高中数学选修2-2教学课件第三章 章末复习课 35页

章末复习课 第三章　导数应用 内容 索引 01 02 理 网络 明结构 探 题型 提 能力 03 04 当堂测 查疑缺 理网络 · 明结构 探题型 · 提能力 题型一　分类讨论思想在导数中的应用 例 1 　 设函数 f ( x ) ＝ 2 x 3 － 3( a － 1) x 2 ＋ 1 ，其中 a ≥ 1. (1) 求 f ( x ) 的单调区间 ； 解　 由已知得 f ′ ( x ) ＝ 6 x [ x － ( a － 1)] ， 令 f ′ ( x ) ＝ 0 ，解得 x 1 ＝ 0 ， x 2 ＝ a － 1. 当 a ＝ 1 时， f ′ ( x ) ＝ 6 x 2 ， f ( x ) 在 ( － ∞ ，＋ ∞ ) 上单调递增 . 当 a >1 时， f ′ ( x ) ， f ( x ) 随 x 的变化情况如下表： x ( － ∞ ， 0) 0 (0 ， a － 1) a － 1 ( a － 1 ，＋ ∞ ) f ′ ( x ) ＋ 0 － 0 ＋ f ( x ) ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ 从上表可知，函数 f ( x ) 在 ( － ∞ ， 0) ， ( a － 1 ，＋ ∞ ) 上单调递增，在 (0 ， a － 1) 上单调递减 . (2) 讨论 f ( x ) 的极值 . 解　 由 (1) 知，当 a ＝ 1 时，函数 f ( x ) 没有极值； 当 a >1 时，函数 f ( x ) 在 x ＝ 0 处取得极大值 1 ， 在 x ＝ a － 1 处取得极小值 1 － ( a － 1) 3 . 反思与感悟　 分类讨论是一种逻辑方法，也是一种数学思想，其实质是 “ 化整为零，各个击破，再积零为整 ”. 通过分类讨论，可以把一个变幻不定的问题分解成若干个相对确定的问题，从而使问题变得条理清晰，层次分明，易于解决 . 分类讨论思想在本章中主要体现在问题中含有参数或问题是分类给出的题型中 . 例如，单调性的判断、求极值、求最大 ( 小 ) 值等问题往往要用到分类讨论 . 跟踪训练 1 　 设函数 f ( x ) 是定义在 [ － 1,0) ∪ (0,1] 上的偶函数，当 x ∈ [ － 1,0) 时， f ( x ) ＝ x 3 － ax ( a 为实数 ). (1) 当 x ∈ (0,1] 时，求 f ( x ) 的解析式 ； 解　 设 x ∈ (0,1] ，则－ x ∈ [ － 1,0). ∵ f ( x ) 为偶函数， ∴ f ( x ) ＝ f ( － x ) ＝－ x 3 ＋ ax ， 即 x ∈ (0,1] 时， f ( x ) ＝－ x 3 ＋ ax . (2) 若 a >3 ，试判断 f ( x ) 在 (0,1] 上的单调性，并证明你的结论 ； 解　 f ( x ) 在 (0,1] 上单调递增，证明如下： f ′ ( x ) ＝－ 3 x 2 ＋ a ， x ∈ (0,1] ， ∴ － 3 x 2 ∈ [ － 3,0). 又 a >3 ， ∴ a － 3 x 2 >0 ，即 f ′ ( x )>0. ∴ f ( x ) 在 (0,1] 上单调递增 . (3) 是否存在 a ，使得 x ∈ (0,1] 时， f ( x ) 有最大值 1 ? 解　 当 a >3 时， f ( x ) 在 (0,1] 上单调递增， ∴ f ( x ) max ＝ f (1) ＝ a － 1 ＝ 1. ∴ a ＝ 2 与 a >3 矛盾 . 当 0 ≤ a ≤ 3 时，令 f ′ ( x ) ＝ a － 3 x 2 ＝ 0 ， 当 a <0 时， f ′ ( x ) ＝ a － 3 x 2 <0 ， ∴ f ( x ) 在 (0,1] 上单调递减， f ( x ) 在 (0,1] 上无最大值 . 题型二　转化与化归思想在导数中的应用 例 2 　 设 f ( x ) ＝ ， 其中 a 为正实数 . (1) 当 a ＝ 时 ，求 f ( x ) 的极值点 ； 综合 ① ，可知 (2) 若 f ( x ) 为 R 上的单调函数，求 a 的取值范围 . 解　 若 f ( x ) 为 R 上的单调函数 ， 则 f ′ ( x ) 在 R 上不变号 ， 结合 ① 与条件 a >0 ， 知 ax 2 － 2 ax ＋ 1 ≥ 0 在 R 上恒成立， 因此 Δ ＝ 4 a 2 － 4 a ＝ 4 a ( a － 1) ≤ 0 ，由此并结合 a >0 ， 知 0< a ≤ 1 . 反思与感悟　 转化与化归思想就是在处理繁杂问题时通过转化，归结为易解决的问题，本题中将函数性质的讨论归结到二次不等式的解 . 跟踪训练 2 　如果函数 f ( x ) ＝ 2 x 2 － ln x 在定义域内的一个子区间 ( k － 1 ， k ＋ 1) 上不是单调函数，则实数 k 的取值范围是 ________. 解析　 显然函数 f ( x ) 的定义域为 (0 ，＋ ∞ ) ， 由于函数在区间 ( k － 1 ， k ＋ 1) 上不是单调函数， 题型三　数形结合思想在导数中的应用 例 3 　 求函数 f ( x ) ＝ x 3 － 3 ax ＋ 2 的极值，并说明方程 x 3 － 3 ax ＋ 2 ＝ 0 何时有三个不同的实根？何时有唯一的实根 ( 其中 a >0)? 解　 函数的定义域为 R ，其导函数为 f ′ ( x ) ＝ 3 x 2 － 3 a . f ′ ( x ) ＋ 0 － 0 ＋ f ( x ) ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ 根据列表讨论，可作函数的草图 ( 如图 ). 即 a >1 时，方程 x 3 － 3 ax ＋ 2 ＝ 0 有三个不同的实根； 即 0< a <1 时，方程 x 3 － 3 ax ＋ 2 ＝ 0 有唯一的实根 . 反思与感悟　 通过学习利用导数研究函数的极值与最值，结合以前所掌握的研究函数的奇偶性与单调性的方法，给定一个函数，其图像的大致轮廓就能清晰地呈现在我们面前 . 一些数学问题便能顺利解决 . 方程根的个数或者说函数零点的个数问题即是数形结合思想在导数中的一个具体的应用 . 跟踪训练 3 　已知 f ( x ) ＝ ax 3 ＋ bx 2 ＋ x ( a 、 b ∈ R 且 ab ≠ 0) 的图像如图所示，若 | x 1 |>| x 2 | ，则有 ( 　　 ) A. a >0 ， b >0 B. a <0 ， b <0 C. a <0 ， b >0 D. a >0 ， b <0 解析　 由 f ( x ) 的图像易知 f ( x ) 有两个极值点 x 1 、 x 2 ，且 x ＝ x 1 时有极小值， ∴ f ′ ( x ) ＝ 3 ax 2 ＋ 2 bx ＋ 1 的图像如图所示， ∴ a <0. 又 | x 1 |>| x 2 | ， ∴ － x 1 > x 2 ， ∴ x 1 ＋ x 2 <0 ， ∴ b <0. 答案　 B 1 2 3 4 1. 当 a 取下列哪个值时，函数 f ( x ) ＝ 2 x 3 － 9 x 2 ＋ 12 x － a 恰好有两个不同的零点 ( 　　 ) A.8 B.6 C.4 D.2 解析　 f ′ ( x ) ＝ 6 x 2 － 18 x ＋ 12 ＝ 6( x － 1)( x － 2) ， 知 可能的极值点为 x ＝ 1 ， x ＝ 2 ， 且 f (1) ＝ 5 － a ， f (2) ＝ 4 － a ， 可见 当 a ＝ 4 时，函数 f ( x ) 恰好有两个零点 . C 当堂测 · 查 疑缺 2. 设函数 f ( x ) ＝ ax 2 ＋ bx ＋ c ( a ， b ， c ∈ R ) ，若 x ＝－ 1 为函数 f ( x )e x 的一个极值点，则下列图像不可能为 y ＝ f ( x ) 的图像的是 ( 　　 ) 1 2 3 4 解析　 设 h ( x ) ＝ f ( x )e x ， 则 h ′ ( x ) ＝ (2 ax ＋ b )e x ＋ ( ax 2 ＋ bx ＋ c )e x ＝ ( ax 2 ＋ 2 ax ＋ bx ＋ b ＋ c )e x . 由 x ＝－ 1 为函数 f ( x )e x 的一个极值点， 得当 x ＝－ 1 时， ax 2 ＋ 2 ax ＋ bx ＋ b ＋ c ＝ c － a ＝ 0 ， ∴ c ＝ a . 1 2 3 4 ∴ f ( x ) ＝ ax 2 ＋ bx ＋ a . 若 方程 ax 2 ＋ bx ＋ a ＝ 0 有两根 x 1 ， x 2 ， 1 2 3 4 则 x 1 x 2 ＝ ＝ 1 ， D 中图像一定不满足该条件 . 答案　 D 3. 函数 f ( x ) 的定义域为 R ， f ( － 1) ＝ 2 ，对任意 x ∈ R ， f ′ ( x )>2 ，则 f ( x )>2 x ＋ 4 的解集为 ( 　　 ) A.( － 1,1) B .( － 1 ，＋ ∞ ) C.( － ∞ ，－ 1) D .( － ∞ ，＋ ∞ ) 解析　 设 m ( x ) ＝ f ( x ) － (2 x ＋ 4) ， 则 m ′ ( x ) ＝ f ′ ( x ) － 2>0 ， ∴ m ( x ) 在 R 上是增函数 . 1 2 3 4 ∵ m ( － 1) ＝ f ( － 1) － ( － 2 ＋ 4) ＝ 0 ， ∴ m ( x )>0 的解集为 { x | x > － 1} ， 即 f ( x )>2 x ＋ 4 的解集为 ( － 1 ，＋ ∞ ). 答案　 B 1 2 3 4 4. 设函数 f ( x ) ＝ kx 3 － 3 x 2 ＋ 1( k ≥ 0). (1) 求函数 f ( x ) 的单调区间 ； 解　 当 k ＝ 0 时， f ( x ) ＝－ 3 x 2 ＋ 1 ， ∴ f ( x ) 的单调增区间为 ( － ∞ ， 0] ，单调减区间为 [0 ，＋ ∞ ). 1 2 3 4 (2) 若函数 f ( x ) 的极小值大于 0 ，求 k 的取值范围 . 解　 当 k ＝ 0 时，函数 f ( x ) 不存在极小值 ； 1 2 3 4 即 k 2 >4 ，由条件 k >0 ，得 k 的取值范围为 (2 ，＋ ∞ ). 呈 重点、现 规律 利用导数来讨论含参数的函数的性质，要对参数进行分类讨论；已知函数的性质求参数范围，可转化为导数满足的条件进行求解；实际应用题及一些不等式问题可构造函数解决；函数性质的讨论还要和图形结合起来 . 更多精彩内容请 登录 http ://www.91taoke.com 谢谢观看