广东省湛江市第二十一中学2020届高三6月热身考试数学（理）试题 24页

湛江市第二十一中学2020届热身考试理数 一．选择题（共12小题）‎ ‎1．已知集合A＝{x|x2﹣x﹣2≥0}，B＝{x||x﹣1|≤2}，则A∩B＝（　　）‎ A．{﹣1}∪[2，3] B．[2，3] C．[1，3] D．{﹣1}∪[1，3]‎ ‎2．已知（a+2i）2（a∈R）是纯虚数，则|a+i|＝（　　）‎ A． B． C．3 D．5‎ ‎3．《算法统宗》全称《新编直指算法统宗》，共17卷，是中国古代数学名著，明朝数学家程大位著．书中有这样一道著名的题目：“一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大、小和尚各几丁？”现给出该问题中求小僧人数的算法的程序框图，则图中①②可分别填入（　　）‎ A．；n＝100？ B．；n＝100？ ‎ C．；s＝100？ D．；s＝100？‎ ‎4．已知实数a满足：a2﹣1≤0．命题P：函数y＝x2﹣4ax﹣1在[﹣1，1]上单调递减．则命题P为真命题的概率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎5．已知{an}是各项不相等的等差数列，若a1＝4，且a2，a4，a8成等比数列，则数列{an}的前8项和S8＝（　　）‎ A．112 B．‎144 ‎C．288 D．110‎ ‎6．函数f（x）＝的图象大致为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎7．（1﹣x）（1+2x）4展开式中x2的系数为（　　）‎ A．﹣24 B．﹣‎8 ‎C．16 D．24‎ ‎8．已知为不共线的两个单位向量，且在上的投影为，则||＝（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎9．已知如图是一个几何体的三视图及有关数据如图所示，则该几何体的棱的长度中，最大的是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎10．将函数f（x）＝sin2x+2图象向右平移个单位，再把各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数g（x）的图象，则下列说法中正确的是（　　）‎ A．g（x）的周期为π ‎ B．g（x）是偶函数 ‎ C．g（x）的图象关于直线对称 ‎ D．g（x）在上单调递增 ‎11．已知双曲线C：，以P（b，0）为圆心，a为半径作圆P，圆P与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点，且PM⊥PN，则C的离心率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎12．已知四棱锥P﹣ABCD的顶点都在球O的球面上，PA⊥底面ABCD，且AB＝AD＝1，BC＝CD＝2，若球O的表面积为36π，则PA＝（　　）‎ A．2 B． C． D．‎ 二．填空题（共4小题）‎ ‎13．若曲线y＝x3﹣x2在点P处的切线l与直线y＝﹣x垂直，则切线l的方程为　 　．‎ ‎14．公比为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn，a2＝2，S4﹣5S2＝0，则S6﹣S3的值为　 　．‎ ‎15．为了积极稳妥疫情期间的复学工作，市教育局抽调5名机关工作人员去某街道3所不同的学校开展驻点服务，每个学校至少去1人，若甲、乙两人不能去同一所学校，则不同的分配方法种数为　 　．‎ ‎16．已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过点F的直线l与抛物线相交于A、B两点，O为坐标原点，直线OA、OB与抛物线的准线分别相交于点P，Q，则|PQ|的最小值为　 　．‎ 三．解答题（共7小题）‎ ‎17．已知三角形ABC中，三个内角A、B、C的对应边分别为a，b，c，且a＝5，b＝7．‎ ‎（1）若B＝，求c；‎ ‎（2）设点M是边AB的中点，若CM＝3，求三角形ABC的面积 ‎18．如图，四边形ABCD为正方形，PA∥CE，AB＝CE＝PA，PA⊥平面ABCD．‎ ‎（1）证明：PE⊥平面DBE；‎ ‎（2）求二面角B﹣PD﹣E的正弦值的大小．‎ ‎19．某公司为加强对销售员的考核与管理，从销售部门随机抽取了2019年度某一销售小组的月均销售额，该小组各组员2019年度的月均销售额（单位：万元）‎ 分别为：3.35，3.35，3.38，3.41，3.43，3.44，3.46，3.48，3.51，3.54，3.56，3.56，3.57，3.59，3.60，3.64，3.64，3.67，3.70，3.70．‎ ‎（Ⅰ）根据公司人力资源部门的要求，若月均销售额超过3.52万元的组员不低于全组人数的65%，则对该销售小组给予奖励，否则不予奖励．试判断该公司是否需要对抽取的销售小组发放奖励；‎ ‎（Ⅱ）在该销售小组中，已知月均销售额最高的5名销售员中有1名的月均销售额造假，为找出月均销售额造假的组员，现决定请专业机构对这5名销售员的月均销售额逐一进行审核，直到能确定出造假组员为止．设审核次数为X，求X的分布列及数学期望．‎ ‎20．已知椭圆的左右焦点为F1，F2，离心率为，过点F2且垂直于x轴的直线被椭圆E截得的弦长为1．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆E的方程；‎ ‎（Ⅱ）若直线y＝kx+m（k＞0）交椭圆E于点C，D两点，与线段F‎1F2和椭圆短轴分别交于两个不同点M，N，且|CM|＝|DN|，求|CD|的最小值．‎ ‎21．已知函数f（x）＝lnx﹣mx2（m∈R）．‎ ‎（1）讨论f（x）的单调性；‎ ‎（2）若f（x）有两个不同的零点x1，x2，且x1＜2＜x2，求证：ln（x22﹣x12+1）﹣．（其中e＝2.71828…是自然对数的底数）‎ ‎（选做题22-23）‎ ‎22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（α为参数），以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标．‎ ‎（1）求曲线C的极坐标方程；‎ ‎（2）在极坐标系中，M，N是曲线C上的两点，若∠MON＝，求|OM|+|ON ‎|的最大值．‎ ‎23．函数f（x）＝|x+a|+|x﹣b|+c，其中a＞0，b＞0，c＞0．‎ ‎（1）当a＝b＝c＝1时，求不等式f（x）＞4的解集；‎ ‎（2）若f（x）的最小值为3，求证：．‎ 湛江市第二十一中学2020届热身考试 参考答案与试题解析 一．选择题（共12小题）‎ ‎1．已知集合A＝{x|x2﹣x﹣2≥0}，B＝{x||x﹣1|≤2}，则A∩B＝（　　）‎ A．{﹣1}∪[2，3] B．[2，3] C．[1，3] D．{﹣1}∪[1，3]‎ ‎【分析】求出集合A，B，由此能求出A∩B．‎ 解：∵集合A＝{x|x2﹣x﹣2≥0}＝{x|x≤﹣1或x≥2}，‎ B＝{x||x﹣1|≤2}＝{x|﹣1≤x≤3}，‎ ‎∴A∩B＝{x|x＝﹣1或2≤x≤3}＝{﹣1}∪[2，3]．‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．‎ ‎2．已知（a+2i）2（a∈R）是纯虚数，则|a+i|＝（　　）‎ A． B． C．3 D．5‎ ‎【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部为0且虚部不为0求得a值，进一步利用复数模的计算公式求解．‎ 解：（a+2i）2＝a2﹣4+4ai，‎ ‎∵（a+2i）2（a∈R）是纯虚数，‎ ‎∴，即a＝±2，‎ 则，‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，考查复数模的求法，是基础题．‎ ‎3．《算法统宗》全称《新编直指算法统宗》，共17卷，是中国古代数学名著，明朝数学家程大位著．书中有这样一道著名的题目：“一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大、小和尚各几丁？”现给出该问题中求小僧人数的算法的程序框图，则图中①②可分别填入（　　）‎ A．；n＝100？ B．；n＝100？ ‎ C．；s＝100？ D．；s＝100？‎ ‎【分析】由已知中的程序语句，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．‎ 解：由程序框图可知，n表示小僧人数，m表示大僧人数，‎ 根据“大僧三个更无争，小僧三人分一个”，‎ 设馒头数为s，则，‎ 所以①中填入，‎ 当s＝100时结束程序，输出n．‎ 所以②中应该为：s＝100？．‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．‎ ‎4．已知实数a满足：a2﹣1≤0．命题P：函数y＝x2﹣4ax﹣1在[﹣1，1]上单调递减．则命题P为真命题的概率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】先求出a的范围，再求出P为真命题对应的a的范围，即可求解结论．‎ 解：因为a2﹣1≤0⇒﹣1≤a≤1；‎ 若P为真命题：则有对称轴‎2a≥1⇒a≥；‎ ‎∴命题P为真命题的概率为：＝；‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题主要考查几何概型的应用问题，属于基础题目．‎ ‎5．已知{an}是各项不相等的等差数列，若a1＝4，且a2，a4，a8成等比数列，则数列{an}的前8项和S8＝（　　）‎ A．112 B．‎144 ‎C．288 D．110‎ ‎【分析】等差数列{an}的公差设为d，d≠0，由等比数列的中项性质和等差数列的通项公式，解方程可得公差，再由等差数列的求和公式，计算可得所求和．‎ 解：{an}是各项不相等的等差数列，设公差为d，d≠0，‎ 若a1＝4，且a2，a4，a8成等比数列，‎ 可得a‎2a8＝a42，‎ 即（4+d）（4+7d）＝（4+3d）2，‎ 解得d＝4（0舍去），‎ 则数列{an}的前8项和S8＝8×4+×8×7×4＝144．‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查等差数列的通项公式和求和公式、等比数列的中项性质，考查方程思想和运算能力，属于基础题．‎ ‎6．函数f（x）＝的图象大致为（　　）‎ A． ‎ B． ‎ C． ‎ D．‎ ‎【分析】判断函数的奇偶性，利用特殊值求解点的坐标，判断即可．‎ 解：由题知f（x）为奇函数，排除D；‎ 因为，排除C；‎ 又因为，所以排除B，‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查函数的图象的判断，利用函数的奇偶性以及函数经过的特殊点，是解题的关键．‎ ‎7．（1﹣x）（1+2x）4展开式中x2的系数为（　　）‎ A．﹣24 B．﹣‎8 ‎C．16 D．24‎ ‎【分析】根据（1+2x）4的展开式，求得（1﹣x）（1+2x）4的展开式中，x2的系数．‎ 解：含x2的项为1ו（2x）2+（﹣x）•2x＝16x2，‎ 所以，x2的系数等于16，‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．‎ ‎8．已知为不共线的两个单位向量，且在上的投影为，则||＝（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】根据向量在向量的方向上投影的定义求出•，进而求出|2﹣|即可．‎ 解：∵为不共线的两个单位向量，且在上的投影为，‎ 故•＝||•||cosθ＝﹣；则||＝＝＝＝．‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查了平面向量的数量积的定义与几何意义及向量的数量积运算，属于基础题．‎ ‎9．已知如图是一个几何体的三视图及有关数据如图所示，则该几何体的棱的长度中，最大的是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】根据三视图知该几何体是长方体的一部分，结合图形求出几何体棱长的最大值．‎ 解：几何体可以看作长方体的一部分，‎ 也可以看作是正三棱柱去掉一个三棱锥的几何体，如图所示；‎ 则该几何体的棱长为：AE＝AD＝2，‎ AC＝BC＝BE＝ED＝DC＝AC＝BC＝2．‎ 所以该几何体的棱长最大的是2．‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查了由三视图求几何体棱长最大值的应用问题，解题的关键是得到该几何体的形状．‎ ‎10．将函数f（x）＝sin2x+2图象向右平移个单位，再把各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数g（x）的图象，则下列说法中正确的是（　　）‎ A．g（x）的周期为π ‎ B．g（x）是偶函数 ‎ C．g（x）的图象关于直线对称 ‎ D．g（x）在上单调递增 ‎【分析】首先利用函数的关系式的变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步利用图象的平移变换和伸缩变换的应用求出函数g（x）的关系式，进一步利用性质的应用求出结果．‎ 解：函数f（x）＝sin2x+2＝sin2x+＝2，‎ 把函数图象向右平移个单位，得到y＝2sin[2（x﹣）+]＝，‎ 再把各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），‎ 得到g（x）＝2sin（x+）．‎ ‎①故函数的最小正周期为2π，故选项A错误．‎ ‎②函数g（x）≠g（﹣x），不为偶函数，故选项B错误．‎ ‎③当x＝时，g（）＝≠2，故选项C错误．‎ ‎④由于x∈（﹣），所以，故函数g（x）单调递增．故选项D正确．‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，函数的图象的平移变换和伸缩变换的应用，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．‎ ‎11．已知双曲线C：，以P（b，0）为圆心，a为半径作圆P，圆P 与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点，且PM⊥PN，则C的离心率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】由双曲线的方程可得渐近线的方程，求出圆心P到渐近线的距离d，再由题意可得d与半径a之间的关系，及a，b，c之间的关系可得a，c的关系进而求出离心率．‎ 解：由题意可得渐近线的方程bx﹣ay＝0，所以圆心（b，0），圆心到渐近线的距离d＝＝，‎ 再由PM⊥PN，PM＝PN＝a，所以可得d＝a，‎ 即＝a，而b2＝c2﹣a2，所以可得c2﹣＝a2＝0，即e2﹣e﹣＝0，‎ 解得e＝或e＝﹣（舍），‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查双曲线的性质，及圆的性质，属于中档题．‎ ‎12．已知四棱锥P﹣ABCD的顶点都在球O的球面上，PA⊥底面ABCD，且AB＝AD＝1，BC＝CD＝2，若球O的表面积为36π，则PA＝（　　）‎ A．2 B． C． D．‎ ‎【分析】先分析底面四边形ABCD的外接圆，利用三角形全等得到底面四边形ABCD的外接圆的圆心M为AC的中点，从而面四边形ABCD的外接圆的半径r＝，易知球O的球心O在过点M的底面ABCD的垂线上，由球O的表面积求出球O的半径，再利用勾股定理即可求出PA的值．‎ 解：设底面四边形ABCD的外接圆为圆M，如图所示：‎ ‎，‎ ‎∵AB＝AD，BC＝CD，AC＝AC，‎ ‎∴△ADC≌△ABC，‎ ‎∴∠ADC＝∠ABC，‎ 又因为圆内接四边形对角互补，∴∠ADC＝∠ABC＝90°，‎ ‎∴底面四边形ABCD的外接圆的圆心M为AC的中点，‎ ‎∵AD＝1，CD＝2，∠ADC＝90°，∴AC＝，即面四边形ABCD的外接圆的半径r＝，‎ 过点M作底面ABCD的垂线，则球O的球心O在垂线上，如图所示：‎ ‎，‎ 过球心O作ON⊥PA于点N，故四边形AMON为矩形，‎ ‎∵球O的表面积为36π，∴4πR2＝36π，∴R＝3，‎ 在Rt△OAM中：AM＝r＝，OA＝R＝3，∴OM＝＝，‎ 在Rt△PON中：ON＝AM＝r＝，OP＝R＝3，∴PN＝＝，‎ ‎∴PA＝PN+AN＝PN+OM＝，‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题主要考查了四棱锥的外接球，是中档题．‎ 二．填空题（共4小题）‎ ‎13．若曲线y＝x3﹣x2在点P处的切线l与直线y＝﹣x垂直，则切线l的方程为　y＝x﹣1或　．‎ ‎【分析】根据题意可设P，并且可据题意得出y＝x3﹣x2在点P处的切线斜率为1，从而可得出，解出x0，从而可得出点P的坐标，根据直线的点斜式方程进而求出切线的方程．‎ 解：据题意设P，且y＝x3﹣x2在点P处的切线斜率为1，y′＝3x2﹣2x，‎ ‎∴，解得，或1，‎ ‎∴，或P（1，0），‎ ‎∴切线l的方程为或y＝x﹣1．‎ 故答案为：或y＝x﹣1．‎ ‎【点评】本题考查了相互垂直的直线的斜率的关系，导数的几何意义，直线的点斜式方程，考查了计算能力，属于基础题．‎ ‎14．公比为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn，a2＝2，S4﹣5S2＝0，则S6﹣S3的值为　56　．‎ ‎【分析】由题意可得公比q≠1，再利用等比数列的前n项和公式、通项公式求出首项和公比的值，可得S6﹣S3的值．‎ 解：∵公比为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn，a2＝2，S4﹣5S2＝0，显然，公比q≠1．‎ ‎∴，解得，‎ 则S6﹣S3＝﹣＝56，‎ 故答案为：56．‎ ‎【点评】本题主要考查等比数列的前n项和公式、通项公式，属于基础题．‎ ‎15．为了积极稳妥疫情期间的复学工作，市教育局抽调5名机关工作人员去某街道3所不同的学校开展驻点服务，每个学校至少去1人，若甲、乙两人不能去同一所学校，则不同的分配方法种数为　114　．‎ ‎【分析】根据题意，分2步进行分析：①将5人分成3组，要求甲乙不在同一组，需要分2种情况讨论分组的情况数目，②将分好的三组全排列，对应3所不同的学校，由分步计数原理计算可得答案．‎ 解：根据题意，分2步进行分析：‎ ‎①将5人分成3组，要求甲乙不在同一组，‎ 若分成3、1、1的三组，有C53﹣C31＝7种分组方法，‎ 若分成2、2、1的三组，有﹣C32＝12种分组方法，‎ 则有7+12＝19种分组方法；‎ ‎②将分好的三组全排列，对应3所不同的学校，有A33＝6种情况，‎ 则有19×6＝114种安排方法；‎ 故答案为：114．‎ ‎【点评】本题考查排列、组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题．‎ ‎16．已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过点F的直线l与抛物线相交于A、B两点，O为坐标原点，直线OA、OB与抛物线的准线分别相交于点P，Q，则|PQ|的最小值为　4　．‎ ‎【分析】设点A、B的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），直线l的方程为x＝my+1，将其与抛物线的方程联立，消去x，写出韦达定理可得，；写出直线OA的方程为，从而得点P（﹣1，），同理可得点Q（﹣1，），记抛物线的准线与x轴的交点为D，则有|PD|•|QD|＝，然后根据均值不等式有，|PQ|＝|PD|+|QD|≥＝4，故而得解．‎ 解：根据题意，作出如下所示的图形，‎ 由题可知，焦点F（1，0），设点A、B的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），直线l的方程为x＝my+1，‎ 联立，得y2﹣4my﹣4＝0，∴，，‎ ‎∵直线OA的方程为，‎ ‎∴令x＝﹣1，则，∴P（﹣1，），‎ 同理可得，Q（﹣1，），‎ 记抛物线的准线与x轴的交点为D，则有|PD|•|QD|＝，‎ 由|PQ|＝|PD|+|QD|≥＝4，可知|PQ|的最小值为4．‎ 故答案为：4．‎ ‎【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系，涉及曲线与直线联立，还利用了均值不等式解决最值问题，考查学生的分析能力和运算能力，属于中档题．‎ 三．解答题（共7小题）‎ ‎17．已知三角形ABC中，三个内角A、B、C的对应边分别为a，b，c，且a＝5，b＝7．‎ ‎（1）若B＝，求c；‎ ‎（2）设点M是边AB的中点，若CM＝3，求三角形ABC的面积 ‎【分析】（1）利用余弦定理列方程，即可求得c的值；‎ ‎（2）用向量表示中线CM，求出cos∠ACB，再求sin∠ACB，即可求得△ABC的面积．‎ 解：（1）△ABC中，a＝5，b＝7，B＝，‎ 由余弦定理得，b2＝a2+c2﹣2accosB，‎ 即49＝25+c2﹣2×5×c×cos，‎ 整理得c2﹣‎5c﹣24＝0，‎ 解得c＝8或c＝﹣3（不合题意，舍去），‎ 所以c＝8；‎ ‎（2）如图所示，‎ 点M是边AB的中点，CM＝3，‎ ‎＝（+），‎ 所以＝（+2•+），‎ 即9＝×（49+2×7×5×cos∠ACB+25），‎ 解得cos∠ACB＝﹣，‎ 所以sin∠ACB＝＝，‎ ‎△ABC的面积S△ABC＝CA•CB•sin∠ACB＝×7×5×＝6．‎ 故答案为：6．‎ ‎【点评】本题考查了解三角形的应用问题，也考查了平面向量的数量积运算问题，是中档题．‎ ‎18．如图，四边形ABCD为正方形，PA∥CE，AB＝CE＝PA，PA⊥平面ABCD．‎ ‎（1）证明：PE⊥平面DBE；‎ ‎（2）求二面角B﹣PD﹣E的正弦值的大小．‎ ‎【分析】（1）连结AC，推导出BD⊥AC，PA⊥BD，PA⊥AD，从而BD⊥平面APEC，进而BD⊥PE，推导出PE⊥DE，由此能证明PE⊥平面DBE．‎ ‎（2）以A为原点，AD，AB，AP所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角B﹣PD﹣E的正弦值．‎ ‎（1）证明：连结AC，∵四边形ABCD是正方形，∴BD⊥AC，‎ ‎∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BD，PA⊥AD，‎ ‎∵PA∩AC＝A，∴BD⊥平面APEC，‎ ‎∵PE⊂平面APEC，∴BD⊥PE，‎ 设AB＝1，则AD＝1，PA＝2，∴PD＝，‎ 同理解得DE＝，要梯形PACE中，解得PE＝，‎ ‎∴PE2+DE2＝PD2，∴PE⊥DE，‎ ‎∵BD∩DE＝D，∴PE⊥平面DBE．‎ ‎（2）解：以A为原点，AD，AB，AP所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，‎ 令AB＝1，则CE＝，AP＝2，‎ ‎∴P（0，0，2），E（1，1，1），D（1，0，0），B（0，1，0），‎ ‎＝（﹣1，﹣1，1），＝（﹣1，0，2），＝（0，﹣1， 2），＝（1，﹣1，0），‎ 设平面DPE的法向量＝（x，y，z），‎ 则，取z＝1，得＝（2，﹣1，1），‎ 设平面BPD的法向量＝（a，b，c），‎ 则，取c＝1，得＝（2，2，1），‎ 设二面角B﹣PD﹣E的平面角为θ，‎ 则cosθ＝＝，‎ ‎∴二面角B﹣PD﹣E的正弦值sinθ＝＝．‎ ‎【点评】本题考查线面垂直的证明，考查二面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．‎ ‎19．某公司为加强对销售员的考核与管理，从销售部门随机抽取了2019年度某一销售小组的月均销售额，该小组各组员2019年度的月均销售额（单位：万元）‎ 分别为：3.35，3.35，3.38，3.41，3.43，3.44，3.46，3.48，3.51，3.54，3.56，3.56，3.57，3.59，3.60，3.64，3.64，3.67，3.70，3.70．‎ ‎（Ⅰ）根据公司人力资源部门的要求，若月均销售额超过3.52万元的组员不低于全组人数的65%，则对该销售小组给予奖励，否则不予奖励．试判断该公司是否需要对抽取的销售小组发放奖励；‎ ‎（Ⅱ）在该销售小组中，已知月均销售额最高的5名销售员中有1名的月均销售额造假，为找出月均销售额造假的组员，现决定请专业机构对这5名销售员的月均销售额逐一进行审核，直到能确定出造假组员为止．设审核次数为X，求X的分布列及数学期望．‎ ‎【分析】（Ⅰ）月均销售额超过了3.52万元的销售员占该小组的比例，比较判断即可；‎ ‎（Ⅱ）取X＝1，2，3，4，求出关于X的分布列，求出数学期望即可．‎ 解：（Ⅰ）由题意，该小组共有11名销售员2019年度的月均销售额超过了3.52万元，‎ 故月均销售额超过了3.52万元的销售员占该小组的比例是＝55%＜65%，‎ 故不需要对抽取的销售小组发放奖励；‎ ‎（Ⅱ）X的所有可能的取值为：1，2，3，4，‎ 则P（X＝1）＝＝，‎ P（X＝2）＝＝，‎ P（X＝3）＝＝，‎ P（X＝4）＝＝，‎ 故X的分布列是：‎ X ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ P（X）‎ ‎∴E（X）＝1×+2×+3×+4×＝．‎ ‎【点评】本题考查了求离散型随机变量的概率分布列，数学期望，难度不大，属于常规题．‎ ‎20．已知椭圆的左右焦点为F1，F2，离心率为，过点F2且垂直于x轴的直线被椭圆E截得的弦长为1．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆E的方程；‎ ‎（Ⅱ）若直线y＝kx+m（k＞0）交椭圆E于点C，D两点，与线段F‎1F2和椭圆短轴分别交于两个不同点M，N，且|CM|＝|DN|，求|CD|的最小值．‎ ‎【分析】（Ⅰ）通过离心率以及通径，求解a，b，然后求出椭圆方程．‎ ‎（Ⅱ）把y＝kx+m（k＞0）代入得（1+4k2）x2+8kmx+‎4m2‎﹣4＝0，‎ 设D（x1，y1），C（x2，y2），利用韦达定理设出M，N，利用|CM|＝|DN|，结合y＝kx+m（k＞0）与线段F‎1F2和椭圆短轴分别交于两个不同点M，N，求出CD，转化求解即可．‎ 解：（Ⅰ）由题可知：，，‎ 所以a＝2，b＝1，‎ 则椭圆E的方程为；‎ ‎（Ⅱ）把y＝kx+m（k＞0）代入得（1+4k2）x2+8kmx+‎4m2‎﹣4＝0，‎ 设D（x1，y1），C（x2，y2），则，，‎ 又，N（0，m），‎ 因|CM|＝|DN|，所以xM﹣x1＝x2﹣xN，即xM+xN＝x1+x2，‎ 所以，‎ 因为y＝kx+m（k＞0）与线段F‎1F2和椭圆短轴分别交于两个不同点M，N，‎ 所以m≠0，又k＞0，‎ 则，‎ 故x1+x2＝﹣‎2m，，‎ 因为直线y＝kx+m（k＞0）与线段F‎1F2及椭圆的短轴分别交于不同两点，‎ 所以，即，且m≠0，‎ 所以 ‎＝，‎ 因为，且m≠0，‎ 所以当或时，|CD|的最小值为．‎ ‎【点评】本题考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力，是难题．‎ ‎21．已知函数f（x）＝lnx﹣mx2（m∈R）．‎ ‎（1）讨论f（x）的单调性；‎ ‎（2）若f（x）有两个不同的零点x1，x2，且x1＜2＜x2，求证：ln（x22﹣x12+1）﹣．（其中e＝2.71828…是自然对数的底数）‎ ‎【分析】（1）先对函数求导，然后结合导数与单调性的关系对m进行分类讨论，即可求解；‎ ‎（2）由题意可得m＝，结合其结构特点可进行构造函数，结合导数及函数的性质可证．‎ 解：（1）＝，‎ m≤0时，f′（x）≥0，f（x）在（0，+∞）上单调递增，‎ 当m＞0时，由f′（x）＞0可得，0，由f′（x）＜0可得x，‎ 所以f（x）在（0， ）上单调递增，在（，+∞）上单调递减，‎ 证明：（2）由题意可得＝0即m＝，‎ 令t＝x2＞2，则g（t）＝，‎ 所以，‎ 当时，g′（t）＞0，g（t）单调递增，当t时，g′（t）＜0，‎ g（t）单调递减，‎ ‎∵，∴m，‎ ‎∵f（1）＝﹣m＜0，f（）＝ln﹣‎2m＝0，‎ ‎∴，‎ 令s＝则s＞4﹣2+1＝3，‎ 由（1）可知，当m＝时，f（x）在（，+∞）上单调递减，‎ 所以f（s）＝lns﹣＜f（3）＝ln3﹣＝，‎ ‎∴ln（x22﹣x12+1）﹣．‎ ‎【点评】本题主要考查了函数的零点，导数在研究函数性质中的应用，考查了推理论证的能力．‎ ‎22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（α为参数），以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标．‎ ‎（1）求曲线C的极坐标方程；‎ ‎（2）在极坐标系中，M，N是曲线C上的两点，若∠MON＝，求|OM|+|ON|的最大值．‎ ‎【分析】（1）直接利用转换关系，把参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．‎ ‎（2）利用三角函数关系式的恒等变换和正弦型函数的性质的应用求出结果．‎ 解：（1）曲线C的参数方程为（α为参数），转换为直角坐标方程为，‎ 根据，整理得，转换为极坐标方程为 ‎．‎ ‎（2）设M（ρ1，θ），N（），‎ 所以|MM|＝ρ1+ρ2＝＝＝＝2，‎ 当sin（）＝1时，．‎ ‎【点评】本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，极径的应用，三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．‎ ‎23．函数f（x）＝|x+a|+|x﹣b|+c，其中a＞0，b＞0，c＞0．‎ ‎（1）当a＝b＝c＝1时，求不等式f（x）＞4的解集；‎ ‎（2）若f（x）的最小值为3，求证：．‎ ‎【分析】（1）当a＝b＝c＝1时，不等式f（x）＞4化为|x+1|+|x﹣1|＞3．对x分段去绝对值，转化为一元一次不等式求解，取并集得答案；‎ ‎（2）由绝对值不等式得f（x）＝|x+a|+|x﹣b|+c≥|（x+a）﹣（x﹣b）|+c＝a+b+c＝3．再由基本不等式得，，，利用同向不等式相加得结论．‎ 解：（1）当a＝b＝c＝1时，不等式f（x）＞4化为|x+1|+|x﹣1|+1＞4，‎ 即|x+1|+|x﹣1|＞3．‎ 当x≥1时，化为x+1+x﹣1＞3，解得；‎ 当﹣1＜x＜1时，化为x+1﹣（x﹣1）＞3，此时无解；‎ 当x≤﹣1时，化为﹣（x+1）﹣（x﹣1）＞3，解得．‎ 综上可得，不等式f（x）＞4的解集为：；‎ 证明：（2）∵a＞0，b＞0，c＞0，‎ ‎∴由绝对值不等式得f（x）＝|x+a|+|x﹣b|+c≥|（x+a）﹣（x﹣b）|+c＝a+b+c＝3．‎ 由基本不等式得：‎ ‎，，，‎ 当且仅当a＝b＝c＝1时，上面三式等号成立．‎ 三式相加得：，‎ 整理即得．‎ 故．‎ ‎【点评】本题考查绝对值不等式的解法，训练了利用基本不等式求最值，考查逻辑思维能力与推理论证能力，是中档题．‎ 日期：2020/6/19 21:55:46；用户：李志锋；邮箱：66158@xyh.com；学号：27265291‎