎ 图D 7-2-14‎ ‎8.B　联立方程x+y=a,‎x-y=-1,‎解得x=a-1‎‎2‎,‎y=a+1‎‎2‎,‎代入x+ay=7中,解得a=3或a=-5,当a=-5时,z=x+ay的最大值是7;当a=3时,z=x+ay的最小值是7,故选B.‎ ‎9.B　解法一　作出不等式组表示的平面区域如图D 7-2-15所示,根据目标函数的几何意义可知,目标函数在点A(2,1)处取得最小值,故2a+b=2‎5‎,两端平方得4a2+b2+4ab=20,又4ab=2×a×2b≤a2+4b2,所以20≤4a2+b2+a2+4b2=5(a2+b2),所以a2+b2≥4,即a2+b2的最小值为4,当且仅当a=2b,即b=‎2‎‎5‎,a=‎4‎‎5‎时等号成立.‎ 图D 7-2-15‎ 解法二　由解法一可知2a+b=2‎5‎,把2a+b=2‎5‎看作平面直角坐标系aOb中的直线,则a2+b2的几何意义是直线上的点与坐标原点距离的平方,显然a2+b2的最小值是坐标原点到直线2a+b=2‎5‎距离的平方,即(‎|-2‎5‎|‎‎5‎)2=4.‎ ‎10.C　作出可行域(如图D 7-2-16中阴影部分所示)后,结合目标函数可知,当直线y=-2x+z经过点A时,z的值最大,由y=-1,‎x+y=1,‎得x=2,‎y=-1,‎则m=zmax=2×2-1=3.当直线y=-2x+z经过点B时,z的值最小,由y=-1,‎y=x,‎得x=-1,‎y=-1,‎则n=zmin=2×(-1)-1=-3.故m-n=6.故选C.‎ 图D 7-2-16‎ ‎11.D　由题中条件画出可行域如图D 7-2-17,可知A(0,2),B(2,0),C(-2,-2).‎ 解法一　则zA=2,zB=-2a,zC=2a-2,要使目标函数取得最大值的最优解不唯一,只要zA=zB>zC或zA=zC>zB或zB=zC>zA,解得a=-1或a=2.‎ 解法二　目标函数z=y-ax可化为y=ax+z,令l0:y=ax,平移l0,则当l0∥AB或l0∥AC时符合题意,故a=-1或a=2.‎ 图D 7-2-17‎ ‎12.D　作出线性约束条件x+y-2≥0,‎kx-y+2≥0,‎y≥0‎的可行域.当k>0时,如图D 7-2-18(1)所示,此时可行域为y轴上方、直线x+y-2=0的右上方、直线kx-y+2=0的右下方的区域,显然此时z=y-x无最小值.当k<-1时,z=y-x取得最小值2;当k=-1时,z=y-x取得最小值-2,均不符合题意.当-1-1,显然a=0不符合题意.作出不等式组x≥0,‎x+y-2≤0,‎ax-y-a≤0‎所表示的平面区域,如图D 7-2-25或图D 7-2-26中阴影部分所示,作出直线2x+y=0,并平移该直线,易知,当平移到过直线x+y-2=0与直线ax-y-a=0的交点时,z取得最大值,由x+y-2=0,‎ax-y-a=0,‎得x=a+2‎a+1‎,‎y=aa+1‎,‎把x=a+2‎a+1‎,‎y=‎aa+1‎代入2x+y=‎7‎‎2‎,解得a=1,故选C.‎ 图D 7-2-25　　　‎ 解法二　由z=2x+y存在最大值,可知a>-1,显然a=0不符合题意.作出不等式组x≥0,‎x+y-2≤0,‎ax-y-a≤0‎所表示的平面区域,如图D 7-2-25或图D 7-2-26中阴影部分所示,作出直线2x+y=0,并平移该直线,易知,当平移到过直线x+y-2=0与直线ax-y-a=0的交点时,z取得最大值‎7‎‎2‎,由x+y-2=0,‎‎2x+y=‎7‎‎2‎,‎得x=‎3‎‎2‎,‎y=‎1‎‎2‎,‎把x=‎3‎‎2‎,‎y=‎‎1‎‎2‎代入ax-y-a=0,解得a=1,故选C.‎ 图D 7-2-26‎ ‎7.C　作出不等式组x≥0,‎y≥0,‎‎3x+4y≤12‎表示的平面区域如图D 7-2-27中阴影部分所示.又过点M(-4,0),N(0,-3)的直线的方程为3x+4y+12=0,而它与直线3x+4y=12平行,其距离d=‎|12+12|‎‎3‎‎2‎‎+‎‎4‎‎2‎=‎24‎‎5‎,所以当点P在原点O处时,△PMN的面积最小,其面积为△OMN的面积,此时S△OMN=‎1‎‎2‎×3×4=6;当点P在线段AB上时,△PMN的面积最大,为‎1‎‎2‎×‎3‎‎2‎‎+‎‎4‎‎2‎×‎24‎‎5‎=12,故选C.‎ 图D 7-2-27‎ B组提升题 ‎8.A　不等式组x-y+6≥0,‎x+y≥0,‎x≤3‎表示的平面区域如图D 7-2-28中阴影部分所示,因为目标函数z=ax+y的最大值为3a+9,最小值为3a-3,所以目标函数z=ax+y的图象经过点A(3,9)时,z取得最大值,经过点B(3,-3)时,z取得最小值,由图象得,-1≤-a≤1,所以-1≤a≤1,故选A.‎ 图D 7-2-28‎ ‎9.C　因为点P(2a+b,3a-b)在不等式组x≥1,‎y≥2,‎x+y≤4‎所表示的平面区域内,所以‎2a+b≥1,‎‎3a-b≥2,‎‎2a+b+3a-b≤4,‎即‎2a+b≥1,‎‎3a-b≥2,‎‎5a≤4,‎其表示的平面区域是以A(‎4‎‎5‎,-‎3‎‎5‎),B(‎4‎‎5‎,‎2‎‎5‎),C(‎3‎‎5‎,-‎1‎‎5‎)为顶点的三角形区域(包括边界).b+2‎a-1‎可看作是可行域内的点与点M(1,-2)连线的斜率,所以kMB≤b+2‎a-1‎≤kMC,即-12≤b+2‎a-1‎≤-‎9‎‎2‎.故选C.‎ ‎10.C　作出不等式组x-y≥0,‎x≤4,‎y≥0‎所表示的平面区域如图D 7-2-29中阴影部分所示,‎ 图D 7-2-29‎ 对于p1,当取图中△BOC内(包括边界)的点时,2y≤x,由x-y=0,‎x=4‎可得A(4,4),由x-2y=0,‎x=4‎可得C(4,2),故S△OAB=‎1‎‎2‎×4×4=8,S△OBC=‎1‎‎2‎×4×2=4,则所求概率为S‎△OBCS‎△OAB=‎4‎‎8‎=‎1‎‎2‎,故p1正确;对于p2,令z=x+2y,则当且仅当目标函数z=x+2y经过点A(4,4)时,z取得最大值,则zmax=4+2×4=12,故p2正确;对于p3,当x0=0,y0=0时,2x0-y0=0,故p3正确;对于p4,x2+y2+2x+4y+5=(x+1)2+(y+2)2表示的几何意义是平面区域内的动点(x,y)到定点(-1,-2)的距离的平方,因为(x+1)2+(y+2)2≤(4+1)2+(4+2)2=61,所以x2+y2+2x+4y+5的最大值为61,故p4错误,选C.‎ ‎11.[3,9]　画出不等式组表示的可行域,如图D 7-2-30中阴影部分所示.‎ 图D 7-2-30‎ x+2y+3‎x+1‎‎=1+2×y+1‎x+1‎,y+1‎x+1‎表示可行域中的点(x,y)与点P(-1,-1)连线的斜率.由图可知,当x=0,y=3时,x+2y+3‎x+1‎取得最大值,且(x+2y+3‎x+1‎)max=9.因为点P(-1,-1)在直线y=x上,所以当点(x,y)在线段AO上时,x+2y+3‎x+1‎取得最小值,且(x+2y+3‎x+1‎)min=3.所以x+2y+3‎x+1‎的取值范围是[3,9].‎ ‎12.22　作出不等式组x-y+1≥0,‎x+y-3≥0,‎x≤2‎表示的平面区域,如图D 7-2-31中阴影部分所示,其中A(1,2),B(2,1),C(2,3).令u=x2+y2,其表示可行域内的点到坐标原点的距离的平方.显然在点C处x2+y2取得最大值m,则m=22+32=13.而原点到直线x+y-3=0的距离d=‎|-3|‎‎1‎‎2‎‎+‎‎1‎‎2‎=‎3‎‎2‎‎2‎,且|OA|=|OB|=‎5‎,所以x2+y2的最小值n=(‎3‎‎2‎‎2‎)2=‎9‎‎2‎.故mx+ny=13x+‎9‎‎2‎y,令z=13x+‎9‎‎2‎y,可得y=-‎26‎‎9‎x+‎2‎‎9‎z,故当直线y=-‎26‎‎9‎x+‎2‎‎9‎z经过点A(1,2)时,z取得最小值,且最小值为13×1+‎9‎‎2‎×2=22.‎ 图D 7-2-31‎ ‎13.‎7‎‎2‎　作出不等式组所表示的平面区域如图D 7-2-32中阴影部分所示,易得A(3,2),B(1,4),C(‎9‎‎5‎,‎4‎‎5‎).当a>0时,y=-‎1‎ax+‎1‎az,作直线l0:y=-‎1‎ax,平移l0,易知当直线y=-‎1‎ax+‎1‎az与4x+y-8=0重合时,z取得最小值的最优解有无数多个,此时a=‎1‎‎4‎,当直线过点A时,z取得最大值,且zmax=3+‎1‎‎2‎=‎7‎‎2‎;当a≤0时,由数形结合知,目标函数z=x+ay取得最小值的最优解不可能有无数多个.综上所述zmax=‎7‎‎2‎.‎ ‎ ‎ 图D 7-2-32 图D 7-2-33‎ ‎14.2‎5‎　作出不等式组x+y-2≤0,‎x-2y-2≤0,‎‎2x-y+2≥0‎所表示的平面区域(如图D 7-2-33中阴影部分所示),由题意可知,对于可行域内的任一点,均使不等式2x+y+k≥0恒成立,设z=y+2x,则y=-2x+z,可知直线y=-2x+z经过点A(-2,-2)时,2x+y有最小值-2×2-2=-6,所以-6+k≥0,k≥6,当k=6时直线为2x+y+6=0.因为圆(x-1)2+(y-2)2=25的圆心为(1,2),半径为5,所以圆心到直线的距离d=‎|2+2+6|‎‎5‎=2‎5‎,所以所求弦长为2‎25-20‎=2‎5‎.‎