数学·天津市宝坻一中2017届高三上学期开学数学试卷 Word版含解析 13页

全*品*高*考*网， 用后离不了！2016-2017学年天津市宝坻一中高三（上）开学数学试卷 ‎　‎ 一、选择题：‎ ‎1．设集合P={1，2，3，4}，Q={x|﹣2≤x≤2，x∈R}则P∩Q等于（　　）‎ A．{﹣2，﹣1，0，1，2} B．{3，4} C．{1} D．{1，2}‎ ‎2．已知﹣1，a1，a2，8成等差数列，﹣1，b1，b2，b3，﹣4成等比数列，那么的值为（　　）‎ A．﹣5 B．5 C． D．‎ ‎3．已知角α的终边经过点P（﹣4m，3m）（m≠0），则2sinα+cosα的值是（　　）‎ A．1或﹣1 B．或﹣ C．1或﹣ D．﹣1或 ‎4．命题“∀x∈[1，2]，x2﹣a≤0”为真命题的一个充分不必要条件是（　　）‎ A．a≥4 B．a≤4 C．a≥5 D．a≤5‎ ‎5．若向量=（x+1，2）和向量=（1，﹣1）平行，则|+|=（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎6．函数f（x）=，若f（a）=1，则a的值是（　　）‎ A．2 B．1 C．1或2 D．1或﹣2‎ ‎7．在△ABC 中，点D在直线AC上，且=，点E在直线BD上，且=2，若=λ1+λ2，则λ1+λ2=（　　）‎ A．0 B． C． D．‎ ‎8．定义在区间（0，+∞）上的函数f（x）使不等式2f（x）＜xf′（x）＜3f（x）恒成立，其中f′（x）为f（x）的导数，则（　　）‎ A．8＜＜16 B．4＜＜8 C．3＜＜4 D．2＜＜3‎ ‎　‎ 二、填空题：‎ ‎9．已知复数z 满足z（1﹣i）=1+i，那么z=　　．‎ ‎10．已知集合A={x|1+2x﹣3x2＞0}，B={x|2x（4x﹣1）＜0}，则A∩（∁RB）=　　．‎ ‎11．若sin（﹣α）=，则cos（+2α）的值为　　．‎ ‎12．已知数列{an}满足a1=10，an+1﹣an=2n（n∈N*），则的最小值为　　．‎ ‎13．已知f（x）=4x﹣2x+1﹣3，则f（x）＜0的解集为　　．‎ ‎14．平行四边形ABCD中，∠BAD=60°，AB=1，AD=，P为平行四边形内一点，且AP=，若=λ+μ（λ，μ∈R），则λ+μ的最大值为　　．‎ ‎　‎ 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎15．△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知3cos（B﹣C）﹣1=6cosBcosC．‎ ‎（1）求cosA；‎ ‎（2）若a=3，△ABC的面积为，求b，c．‎ ‎16．已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=n2+2n．‎ ‎（1）证明：数列{an}是等差数列，并求出数列{an}的通项公式；‎ ‎（2）求数列{}的前n项和为Tn．‎ ‎17．已知=（sinx，cosx），=（cosx，cosx），f（x）=•．‎ ‎（1）若tanx=2，求f（x） 的值；‎ ‎（2）求函数f（x）的单调递增区间．‎ ‎18．已知a＜2，函数f（x）=（x2+ax+a）ex．‎ ‎（1）当a=1时，求f（x）的单调递增区间；‎ ‎（2）若f（x）的极大值是，求a的值．‎ ‎19．数列{an}中，a1=3，an+1=2an+2．‎ ‎（I）求证：{an+2}是等比数列，并求数列{an}的通项公式；‎ ‎（II）设bn=，求Sn=b1+b2+…+bn，并证明：∀n∈N*，≤Sn＜．‎ ‎20．已知函数f（x）=x2+ax﹣lnx，a∈R．‎ ‎（Ⅰ）若a=0时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；‎ ‎（Ⅱ）若函数f（x）在[1，2]上是减函数，求实数a的取值范围；‎ ‎（Ⅲ）令g（x）=f（x）﹣x2，是否存在实数a，当x∈（0，e]（e是自然常数）时，函数g（x）的最小值是3，若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年天津市宝坻一中高三（上）开学数学试卷 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题：‎ ‎1．设集合P={1，2，3，4}，Q={x|﹣2≤x≤2，x∈R}则P∩Q等于（　　）‎ A．{﹣2，﹣1，0，1，2} B．{3，4} C．{1} D．{1，2}‎ ‎【考点】交集及其运算．‎ ‎【分析】根据题意，由交集的定义，分析集合P、Q的公共元素，即可得答案．‎ ‎【解答】解：根据题意，P={1，2，3，4}，Q={x|﹣2≤x≤2，x∈R}，‎ P、Q的公共元素为1、2，‎ P∩Q={1，2}，‎ 故选D．‎ ‎　‎ ‎2．已知﹣1，a1，a2，8成等差数列，﹣1，b1，b2，b3，﹣4成等比数列，那么的值为（　　）‎ A．﹣5 B．5 C． D．‎ ‎【考点】等比数列的性质；等差数列的性质．‎ ‎【分析】由﹣1，a1，a2，8成等差数列，利用等差数列的性质列出关于a1与a2的两个关系式，联立组成方程组，求出方程组的解得到a1与a2的值，再由﹣1，b1，b2，b3，﹣4成等比数列，利用等比数列的性质求出b12=4，再根据等比数列的性质得到b12=﹣b2＞0，可得出b2小于0，开方求出b2的值，把a1，a2及b2的值代入所求式子中，化简即可求出值．‎ ‎【解答】解：∵﹣1，a1，a2，8成等差数列，‎ ‎∴2a1=﹣1+a2①，2a2=a1+8②，‎ 由②得：a1=2a2﹣8，‎ 代入①得：2（2a2﹣8）=﹣1+a2，‎ 解得：a2=5，‎ ‎∴a1=2a2﹣8=10﹣8=2，‎ 又﹣1，b1，b2，b3，﹣4成等比数列，‎ ‎∴b12=﹣b2＞0，即b2＜0，‎ ‎∴b22=（﹣1）×（﹣4）=4，‎ 开方得：b2=﹣2，‎ 则==﹣5．‎ 故选A ‎　‎ ‎3．已知角α的终边经过点P（﹣4m，3m）（m≠0），则2sinα+cosα的值是（　　）‎ A．1或﹣1 B．或﹣ C．1或﹣ D．﹣1或 ‎【考点】任意角的三角函数的定义．‎ ‎【分析】求出OP的距离r，对m＞0，m＜0，分别按照题意角的三角函数的定义，求出sinα和cosα的值，然后再求2sinα+cosα的值，可得结果．‎ ‎【解答】解：，‎ 当m＞0时，，；‎ 当m＜0时，，．‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎4．命题“∀x∈[1，2]，x2﹣a≤0”为真命题的一个充分不必要条件是（　　）‎ A．a≥4 B．a≤4 C．a≥5 D．a≤5‎ ‎【考点】命题的真假判断与应用．‎ ‎【分析】本题先要找出命题为真命题的充要条件{a|a≥4}，从集合的角度充分不必要条件应为{a|a≥4}的真子集，由选择项不难得出答案．‎ ‎【解答】解：命题“∀x∈[1，2]，x2﹣a≤0”为真命题，可化为∀x∈[1，2]，a≥x2，恒成立 即只需a≥（x2）max=4，即“∀x∈[1，2]，x2﹣a≤0”为真命题的充要条件为a≥4，‎ 而要找的一个充分不必要条件即为集合{a|a≥4}的真子集，由选择项可知C符合题意．‎ 故选C ‎　‎ ‎5．若向量=（x+1，2）和向量=（1，﹣1）平行，则|+|=（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；平面向量共线（平行）的坐标表示．‎ ‎【分析】利用向量共线定理和数量积的性质即可得出．‎ ‎【解答】解：∵向量=（x+1，2）和向量=（1，﹣1）平行，‎ ‎∴﹣（x+1）﹣2=0，解得x=﹣3．‎ ‎∴=（﹣2，2）+（1，﹣1）=（﹣1，1）．‎ ‎∴=．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎6．函数f（x）=，若f（a）=1，则a的值是（　　）‎ A．2 B．1 C．1或2 D．1或﹣2‎ ‎【考点】函数的零点；函数的值．‎ ‎【分析】根据分段函数，直接解方程即可得到结论．‎ ‎【解答】解：若a＜2，则由f（a）=1得，3a﹣2=1，即a﹣2=0，‎ ‎∴a=2．此时不成立．‎ 若a≥2，则由f（a）=1得，log=1，‎ 得a2﹣1=3，‎ 即a2=4，‎ ‎∴a=2，‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎7．在△ABC 中，点D在直线AC上，且=，点E在直线BD上，且=2，若=λ1+λ2，则λ1+λ2=（　　）‎ A．0 B． C． D．‎ ‎【考点】平面向量的基本定理及其意义．‎ ‎【分析】根据三角形法则表示出与，将代入表示出，确定出λ1与λ2的值，即可求出所求式子的值．‎ ‎【解答】解：由三角形法则得： =﹣=+，‎ ‎∵=+=+==（﹣）=（+）= [﹣+（﹣）]=﹣，‎ ‎∴=﹣+=﹣，‎ ‎∴λ1+λ2=1﹣=，‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎8．定义在区间（0，+∞）上的函数f（x）使不等式2f（x）＜xf′（x）＜3f（x）恒成立，其中f′（x）为f（x）的导数，则（　　）‎ A．8＜＜16 B．4＜＜8 C．3＜＜4 D．2＜＜3‎ ‎【考点】利用导数研究函数的单调性．‎ ‎【分析】令g（x）=g（x）=，h（x）=，求出g（x），h（x）的导数，得到函数g（x），h（x）的单调性，可得g（2）＜g（1），h（2）＞h（1），由f（1）＞0，即可得到4＜＜8．‎ ‎【解答】解：令g（x）=，‎ 则g′（x）==，‎ ‎∵xf′（x）＜3f（x），即xf′（x）﹣3f（x）＜0，‎ ‎∴g′（x）＜0在（0，+∞）恒成立，‎ 即有g（x）在（0，+∞）递减，可得 g（2）＜g（1），即＜，‎ 由2f（x）＜3f（x），可得f（x）＞0，则＜8；‎ 令h（x）=，h′（x）==，‎ ‎∵xf′（x）＞2f（x），即xf′（x）﹣2f（x）＞0，‎ ‎∴h′（x）＞0在（0，+∞）恒成立，‎ 即有h（x）在（0，+∞）递增，可得 h（2）＞h（1），即＞f（1），则＞4．‎ 即有4＜＜8．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ 二、填空题：‎ ‎9．已知复数z 满足z（1﹣i）=1+i，那么z=　i　．‎ ‎【考点】复数代数形式的乘除运算．‎ ‎【分析】把已知等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．‎ ‎【解答】解：∵z（1﹣i）=1+i，‎ ‎∴，‎ 故答案为：i．‎ ‎　‎ ‎10．已知集合A={x|1+2x﹣3x2＞0}，B={x|2x（4x﹣1）＜0}，则A∩（∁RB）=　　．‎ ‎【考点】交、并、补集的混合运算．‎ ‎【分析】分别求出A与B中不等式的解集，确定出A与B，根据全集R求出B的补集，找出A与B补集的交集即可．‎ ‎【解答】解：1+2x﹣3x2＞0等价于（3x+1）（x﹣1）＜0解的﹣＜x＜1，‎ 即A=（﹣，1），‎ ‎2x（4x﹣1）＜0解的0＜x＜，‎ 即B=（0，），‎ ‎∴∁RB=（﹣∞，0]∪[，+∞），‎ ‎∴A∩（∁RB）=，‎ 故答案为：‎ ‎　‎ ‎11．若sin（﹣α）=，则cos（+2α）的值为　　．‎ ‎【考点】二倍角的余弦；角的变换、收缩变换．‎ ‎【分析】利用二倍角的余弦公式把要求的式子化为2﹣1，再利用诱导公式化为2﹣1，将条件代入运算求得结果．‎ ‎【解答】解：∵=cos2（+α）=2﹣1=2﹣1 ‎ ‎=2×﹣1=，‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ ‎12．已知数列{an}满足a1=10，an+1﹣an=2n（n∈N*），则的最小值为　　．‎ ‎【考点】数列递推式．‎ ‎【分析】利用“累加求和”方法可得an，利用导数研究函数的单调性即可得出．‎ ‎【解答】解：∵a1=10，an+1﹣an=2n（n∈N*），‎ ‎∴an=（an﹣an﹣1）++…+（a2﹣a1）+a1‎ ‎=2（n﹣1）+2（n﹣2）+…+2+10‎ ‎=2×+10‎ ‎=n（n﹣1）+10．‎ ‎∴=n﹣1+，‎ 考察函数f（x）=x+﹣1的单调性，‎ f′（x）=1﹣=，‎ ‎∴函数f（x）在上单调递减，在上单调递增．‎ 又f（3）=2+=，f（4）=3+=，‎ 可知：当n=3时，f（n）取得最小值．‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ ‎13．已知f（x）=4x﹣2x+1﹣3，则f（x）＜0的解集为　{x|x＜log23}　．‎ ‎【考点】二次函数的性质．‎ ‎【分析】因式分解，即可得出f（x）＜0的解集．‎ ‎【解答】解：由题意，4x﹣2x+1﹣3＜0，‎ ‎∴（2x﹣3）（2x+1）＜0，‎ ‎∴2x＜3，‎ ‎∴x＜log23，‎ ‎∴f（x）＜0的解集为{x|x＜log23}．‎ 故答案为：{x|x＜log23}．‎ ‎　‎ ‎14．平行四边形ABCD中，∠BAD=60°，AB=1，AD=，P为平行四边形内一点，且AP=，若=λ+μ（λ，μ∈R），则λ+μ的最大值为　　．‎ ‎【考点】平面向量的基本定理及其意义．‎ ‎【分析】利用数量积定义及其运算性质、不等式的性质即可得出．‎ ‎【解答】解： =λ+μ 丨丨2=（λ+μ）2，‎ ‎=λ2丨丨2+μ2丨丨2+2λμ••，‎ ‎=λ2丨丨2+μ2丨丨2+2λμ•丨丨•丨丨cos∠BAD，‎ 由∠BAD=60°，AB=1，AD=，AP=，‎ ‎∴=λ2+2μ2+λμ×，‎ ‎∴（λ+μ）2=+λμ≤+（）2，‎ λ+μ≤，‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎15．△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知3cos（B﹣C）﹣1=6cosBcosC．‎ ‎（1）求cosA；‎ ‎（2）若a=3，△ABC的面积为，求b，c．‎ ‎【考点】余弦定理；诱导公式的作用；两角和与差的余弦函数；正弦定理．‎ ‎【分析】（1）利用两角和与差的余弦函数公式化简已知等式左边的第一项，移项合并后再利用两角和与差的余弦函数公式得出cos（B+C）的值，将cosA用三角形的内角和定理及诱导公式变形后，将cos（B+C）的值代入即可求出cosA的值；‎ ‎（2）由cosA的值及A为三角形的内角，利用同角三角函数间的基本关系求出sinA的值，利用三角形的面积公式表示出三角形ABC的面积，将已知的面积及sinA的值代入，得出bc=6，记作①，再由a及cosA的值，利用余弦定理列出关于b与c的关系式，记作②，联立①②即可求出b与c的值．‎ ‎【解答】解：（1）3cos（B﹣C）﹣1=6cosBcosC，‎ 化简得：3（cosBcosC+sinBsinC）﹣1=6cosBcosC，‎ 变形得：3（cosBcosC﹣sinBsinC）=﹣1，‎ 即cos（B+C）=﹣，‎ 则cosA=﹣cos（B+C）=；‎ ‎（2）∵A为三角形的内角，cosA=，‎ ‎∴sinA==，‎ 又S△ABC=2，即bcsinA=2，解得：bc=6①，‎ 又a=3，cosA=，‎ ‎∴由余弦定理a2=b2+c2﹣2bccosA得：b2+c2=13②，‎ 联立①②解得：或．‎ ‎　‎ ‎16．已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=n2+2n．‎ ‎（1）证明：数列{an}是等差数列，并求出数列{an}的通项公式；‎ ‎（2）求数列{}的前n项和为Tn．‎ ‎【考点】数列的求和；等差数列的通项公式．‎ ‎【分析】（1）由a1=S1，n＞1时，an=Sn﹣Sn﹣1，结合等差数列的定义和通项公式即可得到；‎ ‎（2）求得=（﹣），运用数列的求和方法：裂项相消求和，化简整理，即可得到所求和．‎ ‎【解答】（1）证明：Sn=n2+2n，‎ 可得a1=S1=3，‎ n＞1时，an=Sn﹣Sn﹣1=n2+2n﹣（n﹣1）2﹣（n﹣1）=2n+1．‎ 综上可得an=2n+1（n∈N*），‎ 即an﹣an﹣1=2，‎ 则数列{an}是首项为3和公差为2的等差数列，‎ 数列{an}的通项公式an=2n+1；‎ ‎（2）解： ==（﹣），‎ 即有前n项和为Tn=（﹣+﹣+﹣+…+﹣）‎ ‎=（﹣）=．‎ ‎　‎ ‎17．已知=（sinx，cosx），=（cosx，cosx），f（x）=•．‎ ‎（1）若tanx=2，求f（x） 的值；‎ ‎（2）求函数f（x）的单调递增区间．‎ ‎【考点】平面向量数量积的运算；正弦函数的单调性．‎ ‎【分析】（1）先根据向量的坐标的数量积公式得到f（x），再根据同角的三角形函数的关系即可求出答案，‎ ‎（2）根据二倍角公式和两角和的正弦公式得到f（x）=sin（2x+）﹣，再根据正弦函数的性质即可求出单调增区间 ‎【解答】解：（1）∵=（sinx，cosx），=（cosx，cosx），‎ ‎∴f（x）=•=sinxcosx+cos2x====；‎ ‎（2）f（x）=•=sinxcosx+cos2x=sin2x+cos2x﹣=sin（2x+）﹣，‎ ‎∴﹣+2kπ≤2x+≤+2kπ，k∈Z，‎ ‎∴﹣+kπ≤x≤+kπ，k∈Z，‎ ‎∴函数f（x）的单调递增区间为[﹣+kπ， +kπ]，k∈Z ‎　‎ ‎18．已知a＜2，函数f（x）=（x2+ax+a）ex．‎ ‎（1）当a=1时，求f（x）的单调递增区间；‎ ‎（2）若f（x）的极大值是，求a的值．‎ ‎【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．‎ ‎【分析】（1）当a=1时，f′（x）=（x2+3x+2）ex，由此利用导数性质能求出f（x）的单调递增区间．‎ ‎（2）f′（x）=[x2+（a+2）x+2a]ex，由f′（x）=0，得x=﹣2，或x=﹣a，列表讨论，能求出a的值．‎ ‎【解答】解：（1）当a=1时，f（x）=（x2+x+1）ex，‎ ‎∴f′（x）=（x2+3x+2）ex，‎ 由f′（x）≥0，得x≤﹣2，或x≥﹣1，‎ ‎∴f（x）的增区间为（﹣∞，﹣2]，[﹣1，+∞）．‎ ‎（2）f′（x）=[x2+（a+2）x+2a]ex，‎ 由f′（x）=0，得x=﹣2，或x=﹣a，‎ 列表讨论，得：‎ ‎ x ‎ （﹣∞，﹣2）‎ ‎﹣2‎ ‎ （﹣2，﹣a）‎ ‎﹣a ‎（﹣a，+∞） ‎ ‎ f′（x）‎ ‎+‎ ‎ 0‎ ‎﹣‎ ‎ 0‎ ‎+‎ ‎ f（x）‎ ‎↑‎ ‎ 极大值 ‎↓‎ ‎ 极小值 ‎↑‎ ‎∴x=﹣2时，f（x）取得极大值，‎ 又f（﹣2）=（4﹣a）•e﹣2，f（x）的极大值是6•e﹣2，‎ ‎∴（4﹣a）•e﹣2=6•e﹣2，解得a=﹣2．‎ ‎∴a的值为﹣2．‎ ‎　‎ ‎19．数列{an}中，a1=3，an+1=2an+2．‎ ‎（I）求证：{an+2}是等比数列，并求数列{an}的通项公式；‎ ‎（II）设bn=，求Sn=b1+b2+…+bn，并证明：∀n∈N*，≤Sn＜．‎ ‎【考点】数列的求和；等比关系的确定．‎ ‎【分析】（Ⅰ）把原数列递推式变形，可得{an+2}是等比数列，求出其通项公式后可求数列{an}的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）把数列{an}的通项公式代入，整理后利用错位相减法求Sn=b1+b2+…+bn，然后放缩得答案．‎ ‎【解答】（Ⅰ）证明：由an+1=2an+2，得an+1+2=2（an+2），‎ ‎∵a1+2=5≠0，∴，‎ ‎∴{an+2}是首项为5，公比为2的等比数列，‎ 则，‎ ‎∴；‎ ‎（Ⅱ）解：，‎ ‎∴﹣﹣﹣﹣﹣﹣①‎ ‎﹣﹣﹣﹣﹣﹣②‎ ‎①﹣②得：．‎ ‎∴；‎ ‎∵，‎ ‎∴{Sn}单调递增，则，‎ ‎∴．‎ ‎　‎ ‎20．已知函数f（x）=x2+ax﹣lnx，a∈R．‎ ‎（Ⅰ）若a=0时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；‎ ‎（Ⅱ）若函数f（x）在[1，2]上是减函数，求实数a的取值范围；‎ ‎（Ⅲ）令g（x）=f（x）﹣x2，是否存在实数a，当x∈（0，e]（e是自然常数）时，函数g（x）的最小值是3，若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．‎ ‎【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．‎ ‎【分析】（I）欲求在点（1，f（1））处的切线方程，只须求出其斜率的值即可，故先利用导数求出在x=1处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．从而问题解决．‎ ‎（II）先对函数f（x）进行求导，根据函数f（x）在[1，2]上是减函数可得到其导函数在[1，2]上小于等于0应该恒成立，再结合二次函数的性质可求得a的范围．‎ ‎（III）先假设存在，然后对函数g（x）进行求导，再对a的值分情况讨论函数g（x）在（0，e]上的单调性和最小值取得，可知当a=e2能够保证当x∈（0，e]时g（x）有最小值3．‎ ‎【解答】解：（I）a=0时，曲线y=f（x）=x2﹣lnx，‎ ‎∴f′（x）=2x﹣，∴g′（1）=1，又f（1）=1‎ 曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程x﹣y=0．‎ ‎（II）在[1，2]上恒成立，‎ 令h（x）=2x2+ax﹣1，有得，‎ 得 ‎ ‎（II）假设存在实数a，使g（x）=ax﹣lnx（x∈（0，e]）有最小值3， =‎ ‎①当a≤0时，g（x）在（0，e]上单调递减，g（x）min=g（e）=ae﹣1=3，（舍去），‎ ‎②当时，g（x）在上单调递减，在上单调递增 ‎∴，a=e2，满足条件．‎ ‎③当时，g（x）在（0，e]上单调递减，g（x）min=g（e）=ae﹣1=3，（舍去），‎ 综上，存在实数a=e2，使得当x∈（0，e]时g（x）有最小值3．‎ ‎　‎ ‎2016年11月8日