高二数学人教A版选修4-5教案：第四讲数学归纳法证明不等式复习x 8页

第四讲数学归纳法证明不等式复习 一、复习目标 掌握数学归纳法证明问题的基本思路 二、课时安排 ‎1课时 三、复习重难点 掌握数学归纳法证明问题的基本思路 四、教学过程 ‎（一）知识梳理 ‎（二）题型、方法归纳 归纳递推要用好归纳假设 不等式证明中的强化命题 从特殊到一般的数学思想方法 ‎（三）典例精讲 题型一、归纳递推要用好归纳假设 数学归纳法中两步缺一不可，第一步归纳奠基，第二步起到递推传递作用．在第二步的证明中，首先进行归纳假设，而且必须应用归纳假设(n＝k时命题成立)，推出n＝k＋1时，命题成立．‎ 例1　用数学归纳法证明：对于n∈N＋，‎ ＋＋＋…＋＝.‎ ‎【规范解答】　(1)当n＝1时，左边＝＝，右边＝，所以等式成立．‎ ‎(2)假设n＝k时等式成立，即 ＋＋＋…＋＝，‎ 当n＝k＋1时，‎ ＋＋＋…＋＋＝＋＝＝，‎ 所以当n＝k＋1时，等式也成立．‎ 由(1)(2)可知对于任意的自然数n，等式都成立．‎ ‎[再练一题]‎ ‎1．数列的前n项的和记为Sn.‎ ‎(1)求出S1，S2，S3的值；‎ ‎(2)猜想出Sn的表达式；‎ ‎(3)用数学归纳法证明你的猜想．‎ ‎【解】　(1)S1＝，S2＝，S3＝.‎ ‎(2)猜想：Sn＝.‎ ‎(3)证明：①当n＝1时S1＝a1＝，右边＝.等式成立．‎ ‎②假设当n＝k时，Sk＝，‎ 则当n＝k＋1时，Sk＋1＝Sk＋ak＋1＝＋＝＝，‎ 即当n＝k＋1时，等式成立，‎ ‎∴Sn＝.‎ 题型二、不等式证明中的强化命题 如果c为常数，用数学归纳法证明f(n)2(n＋1)n.‎ 故＋＋…＋<＋＋＋…＋‎ ‎＝＋ ‎＝＋<＋＝.‎ 综上，原不等式成立.‎ ‎（四）归纳小结 归纳递推要用好归纳假设 不等式证明中的强化命题 从特殊到一般的数学思想方法 ‎（五）随堂检测 ‎1．用数学归纳法证不等式：1＋＋＋…＋＞成立，起始值至少取(　　)‎ A．7　　　 B．8‎ C．9　　　 D．10‎ ‎【解析】　左边等比数列求和Sn＝ ‎＝2[1－()n]＞，‎ 即1－()n＞，()n＜.‎ ‎∴()n＜()7.‎ ‎∴n＞7，∴n取8，选B.‎ ‎【答案】　B ‎2．用数学归纳法证明2n≥n2(n≥5，n∈N＋)成立时第二步归纳假设的正确写法是(　　)‎ A．假设n＝k时命题成立 B．假设n＝k(k∈N＋)时命题成立 C．假设n＝k(k≥5)时命题成立 D．假设n＝k(k>5)时命题成立 ‎【解析】　由题意知n≥5，n∈N＋，‎ 故应假设n＝k(k≥5)时命题成立．‎ ‎【答案】　C ‎3．设n∈N＋，则2n与n的大小关系是(　　)‎ A．2n>n B．2nn，即2n>n.‎ ‎【答案】　A ‎4．设fn(x)是等比数列1，x，x2，…，xn的各项和，其中x>0，n∈N，n≥2.‎ ‎(1)证明：函数Fn(x)＝fn(x)－2在内有且仅有一个零点(记为xn)，且xn＝＋x；‎ ‎(2)设有一个与上述等比数列的首项、末项、项数分别相同的等差数列，其各项和为 gn(x)，比较fn(x)和gn(x)的大小，并加以证明．‎ ‎【解】　(1)证明：Fn(x)＝fn(x)－2＝1＋x＋x2＋…＋xn－2，‎ 则Fn(1)＝n－1>0，‎ Fn＝1＋＋＋…＋－2‎ ‎＝－2＝－<0，‎ 所以Fn(x)在内至少存在一个零点．‎ 又Fn′(x)＝1＋2x＋…＋nxn－1>0，故Fn(x)在内单调递增，所以Fn(x)在内有且仅有一个零点xn.‎ 因为xn是Fn(x)的零点，所以Fn(xn)＝0，‎ 即－2＝0，故xn＝＋x.‎ ‎(2)法一：由题设，gn(x)＝.‎ 设h(x)＝fn(x)－gn(x)＝1＋x＋x2＋…＋xn－，x>0.‎ 当x＝1时，fn(x)＝gn(x)．‎ 当x≠1时，h′(x)＝1＋2x＋…＋nxn－1－.‎ 若0xn－1＋2xn－1＋…＋nxn－1－·xn－1＝xn－1－xn－1＝0.‎ 若x>1，h′(x)0.‎ 当x＝1时，fn(x)＝gn(x)．‎ 当x≠1时，用数学归纳法可以证明fn(x)0)，‎ 则hk′(x)＝k(k＋1)xk－k(k＋1)xk－1＝k(k＋1)xk－1(x－1)．‎ 所以当01时，h′k(x)>0，hk(x)在(1，＋∞)上递增．‎ 所以hk(x)>hk(1)＝0，‎ 从而gk＋1(x)> .‎ 故fk＋1(x)