数学理卷·2018届吉林省长春市第十一高中、东北师大附中、吉林一中，重庆一中等五校高三1月联合模拟考试（2018 10页

‎2018届高三联合模拟考试 数学（理科）试题 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知全集，集合，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2.若复数，则的共轭复数所对应点在（ ）‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎3.以下有关命题的说法错误的是（ ）‎ A．命题“若，则”的逆否命题为“若，则”‎ B．“”是“”成立的必要不充分条件 C．对于命题，使得，则，均有 D．若为真命题，则与至少有一个为真命题 ‎4.下列函数中既是偶函数又在上单调递减的函数是（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎5.我国南北朝时的数学著作《张邱建算经》有一道题为：“今有十等人，每等一人，宫赐金以等次差降之，上三人先入，得金四斤，持出，下三人后入得金三斤，持出，中间四人未到者，亦依次更给，问各得金几何？”则在该问题中，等级较高的二等人所得黄金比等级较低的九等人所得黄金（ ）‎ A．多1斤 B．少1斤 C. 多斤 D．少斤 ‎6.执行下面的程序框图，如果输入的，，那么输出的的值为（ ）‎ A．3 B．4 C. 5 D．6‎ ‎7.将函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象，则函数的图象的一个对称中心是（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎8.设，为空间两条不同的直线，，为空间两个不同的平面，给出下列命题：‎ ‎①若，，则； ②若，，则；‎ ‎③若，且，，则； ④若，且，则.‎ 其中所有正确命题的序号是（ ）‎ A．①② B．②③ C. ③④ D．①④‎ ‎9.已知实数满足，则的最大值为（ ）‎ A．-4 B． C. -2 D．-1‎ ‎10.下列命题：①在线性回归模型中，相关指数表示解释变量对于预报变量的贡献率，越接近于1，表示回归效果越好；②两个变量相关性越强，则相关系数的绝对值就越接近于1；③在回归直线方程中，当解释变量每增加一个单位时，预报变量平均减少0.5个单位；④对分类变量与，它们的随机变量的观测值来说，‎ 越小，“与有关系”的把握程度越大.其中正确命题的个数是（ ）‎ A．1个 B．2个 C. 3个 D．4个 ‎11.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎12.已知双曲线的右支与抛物线交于两点，是抛物线的焦点，是坐标原点，且，则双曲线的离心率为（ ）‎ A． B． C. D．‎ 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13.若的展开式的常数项是 ．‎ ‎14.直线与圆相交于两点，若，则 ．‎ ‎15.已知数列满足，则数列的通项公式 ．‎ ‎16.已知函数满足，且当时.若在区间内，函数有三个不同零点，则的范围为 ．‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17.已知函数.‎ ‎（Ⅰ）求函数的最小正周期和单调递减区间；‎ ‎（Ⅱ）在中，，，分别是角，，的对边，若，，的面积为，求边的长.‎ ‎18.为了调查观众对电视剧《风筝》的喜爱程度，某电视台举办了一次现场调查活动.在参加此活动的甲、乙两地观众中，各随机抽取了8名观众对该电视剧评分做调查（满分100分），被抽取的观众的评分结果如图所示.‎ ‎（Ⅰ）计算：①甲地被抽取的观众评分的中位数；②乙地被抽取的观众评分的极差；‎ ‎（Ⅱ）用频率估计概率，若从乙地的所有观众中再随机抽取4人进行评分调查，记抽取的4人评分不低于90分的人数为，求的分布列与期望；‎ ‎（Ⅲ）从甲、乙两地分别抽取的8名观众中各抽取一人，在已知两人中至少一人评分不低于90分的条件下，求乙地被抽取的观众评分低于90分的概率.‎ ‎19.如图，已知，，，平面平面，，，为中点.‎ ‎（Ⅰ）证明：平面；‎ ‎（Ⅱ）求直线与平面所成角的余弦值.‎ ‎20.已知椭圆的短轴长为，离心率为，点，是上的动点，为的左焦点.‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）若点在轴的右侧，以为底边的等腰的顶点在轴上，求四边形面积的最小值.‎ ‎21.已知函数与函数的图像关于直线对称，函数.‎ ‎（Ⅰ）若，且关于的方程有且仅有一个解，求实数的值；‎ ‎（Ⅱ）当时，若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围.‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.‎ ‎22.选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系中，直线的方程是，曲线的参数方程为（为参数），以为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.‎ ‎（Ⅰ）求直线和曲线的极坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）射线（其中）与曲线交于，两点，与直线交于点，求的取值范围.‎ ‎23.选修4-5：不等式选讲 已知函数（）‎ ‎（Ⅰ）当时，求不等式的解集；‎ ‎（Ⅱ）设函数，当时，函数的最小值为，且（），求的最小值.‎ 试卷答案 一、选择题 ‎1-5:AADBC 6-10: BDDCC 11、12：DA 二、填空题 ‎13. 5 14. 15. 16. ‎ 三、解答题 ‎17.解：（Ⅰ）‎ 所以的最小正周期 令，解得 所以的单调递减区间是 ‎（Ⅱ）∵，‎ ‎∴，又∵∴‎ ‎∵，的面积为∴‎ ‎∴‎ ‎18.（Ⅰ）由茎叶图可知，甲地被抽取的观众评分的中位数是83，乙地被抽取的观众评分的极差是 ‎（Ⅱ）记“从乙地抽取1人进行评分调查，其评分不低于90分”为事件，则 随机变量的所有可能取值为，，且 所以，‎ 所以的分布列为 ‎∴‎ ‎（Ⅲ）由茎叶图可得，甲地被抽取的8名观众中有2名观众评分不低于90分，乙地被抽取的8名观众中有2名观众评分不低于90分，设事件为“从甲、乙两地分别抽取的8名观众中各抽取一人，两人中至少一人评分不低于90分”，事件为“从甲、乙两地分别抽取的8名观众中各抽取一人，乙地观众评分低于90分”，‎ 所以 ‎ 根据条件概率公式，得.‎ 所以在已知两人中至少一人评分不低于90分的条件下，乙地被抽取的观众评分低于90分的概率为.‎ ‎19.（Ⅰ）证明：设中点为，连 ‎∵为中点，∴‎ 又由题意， ∴，且 ‎∴四边形为平等四边形，∴‎ ‎∵ ∴，又∵平面平面，平面平面，平面，∴平面.‎ 又平面，∴，∴又∴∴‎ ‎∵，平面，平面，∴平面.‎ ‎（Ⅱ）以点为原点，以方向为轴，以方向为轴，以方向为轴，建立如图所示坐标系，，，，，设平面的法向量，则∴取，‎ ‎∴‎ 设直线与平面所成角为，则，∴‎ 即直线与平面所成角的余弦值.‎ ‎20.解：（Ⅰ）依题意得解得 ‎∴椭圆的方程是 ‎（Ⅱ）设 设线段中点为 ∵ ∴中点，直线斜率为 由是以为底边的等腰三角形∴‎ ‎∴直线的垂直平分线方程为 令 得 ∵ ∴‎ 由 ∴四边形面积 当且仅当即时等号成立，四边形面积的最小值为.‎ ‎21.解：∵函数与函数的图像关于直线对称，∴，‎ ‎∴‎ ‎（Ⅰ）令，则，即 令，则，‎ 令，则.‎ 因为，所以 所以在上是减函数，‎ 又，所以当时，，当时，.‎ 所以在上单调递增，在上单调递减，所以，‎ 又，，‎ 所以当函数有且仅有一个零点时，，∴.‎ ‎（Ⅱ）当时，由（Ⅰ）知，‎ 易知，当时，恒成立，等价于.‎ 因为，令得，或 又，所以函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，即是的极大值点.‎ ‎∵‎ ‎∴，即为所求.‎ ‎22.解：（Ⅰ）∵，∴直线的极坐标方程是 由消参数得 ‎∴曲线的极坐标方程是 ‎（Ⅱ）将分别带入，得，‎ ‎∴‎ ‎∵，∴ ∴‎ ‎∴的取值范围是 ‎23.解：（Ⅰ）当时，化为 当时，不等式化为，解得 当时，不等式化为，解得 当时，不等式化为，解得 综上不等式的解集是 ‎（Ⅱ）当时，‎ 当且仅当时，即时，等号成立 所以，函数的最小值 所以，‎ 当且仅当，即时等号成立 所以的最小值是