数学卷·2018届天津市静海一中高二上学期开学数学试卷（解析版） 15页

‎2016-2017学年天津市静海一中高二（上）开学数学试卷 ‎　‎ 一、选择题.‎ ‎1．某校选修乒乓球课程的学生中，高一年级有30名，高二年级有40名．现用分层抽样的方法在这70名学生中抽取一个样本，已知在高一年级的学生中抽取了6名，则在高二年级的学生中应抽取的人数为（　　）‎ A．6 B．8 C．10 D．12‎ ‎2．某班50名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与19秒之间，如图是测试成绩频率分布直方图．成绩小于17秒的学生人数为（　　）‎ A．45 B．35 C．17 D．5‎ ‎3．△ABC中，a．b．c分别为∠A．∠B．∠C的对边，如果a．b．c成等差数列，∠B=30°，△ABC的面积为，那么b等于（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎4．设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=2x+3y的最大值为（　　）‎ A．2 B．3 C． D．‎ ‎5．如果P={x|x2﹣5x+4≤0}，Q={|0＜x＜10}，那么（　　）‎ A．P∩Q=∅ B．P∩Q=P C．P∪Q=P D．P∪Q=R ‎6．在等差数列{an}中，a2+3a8+a14=100，则2a11﹣a14=（　　）‎ A．20 B．18 C．16 D．8‎ ‎7．二进制数101110转化为八进制数是（　　）‎ A．45 B．56 C．67 D．76‎ ‎8．取一段长为5米的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长度都不小于1米的概率是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎　‎ 二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）‎ ‎9．已知函数f（x）的定义域为[﹣2，2]，则函数f（x2﹣1）的定义域为　　．‎ ‎10．已知a＞0，b＞0， +=1，求a+b的最小值　　．‎ ‎11．在等比数列{an}中，已知a1+a2=10，a9+a10=90，则 a5+a6=　　．‎ ‎12．盒子中装有大小相同的2个红球和3个白球，从中摸出一个球然后放回袋中再摸出一个球，则两次摸出的球颜色相同的概率是　　．‎ ‎13．f（n）=21+24+27+…+23n+10（n∈N*），则f（n）的项数为　　．‎ ‎14．已知a＞0，b＞0，a+b+ab=8，则a+b的最小值是　　．‎ ‎　‎ 三、填空题（共5小题，每小题3分，满分15分）‎ ‎15．设△ABC的三个内角A、B、C对边分别是a、b、c，已知，b2+c2﹣a2+bc=0‎ ‎（1）求△ABC外接圆半径；‎ ‎（2）若△ABC的面积为，求b+c的值．‎ ‎16．某班级参加学校三个社团的人员分布如表：‎ 社团 围棋 戏剧 足球 人数 ‎10‎ m n 已知从这些同学中任取一人，得到是参加围棋社团的同学的概率为．‎ ‎（1）求从中任抽一人，抽出的是参加戏剧社团或足球社团的同学的概率；‎ ‎（2）若从中任抽一人，抽出的是参加围棋社团或足球社团的同学的概率为，求m和n的值．‎ ‎17．已知函数f（x）=mx2﹣mx﹣1．‎ ‎（1）若f（x）＜0的解集为（﹣1，2），求m的值；‎ ‎（2）若对于x∈R，f（x）＜0恒成立，求实数m的取值范围；‎ ‎（3）若对于x∈[1，3]，f（x）＜5﹣m恒成立，求实数m的取值范围．‎ ‎18．随机抽取某高中甲、乙两个班各10名同学，测量他们的身高（单位：cm），获得身高数据的茎叶图如图所示．‎ ‎（1）甲班和乙班同学身高数据的中位数各是多少？计算甲班的样本方差；‎ ‎（2）现从乙班这10名同学中随机抽取两名身高不低于175cm的同学，求身高为176cm的同学被抽中的概率．‎ ‎19．已知等差数列{an}的前n项和为Sn（（n∈N*），S3=18，a4=2．‎ ‎（1）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（2）设bn=，求Tn=b1+b2+…+bn；‎ ‎（3）若数列{cn}满足cn=Tn，求cn的最小值及此时n的值．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年天津市静海一中高二（上）开学数学试卷 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题.‎ ‎1．某校选修乒乓球课程的学生中，高一年级有30名，高二年级有40名．现用分层抽样的方法在这70名学生中抽取一个样本，已知在高一年级的学生中抽取了6名，则在高二年级的学生中应抽取的人数为（　　）‎ A．6 B．8 C．10 D．12‎ ‎【考点】分层抽样方法．‎ ‎【分析】根据高一年级的总人数和抽取的人数，做出每个个体被抽到的概率，利用这个概率乘以高二的学生数，得到高二要抽取的人数．‎ ‎【解答】解：∵高一年级有30名，‎ 在高一年级的学生中抽取了6名，‎ 故每个个体被抽到的概率是=‎ ‎∵高二年级有40名，‎ ‎∴要抽取40×=8，‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎2．某班50名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与19秒之间，如图是测试成绩频率分布直方图．成绩小于17秒的学生人数为（　　）‎ A．45 B．35 C．17 D．5‎ ‎【考点】频率分布直方图．‎ ‎【分析】频率分布直方图中，小矩形的高等于每一组的频率/组距，它们与频数成正比，小矩形的面积等于这一组的频率．建立相应的关系式，即可求得．‎ ‎【解答】解：从频率分布直方图上可以看出x=1﹣（0.06+0.04）=0.9，‎ y=50×（0.36+0.34）=35，‎ 故选：B ‎　‎ ‎3．△ABC中，a．b．c分别为∠A．∠B．∠C的对边，如果a．b．c成等差数列，∠B=30°，△ABC的面积为，那么b等于（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】等差数列的通项公式；三角形的面积公式．‎ ‎【分析】由题意可得2b=a+c．平方后整理得a2+c2=4b2﹣2ac．利用三角形面积可求得ac的值，代入余弦定理可求得b的值．‎ ‎【解答】解：∵a，b，c成等差数列，∴2b=a+c．‎ 平方得a2+c2=4b2﹣2ac．①‎ 又△ABC的面积为，且∠B=30°，‎ 由S△=acsinB=ac•sin30°=ac=，解得ac=6，‎ 代入①式可得a2+c2=4b2﹣12，‎ 由余弦定理cosB====．‎ 解得b2=4+2，又∵b为边长，∴b=1+．‎ 故选：B ‎　‎ ‎4．设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=2x+3y的最大值为（　　）‎ A．2 B．3 C． D．‎ ‎【考点】简单线性规划．‎ ‎【分析】画出可行域，利用目标函数对应的直线在y轴上的截距求最大值．‎ ‎【解答】解：约束条件满足的可行域如图：当直线y=经过图中A时z最大，由得到A（，），所以z的最大值为：；‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎5．如果P={x|x2﹣5x+4≤0}，Q={|0＜x＜10}，那么（　　）‎ A．P∩Q=∅ B．P∩Q=P C．P∪Q=P D．P∪Q=R ‎【考点】交集及其运算．‎ ‎【分析】解不等式求出集合P，进而逐一分析四个答案的真假，可得答案．‎ ‎【解答】解：P={x|x2﹣5x+4≤0}=[1，4]}，Q={|0＜x＜10}=（0，10），‎ ‎∴P∩Q=P，‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎6．在等差数列{an}中，a2+3a8+a14=100，则2a11﹣a14=（　　）‎ A．20 B．18 C．16 D．8‎ ‎【考点】等比数列的通项公式．‎ ‎【分析】利用等差数列的通项公式即可得出．‎ ‎【解答】解：设等差数列{an}的公差为d，∵a2+3a8+a14=100，‎ ‎∴5a1+35d=100，即a1+7d=20．‎ 则2a11﹣a14=2（a1+10d）﹣（a1+13d）=a1+7d=20．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎7．二进制数101110转化为八进制数是（　　）‎ A．45 B．56 C．67 D．76‎ ‎【考点】进位制；排序问题与算法的多样性．‎ ‎【分析】由二进制转化为十进制的方法，我们只要依次累加各位数字上的数×该数位的权重，即可得到十进制数，再利用“除k取余法”是将十进制数除以8，然后将商继续除以8，直到商为0，然后将依次所得的余数倒序排列即可得到答案．‎ ‎【解答】解：101110（2）=0×20+1×21+1×22+1×23+1×25=46‎ ‎46÷8=5…6‎ ‎5÷8=0…5‎ 故46（10）=56（8）‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎8．取一段长为5米的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长度都不小于1米的概率是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】几何概型．‎ ‎【分析】根据题意确定为几何概型中的长度类型，将长度为5m的绳子分成相等的三段，在中间一段任意位置剪断符合要求，从而找出中间3m处的两个界点，再求出其比值．‎ ‎【解答】解：记“两段的长都不小于1m”为事件A，‎ 则只能在距离两段超过1m的绳子上剪断，即在中间的3米的绳子上剪断，才使得剪得两段的长都不小于1m，‎ 所以由几何概型的公式得到事件A发生的概率 P（A）=．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ 二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）‎ ‎9．已知函数f（x）的定义域为[﹣2，2]，则函数f（x2﹣1）的定义域为　　．‎ ‎【考点】函数的定义域及其求法．‎ ‎【分析】由题意可得﹣2≤x2﹣1≤2，解得x的范围，即可求得函数f（x2﹣1）的定义域．‎ ‎【解答】解：∵函数f（x）的定义域为[﹣2，2]，则对于函数f（x2﹣1），‎ 应有﹣2≤x2﹣1≤2，即﹣1≤x2 ≤3，即 x2 ≤3，‎ 解得﹣≤x≤，故函数f（x2﹣1）的定义域为，‎ 故答案为．‎ ‎　‎ ‎10．已知a＞0，b＞0， +=1，求a+b的最小值　3　．‎ ‎【考点】基本不等式．‎ ‎【分析】将a+b变形为=（+）（a+1+b）﹣1，展开，利用基本不等式解之．‎ ‎【解答】解：已知a＞0，b＞0， +=1，‎ 则a+b=（+）（a+1+b）﹣1=2+﹣1≥1+2=3，‎ 当且仅当a+1=b时等号成立；‎ 故答案为：3‎ ‎　‎ ‎11．在等比数列{an}中，已知a1+a2=10，a9+a10=90，则 a5+a6=　30　．‎ ‎【考点】等比数列的通项公式．‎ ‎【分析】利用等比数列的通项公式及其性质即可得出．‎ ‎【解答】解：∵a1+a2=10，a9+a10=90，‎ ‎∴q8（a1+a2）=10q8=90，解得q4=3．‎ 则 a5+a6=q4（a1+a2）=3×10=30，‎ 故答案为：30．‎ ‎　‎ ‎12．盒子中装有大小相同的2个红球和3个白球，从中摸出一个球然后放回袋中再摸出一个球，则两次摸出的球颜色相同的概率是　　．‎ ‎【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．‎ ‎【分析】由题意知本题是一个古典概型，用组合数表示出试验发生所包含的所有事件数，满足条件的事件分为两种情况①先摸出红球，再摸出红球，②先摸出白球，再摸出白球，根据古典概型公式得到结果．‎ ‎【解答】解：由题意知本题是一个古典概型，‎ ‎∵试验发生所包含的所有事件数是C51C51=25，‎ 满足条件的事件分为两种情况 ‎①先摸出红球，P红=C21，再摸出红球，P红红=C21C21=4；‎ ‎②先摸出白球，P白=C31，再摸出白球，P白白=C31C31=9，‎ ‎∴P==．‎ 故答案为：‎ ‎　‎ ‎13．f（n）=21+24+27+…+23n+10（n∈N*），则f（n）的项数为　n+4　．‎ ‎【考点】数列的求和．‎ ‎【分析】通过观察指数可知有指数构成的数列的通项公式为3n﹣2，而3n+10为数列的第n+4项，进而可得结论．‎ ‎【解答】解：由题意知，观察指数1，4，7，…，3n+10，‎ ‎∴该数列的通项公式为an=3n﹣2，‎ 又∵3n+10为数列的第n+4项，‎ ‎∴f（n）是首项为2、公比为8的等比数列的前n+4项和，‎ 故答案为：n+4．‎ ‎　‎ ‎14．已知a＞0，b＞0，a+b+ab=8，则a+b的最小值是　4　．‎ ‎【考点】基本不等式．‎ ‎【分析】由于正数a，b满足a+b=8﹣ab≥8﹣（）2，可得关于 a+b的不等式，解此不等式，从而得到答案．‎ ‎【解答】解：∵正数a，b满足a+b=8﹣ab≥8﹣（）2，‎ ‎∴a+b≥8﹣，当且仅当a=b 时，等号成立．‎ 解之，得a+b≥4，故a+b的最小值为 4．‎ 故答案为：4‎ ‎　‎ 三、填空题（共5小题，每小题3分，满分15分）‎ ‎15．设△ABC的三个内角A、B、C对边分别是a、b、c，已知，b2+c2﹣a2+bc=0‎ ‎（1）求△ABC外接圆半径；‎ ‎（2）若△ABC的面积为，求b+c的值．‎ ‎【考点】余弦定理；正弦定理．‎ ‎【分析】（1）利用余弦定理表示出cosA，将已知等式代入求出cosA的值，根据A为三角形内角，利用特殊角的三角函数值即可求出A的度数，确定出sinA的值，再利用正弦定理即可求出外接圆半径；‎ ‎（2）根据a，sinA，以及已知的三角形面积，利用面积公式求出bc的值，再利用余弦定理即可求出b+c的值．‎ ‎【解答】解：（1）∵b2+c2﹣a2+bc=0，‎ ‎∴cosA===﹣，‎ ‎∵A为三角形内角，∴A=，即sinA=，‎ 根据正弦定理得： =2R，即R=；‎ ‎（2）∵a=，A=，‎ ‎∴由面积公式得：S=bcsinA=bcsin=，即bc=6，‎ ‎∴由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bccos=7，整理得：b2+c2=13，‎ 则（b+c）2=b2+c2+2bc=25，∴b+c=5．‎ ‎　‎ ‎16．某班级参加学校三个社团的人员分布如表：‎ 社团 围棋 戏剧 足球 人数 ‎10‎ m n 已知从这些同学中任取一人，得到是参加围棋社团的同学的概率为．‎ ‎（1）求从中任抽一人，抽出的是参加戏剧社团或足球社团的同学的概率；‎ ‎（2）若从中任抽一人，抽出的是参加围棋社团或足球社团的同学的概率为，求m和n的值．‎ ‎【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．‎ ‎【分析】（1）根据对立事件得到满足条件的概率即可；（2）结合题意得到关于m，n的方程组，解出即可．‎ ‎【解答】解：（1）事件“参加围棋社团的同学”和“参加戏剧社团或足球社团的同学”是对立事件，‎ 故抽出的是参加戏剧社团或足球社团的同学的概率是1﹣=；‎ ‎（2）由题意得：‎ ‎，‎ 解得：．‎ ‎　‎ ‎17．已知函数f（x）=mx2﹣mx﹣1．‎ ‎（1）若f（x）＜0的解集为（﹣1，2），求m的值；‎ ‎（2）若对于x∈R，f（x）＜0恒成立，求实数m的取值范围；‎ ‎（3）若对于x∈[1，3]，f（x）＜5﹣m恒成立，求实数m的取值范围．‎ ‎【考点】函数恒成立问题；一元二次不等式的解法．‎ ‎【分析】（1）由f（x）＜0的解集为（﹣1，2），得到﹣1，2是方程mx2﹣mx﹣1=0的两个根，且m＞0，即可求出m的值．‎ ‎（2）若f（x）＜0恒成立，则m=0或 ‎，分别求出m的范围后，综合讨论结果，可得答案．‎ ‎（3）若对于x∈[1，3]，f（x）＜5﹣m恒成立，则m（x﹣）2+m﹣6＜0，x∈[1，3]恒成立，结合二次函数的图象和性质分类讨论，综合讨论结果，可得答案．‎ ‎【解答】解：（1）f（x）＜0的解集为（﹣1，2），‎ ‎∴﹣1，2是方程mx2﹣mx﹣1=0的两个根，且m＞0，‎ ‎∴﹣1×2=，‎ 解得m=‎ ‎（2）当m=0时，f（x）=﹣1＜0恒成立，‎ 当m≠0时，若f（x）＜0恒成立，‎ 则 解得﹣4＜m＜0‎ 综上所述m的取值范围为（﹣4，0]‎ ‎（3）要x∈[1，3]，f（x）＜5﹣m恒成立，‎ 即m（x﹣）2+m﹣6＜0，x∈[1，3]恒成立．‎ 令g（x）=m（x﹣）2+m﹣6，x∈[1，3]，‎ 当m＞0时，g（x）是增函数，‎ 所以g（x）max=g（3）=7m﹣6＜0，‎ 解得m＜．‎ 所以0＜m＜当m=0时，﹣6＜0恒成立．‎ 当m＜0时，g（x）是减函数．‎ 所以g（x）max=g（1）=m﹣6＜0，‎ 解得m＜6．‎ 所以m＜0．‎ 综上所述，m＜‎ ‎　‎ ‎18．随机抽取某高中甲、乙两个班各10名同学，测量他们的身高（单位：cm），获得身高数据的茎叶图如图所示．‎ ‎（1）甲班和乙班同学身高数据的中位数各是多少？计算甲班的样本方差；‎ ‎（2）现从乙班这10名同学中随机抽取两名身高不低于175cm的同学，求身高为176cm的同学被抽中的概率．‎ ‎【考点】茎叶图；极差、方差与标准差；列举法计算基本事件数及事件发生的概率．‎ ‎【分析】（1）由中位数和平均数、方差的计算公式，进行计算即可；‎ ‎（2）利用列举法计算所求的概率值．‎ ‎【解答】解：（1）根据中位数的定义知，‎ 甲的中位数是： =169（厘米），‎ 乙的中位数是： =171.5（厘米）；‎ 根据平均数的公式，计算甲班的平均数为 ‎=×=170‎ 甲班的样本方差s2=×[2+2+…+2]=57.2．‎ ‎（2）设“身高为176cm的同学被抽中”为事件A．‎ 从乙班10名同学中抽取两名身高不低于173cm的同学有：‎ ‎，，，，，‎ ‎，，，，，‎ 共10个基本事件，而事件A含有4个基本事件：‎ ‎，，，．‎ 所以P（A）==．‎ ‎　‎ ‎19．已知等差数列{an}的前n项和为Sn（（n∈N*），S3=18，a4=2．‎ ‎（1）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（2）设bn=，求Tn=b1+b2+…+bn；‎ ‎（3）若数列{cn}满足cn=Tn，求cn的最小值及此时n的值．‎ ‎【考点】等差数列的前n项和；数列的函数特性；数列的求和．‎ ‎【分析】（1）设等差数列{an}的公差为d，由题意可得关于首项和公差的方程组，解得代入通项公式可得；（2）由（1）可得bn=（），由裂项相消法求和可得；（3）由（2）可得=n+1+﹣2，由基本不等式可得．‎ ‎【解答】解：（1）设等差数列{an}的公差为d，‎ 则S3=3a1+=18，a4=a1+3d=2，‎ 解得a1=8，d=﹣2，‎ ‎∴an=8﹣2（n﹣1）=﹣2n+10；‎ ‎（2）由（1）可得=‎ ‎==（），‎ ‎∴Tn=b1+b2+…+bn=（1﹣+…+）=‎ ‎（3）由（2）可得===n+1+﹣2≥2﹣2=8，‎ 当且仅当n+1=，即n=4时取等号，此时cn取最小值8‎ ‎　‎ ‎2017年1月17日