数学卷·2018届湖北省黄山市慧德中学高二上学期12月月考数学试卷（理科） （解析版） 22页

全*品*高*考*网， 用后离不了！2016-2017学年湖北省黄山市慧德中学高二（上）12月月考数学试卷（理科）‎ ‎　‎ 一、单项选择 ‎1．如果命题“p且q”是假命题，“非p”是真命题，那么（　　）‎ A．命题p一定是真命题 B．命题q一定是真命题 C．命题q一定是假命题 D．命题q可以是真命题也可以是假命题 ‎2．命题“∃x∈R，x2﹣2x+1＜0”的否定是（　　）‎ A．∃x∈R，x2﹣2x+1≥0 B．∃x∈R，x2﹣2x+1＞0‎ C．∀x∈R，x2﹣2x+1≥0 D．∀x∈R，x2﹣2x+1＜0‎ ‎3．已知命题P：所有有理数都是实数，命题q：正数的对数都是正数，则下列命题中为真命题的是（　　）‎ A．（￢p）∨q B．p∧q C．（￢p）∧（￢q） D．（￢p）∨（￢q）‎ ‎4．节日前夕，小李在家门前的树上挂了两串彩灯，这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，且都在通电后的4秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯以4秒为间隔闪亮，那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时候相差不超过2秒的概率是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎5．如图，在圆心角为直角的扇形OAB中，分别以OA，OB为直径作两个半圆．在扇形OAB内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎6．如图，设D是图中边长为2的正方形区域，E是函数y=x3的图象与x轴及x=±‎ ‎1围成的阴影区域．向D中随机投一点，则该点落入E中的概率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎7．一只蚂蚁在三边长分别为3、4、5的三角形的边上爬行，某时间该蚂蚁距离三角形的三个顶点的距离均超过1的概率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎8．如图是甲、乙两名篮球运动员在以往几场篮球赛中得分的茎叶图，设甲、乙两组数据的平均数分别为，，中位数分别为m甲，m乙，则（　　）‎ A．＜，m甲＞m乙 B．＜，m甲＜m乙 C．＞，m甲＞m乙 D．＞，m甲＜m乙 ‎9．动圆M与圆C1：（x+1）2+y2=36内切，与圆C2：（x﹣1）2+y2=4外切，则圆心M的轨迹方程为（　　）‎ A． +=1 B． +=1‎ C．x2+y2=25 D．x2+y2=38‎ ‎10．某几何体的三视图如图所示（其中府视图中的圆弧是半圆），则该几何体的体积为（　　）‎ A．48+8π B．24+4π C．48+4π D．24+8π ‎11．已知椭圆+=1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1（﹣c，0）、F2（c，0），过点F2且斜率为的直线l交直线2bx+ay=0于M，若M在以线段F1F2为直径的圆上，则椭圆的离心率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎12．在区间[1，5]和[2，4]分别取一个数，记为a，b，则方程表示焦点在x轴上且离心率小于的椭圆的概率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎　‎ 二、填空题 ‎13．椭圆mx2+y2=1（m＞1）的短轴长为m，则m=　　．‎ ‎14．设函数f（x）=|log2x|，则f（x）在区间（m﹣2，2m）内有定义且不是单调函数的充要条件是　　．‎ ‎15．过椭圆C： +=1的左焦点F作倾斜角为60°的直线l与椭圆C交于A，B两点，则+=　　．‎ ‎16．如图所示，椭圆+=1的左，右顶点分别为A，A′，线段CD是垂直于椭圆长轴的弦，连接AC，DA′相交于点P，则点P的轨迹方程为　　．‎ ‎　‎ 三、解答题 ‎17．设圆上的点A（2，3）关于直线x+2y=0的对称点仍在圆上，且与直线x﹣y+1=0相交的弦长为2，求圆的方程．‎ ‎18．已知分别在下列条件下求α+2β的值：‎ ‎（1）‎ ‎（2）．‎ ‎19．设p：2x2﹣x﹣1≤0，q：x2﹣（2a﹣1）x+a（a﹣1）≤0，若非q是非p的必要不充分条件，求实数a的取值范围．‎ ‎20．已知命题p：关于x的一元二次方程x2+2x+m=0没有实数根，命题q：函数f（x）=lg（mx2﹣x+m）的定义域为R，若p或q为真命题，p且q为假命题，求实数m的取值范围．‎ ‎21．在平面直角坐标系xOy中，已知点P（1，）在椭圆C： =1（a＞b＞0）上，P到椭圆C的两个焦点的距离之和为4．‎ ‎（1）求椭圆C的方程；‎ ‎（2）若点M，N是椭圆C上的两点，且四边形POMN是平行四边形，求点M，N的坐标．‎ ‎22．已知椭圆C的离心率为，过上顶点和左焦点的直线的倾斜角为，直线l过点E（﹣1，0）且与椭圆C交于A，B两点．‎ ‎（1）求椭圆C的标准方程；‎ ‎（2）△AOB的面积是否有最大值？若有，求出此最大值；若没有，请说明理由．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年湖北省黄山市慧德中学高二（上）12月月考数学试卷（理科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、单项选择 ‎1．如果命题“p且q”是假命题，“非p”是真命题，那么（　　）‎ A．命题p一定是真命题 B．命题q一定是真命题 C．命题q一定是假命题 D．命题q可以是真命题也可以是假命题 ‎【考点】复合命题的真假．‎ ‎【分析】由已知条件知p是假命题，所以满足p且q是假命题，所以命题q的真假性不能判断，即命题p可以是真命题，也可以是假命题．‎ ‎【解答】解：“p且q”是假命题，则p，q中至少一个为假命题；‎ 非p是真命题，∴p是假命题；‎ ‎∴命题q可以是真命题，也可以是假命题；‎ 故选D．‎ ‎　‎ ‎2．命题“∃x∈R，x2﹣2x+1＜0”的否定是（　　）‎ A．∃x∈R，x2﹣2x+1≥0 B．∃x∈R，x2﹣2x+1＞0‎ C．∀x∈R，x2﹣2x+1≥0 D．∀x∈R，x2﹣2x+1＜0‎ ‎【考点】命题的否定．‎ ‎【分析】直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可．‎ ‎【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题“x2﹣2x+1＜0”的否定是命题：∀x∈R，x2﹣2x+1≥0．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎3．已知命题P：所有有理数都是实数，命题q：正数的对数都是正数，则下列命题中为真命题的是（　　）‎ A．（￢p）∨q B．p∧q C．（￢p）∧（￢q） D．（￢p）∨（￢q）‎ ‎【考点】复合命题的真假．‎ ‎【分析】由命题P：所有有理数都是实数，是真命题，命题q：正数的对数都是正数，是假命题，知￢p是假命题，￢q是真命题，由此能求出结果．‎ ‎【解答】解：∵命题P：所有有理数都是实数，是真命题，‎ 命题q：正数的对数都是正数，是假命题，‎ ‎∴￢p是假命题，￢q是真命题，‎ ‎∴（￢p）∨q是假命题，p∧q是假命题，‎ ‎（￢p）∧（￢q）是假命题，（￢p）∨（￢q）是真命题，‎ 故选D．‎ ‎　‎ ‎4．节日前夕，小李在家门前的树上挂了两串彩灯，这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，且都在通电后的4秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯以4秒为间隔闪亮，那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时候相差不超过2秒的概率是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】几何概型．‎ ‎【分析】设两串彩灯第一次闪亮的时刻分别为x，y，由题意可得0≤x≤4，0≤y≤4，要满足条件须|x﹣y|≤2，作出其对应的平面区域，由几何概型可得答案．‎ ‎【解答】解：设两串彩灯第一次闪亮的时刻分别为x，y，‎ 由题意可得0≤x≤4，0≤y≤4，‎ 它们第一次闪亮的时候相差不超过2秒，则|x﹣y|≤2，‎ 由几何概型可得所求概率为上述两平面区域的面积之比，‎ 由图可知所求的概率为： =‎ 故选C ‎　‎ ‎5．如图，在圆心角为直角的扇形OAB中，分别以OA，OB为直径作两个半圆．在扇形OAB内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】几何概型．‎ ‎【分析】求出阴影部分的面积即可，连接OC，把下面的阴影部分平均分成了2部分，然后利用位移割补的方法，分别平移到图中划线部分，那么阴影部分的面积就是图中扇形的面积﹣直角三角形AOB的面积．‎ ‎【解答】解：设扇形的半径为r，则扇形OAB的面积为，‎ 连接OC，把下面的阴影部分平均分成了2部分，然后利用位移割补的方法，分别平移到图中划线部分，则阴影部分的面积为：﹣，‎ ‎∴此点取自阴影部分的概率是．‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎6．如图，设D是图中边长为2的正方形区域，E是函数y=x3的图象与x轴及x=±1围成的阴影区域．向D中随机投一点，则该点落入E中的概率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】几何概型．‎ ‎【分析】根据积分的公式计算出区域E的面积，利用几何概型的概率公式即可得到结论．‎ ‎【解答】解：根据积分的几何意义可知区域E的面积S==2×=2×，‎ 区域D的面积为S1=2×2=4，‎ ‎∴根据几何概型的概率公式可知所求概率P=，‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎7．一只蚂蚁在三边长分别为3、4、5的三角形的边上爬行，某时间该蚂蚁距离三角形的三个顶点的距离均超过1的概率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】几何概型．‎ ‎【分析】根据题意，做出三角形的图形，可设为△ABC，易得可得其周长，再在其三边上找到距离定点距离为1的6个点，即AD=AI=BE=BF=CG=CH=1，进而图分析可得，距离三角形的三个顶点的距离均超过1的部分为线段DE、FG、HI上，易得其长度，由几何概型公式计算可得答案．‎ ‎【解答】解：根据题意，如图△ABC中，AB=3，BC=4，AC=5，AD=AI=BE=BF=CG=CH=1，‎ 则△ABC的周长为12，‎ 由图分析可得，距离三角形的三个顶点的距离均超过1的部分为线段DE、FG、HI上，‎ 即其长度为12﹣6×1=6；‎ 则蚂蚁距离三角形的三个顶点的距离均超过1的概率=；‎ 故选D．‎ ‎　‎ ‎8．如图是甲、乙两名篮球运动员在以往几场篮球赛中得分的茎叶图，设甲、乙两组数据的平均数分别为，，中位数分别为m甲，m乙，则（　　）‎ A．＜，m甲＞m乙 B．＜，m甲＜m乙 C．＞，m甲＞m乙 D．＞，m甲＜m乙 ‎【考点】茎叶图．‎ ‎【分析】‎ 根据茎叶图中数据的分布情况即可判断甲乙两组平均数和中位数的大小．‎ ‎【解答】解：∵甲的中位数为28，乙的中位数为26，‎ ‎∴m甲＜m乙，‎ 由茎叶图中的数据可知，甲组的数据主要集中在20到30之间，乙组的数据主要集中在30到40之间，‎ ‎∴甲组的平均数小于乙组的平均数，‎ 即＜，‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎9．动圆M与圆C1：（x+1）2+y2=36内切，与圆C2：（x﹣1）2+y2=4外切，则圆心M的轨迹方程为（　　）‎ A． +=1 B． +=1‎ C．x2+y2=25 D．x2+y2=38‎ ‎【考点】轨迹方程．‎ ‎【分析】设动圆圆心M的坐标为（x，y），半径为r，则|MC1|=6﹣r，|MC2|=r+2，|MC1|+|MC2|=8＞|C1C2|=2，利用椭圆的定义，即可求动圆圆心M的轨迹方程．‎ ‎【解答】解：设动圆圆心M的坐标为（x，y），半径为r，则|MC1|=6﹣r，|MC2|=r+2，‎ ‎∴|MC1|+|MC2|=8＞|C1C2|=2，‎ 由椭圆的定义知，点M的轨迹是以C1、C2为焦点的椭圆，且2a=8，2c=1，‎ ‎∴a=4，c=1‎ ‎∴椭圆的方程为：，‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎10．某几何体的三视图如图所示（其中府视图中的圆弧是半圆），则该几何体的体积为（　　）‎ A．48+8π B．24+4π C．48+4π D．24+8π ‎【考点】由三视图求面积、体积．‎ ‎【分析】由三视图知该几何体是组合体：左边是长方体、右边是半个圆柱，由三视图求出几何元素的长度，由柱体的体积公式求出几何体的体积．‎ ‎【解答】解：根据三视图可知几何体是组合体：左边是长方体、右边是半个圆柱，‎ 其中长方体的长、宽、高分别是：3、4、2，‎ 圆柱底面圆的半径是2，母线长是4，‎ ‎∴该几何体的体积V=‎ ‎=24+8π，‎ 故选D．‎ ‎　‎ ‎11．已知椭圆+=1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1（﹣c，0）、F2（c，0），过点F2且斜率为的直线l交直线2bx+ay=0于M，若M在以线段F1F2为直径的圆上，则椭圆的离心率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】由已知得出过点F2且斜率为的直线l的方程，与2bx+ay=0联立即可解得交点M的坐标，代入以线段F1F2为直径的圆的方程，即可得出离心率e．‎ ‎【解答】解：设过点F2且斜率为的直线l的方程为y=（x﹣c），‎ 与2bx+ay=0联立，可得交点M（，﹣）‎ ‎∵点M在以线段F1F2为直径的圆上，‎ ‎∴（）2+（﹣）2=c2，‎ ‎∴b=a，‎ ‎∴c=a，‎ ‎∴e==．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎12．在区间[1，5]和[2，4]分别取一个数，记为a，b，则方程表示焦点在x轴上且离心率小于的椭圆的概率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】表示焦点在x轴上且离心率小于的椭圆时，（a，b）点对应的平面图形的面积大小和区间[1，5]和[2，4]分别各取一个数（a，b）点对应的平面图形的面积大小，并将他们一齐代入几何概型计算公式进行求解．‎ ‎【解答】解：∵表示焦点在x轴上且离心率小于，‎ ‎∴a＞b＞0，a＜2b 它对应的平面区域如图中阴影部分所示：‎ 则方程表示焦点在x轴上且离心率小于的椭圆的概率为 P==1﹣=，‎ 故选B．‎ ‎　‎ 二、填空题 ‎13．椭圆mx2+y2=1（m＞1）的短轴长为m，则m=　2　．‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】根据题意，将椭圆mx2+y2=1的方程变形为标准方程可得+=1，比较与1的大小可得该椭圆的焦点在y轴上，且b=，进而依据题意可得m=2，解可得m的值，即可得答案．‎ ‎【解答】解：根据题意，椭圆mx2+y2=1的方程可以变形为+=1，‎ 又由m＞1，则＜1，‎ 故该椭圆的焦点在y轴上，则b=，‎ 又由该椭圆的短轴长为m，则有m=2，‎ 解可得m=2；‎ 故答案为：2．‎ ‎　‎ ‎14．设函数f（x）=|log2x|，则f（x）在区间（m﹣2，2m）内有定义且不是单调函数的充要条件是　[2，3）　．‎ ‎【考点】充要条件；对数函数的单调性与特殊点．‎ ‎【分析】先将函数化简，则可知函数在（0，1）上单调减，再（1，+∞‎ ‎）上单调增，要使（x）在区间（m﹣2，2m）内有定义且不是单调函数，则有0≤m﹣2＜1＜2m，故可得答案．‎ ‎【解答】解：由题意，函数f（x）=|log2x|=，要使（x）在区间（m﹣2，2m）内有定义且不是单调函数，则有 ‎0≤m﹣2＜1＜2m，∴2≤m＜3，‎ 故答案为：[2，3）．‎ ‎　‎ ‎15．过椭圆C： +=1的左焦点F作倾斜角为60°的直线l与椭圆C交于A，B两点，则+=　　．‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】求得直线方程，代入椭圆方程，利用韦达定理及弦长公式即可求得丨AB丨，则|AF||BF|=•，则+==，代入即可求得答案．‎ ‎【解答】解：由椭圆C： +=1，焦点在x轴上，a2=4，b2=3，c2=a2﹣b2=1，左焦点为（﹣1，0）．‎ 则过左焦点F，倾斜角为60°直线l的方程为y=（x+1）．设A（x1，y1），B（x2，y2），‎ ‎∴，整理得：5x2+8x=0，‎ 则x1+x2=﹣，x1•x2=0，‎ 又y1y2=（x1+1）•（x2+1）=3x1x2+3（x1+x2）+3=﹣，‎ 根据弦长公式得：|AB|=•=，‎ 且|AF||BF|=•=•=‎ ‎|y1y2|=，‎ ‎∴+===，‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ ‎16．如图所示，椭圆+=1的左，右顶点分别为A，A′，线段CD是垂直于椭圆长轴的弦，连接AC，DA′相交于点P，则点P的轨迹方程为　﹣=1　．‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】设C（x0，y0），D（x0，﹣y0），求出直线AC和直线A′D的方程，将两式相乘，再利用C点坐标的关系化简得出轨迹方程．‎ ‎【解答】解：A（﹣3，0），A′（3，0），设C（x0，y0），D（x0，﹣y0），‎ ‎∴直线AC的方程为y=（x+3），直线A′D的方程为y=﹣（x﹣3），‎ 两式相乘得到y2=（x2﹣9），①，‎ ‎∵C（x0，y0）在椭圆+=1上，‎ ‎∴y02=4（1﹣），‎ ‎∴P点轨迹方程为y2=（x2﹣9），即=1．‎ 故答案为： =1．‎ ‎　‎ 三、解答题 ‎17．设圆上的点A（2，3）关于直线x+2y=0的对称点仍在圆上，且与直线x﹣y+1=0相交的弦长为2，求圆的方程．‎ ‎【考点】直线与圆的位置关系．‎ ‎【分析】设出圆的方程为（x﹣a）2+（y﹣b）2=r2，由圆上的点关于直线的对称点还在圆上得到圆心在这条直线上，设出圆心坐标，代入到x+2y=0中得到①；把A的坐标代入圆的方程得到②；由圆与直线x﹣y+1=0相交的弦长为2，利用垂径定理得到弦的一半，圆的半径，弦心距成直角三角形，利用勾股定理得到③，三者联立即可求出a、b和r的值，得到满足题意的圆方程．‎ ‎【解答】解：设所求圆的圆心为（a，b），半径为r，‎ ‎∵点A（2，3）关于直线x+2y=0的对称点A′仍在这个圆上，‎ ‎∴圆心（a，b）在直线x+2y=0上，‎ ‎∴a+2b=0，①‎ ‎（2﹣a）2+（3﹣b）2=r2．②‎ 又直线x﹣y+1=0截圆所得的弦长为2，‎ 圆心（a，b）到直线x﹣y+1=0的距离为d==，‎ 则根据垂径定理得：r2﹣（）2=（）2③‎ 解由方程①、②、③组成的方程组得：‎ 或 ‎∴所求圆的方程为（x﹣6）2+（y+3）2=52或（x﹣14）2+（y+7）2=244．‎ ‎　‎ ‎18．已知分别在下列条件下求α+2β的值：‎ ‎（1）‎ ‎（2）．‎ ‎【考点】同角三角函数基本关系的运用．‎ ‎【分析】由条件求得α、β的范围，可得α+2β的范围，再求得tanβ、tan2β、tan（α+2β）的值，从而求得α+2β的值．‎ ‎【解答】解：（1）∵，且，∴α∈（ 0，）、β∈（0，），‎ ‎∴α+2β∈（0，），且cosβ==，∴tanβ=，tan（2β）==，‎ ‎∴tan（α+2β）===1，∴α+2β=．‎ ‎（2）∵，且，∴α∈（﹣π，﹣）、β∈（0，），‎ ‎∴α+2β∈（﹣π，﹣），且cosβ==，∴tanβ=，tan（2β）==，‎ ‎∴tan（α+2β）===1，∴α+2β=﹣．‎ ‎　‎ ‎19．设p：2x2﹣x﹣1≤0，q：x2﹣（2a﹣1）x+a（a﹣1）≤0，若非q是非p的必要不充分条件，求实数a的取值范围．‎ ‎【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．‎ ‎【分析】分别化简p，q，利用非q是非p的必要不充分条件，即q是p的充分不必要条件，即可得出．‎ ‎【解答】解：由2x2﹣x﹣1≤0得．记P=．‎ 由x2﹣（2a﹣1）x+a（a﹣1）≤0得a﹣1≤x≤a．记Q=[a﹣1，a]．‎ 因为非q是非p的必要不充分条件，即q是p的充分不必要条件，‎ 得：Q是P的真子集，a﹣1≥﹣，且a≤1，得．‎ ‎　‎ ‎20．已知命题p：关于x的一元二次方程x2+2x+m=0没有实数根，命题q：函数f（x）=lg（mx2﹣x+m）的定义域为R，若p或q为真命题，p且q为假命题，求实数m的取值范围．‎ ‎【考点】复合命题的真假．‎ ‎【分析】先将命题p，q化简，然后由“p或q为真命题，p且q为假命题”得p和q一真一假，分类讨论即可．‎ ‎【解答】解：∵方程x2+2x+m=0没有实数根，‎ ‎∴△=4﹣4m＜0，解得m＞1，即命题p：m＞1，‎ ‎∵函数f（x）=lg（mx2﹣x+m）的定义域为R，‎ ‎∴mx2﹣x+m＞0对x∈R恒成立，即，解得m＞2，即命题q：m＞2，‎ 又∵若p或q为真命题，p且q为假命题，∴p和q一真一假，‎ 若p真q假，则1＜m≤2，‎ 若p假q真，则m≤1且m＞2，无解，‎ 综上，实数m的取值范围是1＜m≤2．‎ ‎　‎ ‎21．在平面直角坐标系xOy中，已知点P（1，）在椭圆C： =1（a＞b＞0）上，P到椭圆C的两个焦点的距离之和为4．‎ ‎（1）求椭圆C的方程；‎ ‎（2）若点M，N是椭圆C上的两点，且四边形POMN是平行四边形，求点M，N的坐标．‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】（1）由点P（1，）在椭圆上，P到椭圆C的两个焦点的距离之和为4，列出方程组求出a，b，由此能求出椭圆C的方程．‎ ‎（2）由题意设直线AB：y=，A（x1，y1），B（x2，y2），联立 ‎，消去y，得：3x2+3mx+m2﹣3=0，由此利用韦达定理、弦长公式、平行四边形性质，结合已知条件能求出M、N的坐标．‎ ‎【解答】解：（1）∵点P（1，）在椭圆C： =1（a＞b＞0）上，P到椭圆C的两个焦点的距离之和为4，‎ ‎∴，解得a=2，b=，‎ ‎∴椭圆C的方程为．‎ ‎（2）由题意设直线MN：y=，M（x1，y1），N（x2，y2），‎ 联立，消去y，得：3x2+3mx+m2﹣3=0，‎ ‎△＞0，，‎ ‎∵四边形POMN是平行四边形，‎ ‎∴|MN|==，解得m=±3，‎ 当m=3时，解方程：3x2+9x+6=0，得M（﹣1，），N（﹣2，0）；‎ 当m=﹣3时，解方程：3x2﹣9x+6=0，得M（1，），N（2，6）．‎ ‎　‎ ‎22．已知椭圆C的离心率为，过上顶点和左焦点的直线的倾斜角为，直线l过点E（﹣1，0）且与椭圆C交于A，B两点．‎ ‎（1）求椭圆C的标准方程；‎ ‎（2）△AOB的面积是否有最大值？若有，求出此最大值；若没有，请说明理由．‎ ‎【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．‎ ‎【分析】（1）由椭圆C的离心率为，过上顶点和左焦点的直线的倾斜角为 ‎，列出方程组，求出a，b，由此能求出椭圆C的标准方程．‎ ‎（2）设直线l的方程为x=my﹣1或y=0（舍），联立，得（m2+4）y2﹣2my﹣3=0，由此利用根的判别式、韦达定理、弦长公式、三角形面积公式、换元法、函数性质，结合已知条件能求出△AOB的面积的最大值．‎ ‎【解答】解：（1）∵椭圆C的离心率为，过上顶点和左焦点的直线的倾斜角为，‎ ‎∴，再由a2=b2+c2，解得a=2，b=1，‎ ‎∴椭圆C的标准方程为．‎ ‎（2）∵直线l过点E（﹣1，0），∴设直线l的方程为x=my﹣1或y=0（舍），‎ 联立，得（m2+4）y2﹣2my﹣3=0，‎ ‎△=4m2+12（m2+4）＞0，‎ 设A（x1，y1），B（x2，y2），其中y1＞y2，‎ 解得，，‎ ‎∴|y2﹣y1|==，‎ 则S△AOB=|OE|•|y2﹣y1|==，‎ 设t=，则g（t）=t+，t，‎ 则g（t）在区间[，+∞）上是增函数，∴g（t）≥g（）==．‎ ‎∴S△AOB≤．‎ 当且仅当m=0时，取等号，即（S△AOB）max=．‎ ‎∴△AOB的面积有最大值，最大值为．‎