2018-2019学年福建省福州市长乐高中、城关中学、文笔中学高二上学期期末联考数学（理）试题（解析版） 15页

‎2018-2019学年福建省福州市长乐高中、城关中学、文笔中学高二上学期期末联考数学（理）试题 一、单选题 ‎1．如果，则下列不等式成立的是（）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据a、b的范围，取特殊值带入判断即可．‎ ‎【详解】‎ 解：∵a＜b＜0，‎ 不妨令a＝﹣2，b＝﹣1，‎ 显然A、B、C不成立，D成立，‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了不等式的性质，考查特殊值法的应用，是一道基础题．‎ ‎2．“”是“”成立的（ ）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【答案】B ‎【解析】由 ，解得 ，所以“”是“”成立的必要不充分条件.故选B.‎ ‎3．抛物线y2= 2x的准线方程是（ ）‎ A．y= B．y=－ C．x= D．x=－‎ ‎【答案】D ‎【解析】试题分析：由题意所以其准线方程为 ‎【考点】抛物线的标准方程.‎ ‎4．空间四边形 OABC中，=( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】由题意，根据向量的加法、减法法则，把进行化简即可得到答案.‎ ‎【详解】‎ 解：根据向量的加法、减法法则，得 ‎．‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】‎ 本题考点是空间向量的加减法，解题的关键是根据向量的加法、减法法则进行化简，属于基础题．‎ ‎5．命题“a ,b 都是偶数，则 a 与 b 的和是偶数”的逆否命题是（ ）‎ A．a 与 b 的和是偶数，则 a, b 都是偶数 B．a 与 b 的和不是偶数，则 a, b 都不是偶数 C．a, b 不都是偶数，则 a 与 b 的和不是偶数 D．a 与 b 的和不是偶数，则 a, b 不都是偶数 ‎【答案】D ‎【解析】根据原命题和它的逆否命题的概念即可找出原命题的逆否命题．‎ ‎【详解】‎ 原命题的逆否命题为：‎ a与b的和不是偶数，则a，b不都是偶数．‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查四种命题，关键在于明确四种命题之间的相互转化，属于简单题．‎ ‎6．等差数列的前项和为，且，则公差等于（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】由题意，得，则，又因为，所以公差为 ‎；故选A.‎ 点睛：在处理等差数列的前项和时，灵活利用等差数列的常见性质进行处理，可减少计算量，通过解题速度，如：若 ，则.‎ ‎7．双曲线的焦点到其渐近线的距离为（ ）‎ A．1 B． C．2 D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据双曲线的方程得到焦点为，渐近线为： ，根据点到直线的距离得到焦点到渐近线的距离为 ‎ 故答案为：A。‎ ‎8．如图，在四面体ABCD中,,点M在AB上，且，点N是CD的中点,则 =（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】由已知可将分解为,进而由表示，进而得到答案．‎ ‎【详解】‎ 解：点在上，且，点是的中点，‎ ‎ ，，‎ ‎ ，‎ 又 ，‎ ‎ ，‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查的知识点是向量在几何中的应用，向量的线性运算，难度中档．‎ ‎9．的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a、b、c成等比数列，且，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】试题分析：根据成等比数列,有,又因为,可得,根据余弦定理,有,将,带入有．‎ ‎【考点】等比中项,余弦定理．‎ ‎10．已知，点Q在直线OP上，那么当取得最小值时,点Q的坐标是（ ）。‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】由点在直线上运动，可得存在实数使得，，，利用数量积可得，再利用二次函数的单调性即可得出．‎ ‎【详解】‎ 解：点在直线上运动，存在实数使得，，，‎ ‎ ，．‎ ‎ ‎ ‎，‎ 当且仅当时，上式取得最小值，‎ ‎．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 熟练掌握向量共线定理、数量积运算、二次函数的单调性等是解题的关键,属于中档题．‎ ‎11．如图,长方体中,,点分别是的中点,则异面直线与所成角的余弦值是 A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，可得和的坐标，进而可得，从而可得结论.‎ ‎【详解】‎ 以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，‎ 则可得，‎ ‎，‎ 设异面直线与所成的角为,‎ 则，故选D.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查异面直线所成的角，属于中档题.求异面直线所成的角主要方法有两种：一是向量法，根据几何体的特殊性质建立空间直角坐标系后，分别求出两直线的方向向量，再利用空间向量夹角的余弦公式求解；二是传统法，利用平行四边形、三角形中位线等方法找出两直线成的角，再利用平面几何性质求解.‎ ‎12．过抛物线的焦F作两条相互垂直的射线，分别与抛物线相交于点M,N，过弦MN的中点P作抛物线准线的垂线 PQ,垂足为Q，则的最大值为（ )‎ A．1 B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】设，，由抛物线定义，．再由勾股定理可得，进而根据基本不等式，求得的范围，即可得到答案．‎ ‎【详解】‎ 解：设，．‎ 由抛物线定义，结合梯形中位线定理可得，‎ 由勾股定理得，配方得，‎ ‎，‎ 又，‎ ‎，‎ 得到，‎ ‎ ，‎ 即的最大值为，‎ 故选： C.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查抛物线的定义和基本不等式的应用及计算能力、分析问题和解决问题的能力，属于中档题．‎ 二、填空题 ‎13．命题“”的否定为___________.‎ ‎【答案】∃x0∈R，x03﹣3x0≤0．‎ ‎【解析】根据全称命题的否定是特称命题进行求解即可．‎ ‎【详解】‎ 解：命题是全称命题，则命题的否定是特称命题，‎ ‎∴命题“∀x∈R，x3﹣3x＞0”的否定为∃x0∈R，x03﹣3x0≤0．‎ 故答案为：∃x0∈R，x03﹣3x0≤0．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查含有量词的命题的否定，根据全称命题的否定是特称命题是解决本题的关键，是基础题．‎ ‎14．已知，则函数的取值范围是______________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据不等式组得到可行域，将目标函数化为，结合图像可得到最值.‎ ‎【详解】‎ 根据不等式组得到可行域如图，函数化简为函数，截距的相反数的范围即z的范围，由图像得到当目标函数过点（1，1）时有最大值代入得到2，当目标函数过点（-，1）时有最小值代入得到.‎ 故范围是.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】‎ 利用线性规划求最值的步骤：‎ ‎(1)在平面直角坐标系内作出可行域．‎ ‎(2)考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形．常见的类型有截距型（型）、斜率型（型）和距离型（型）．‎ ‎(3)确定最优解：根据目标函数的类型，并结合可行域确定最优解．‎ ‎(4)求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值。‎ ‎15．已知抛物线的焦点F恰好是双曲线的右焦点，且两曲线的交点连线过点F,则该双曲线的离心率________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】试题分析：由题意焦点，交点，代入双曲线的方程得 ‎，又 ‎，化简得，，‎ ‎，故答案是.‎ ‎【考点】1、抛物线的应用；2、抛物线的性质.‎ ‎16．方程表示曲线，给出以下命题：‎ ‎①曲线不可能为圆；‎ ‎②若，则曲线为椭圆；‎ ‎③若曲线为双曲线，则或；‎ ‎④若曲线为焦点在轴上的椭圆，则.‎ 其中真命题的序号是_____(写出所有正确命题的序号)．‎ ‎【答案】③④‎ ‎【解析】试题分析：根据题意，①曲线不可能为圆；若C表示圆，应该满足4-t=t-1＞0则t=，错误 ‎②若，则曲线为椭圆；则有，错误 ‎③若曲线为双曲线，则或；（4-k）（k-1）＜0即t＞4或t＜1 故=对 ‎④若曲线为焦点在轴上的椭圆，则.成立，故填写③‎ ‎【考点】圆锥曲线的方程 点评：考查了圆锥曲线的方程的形式，属于基础题。关键是对于方程的表示中分母中参数的范围表示。‎ 三、解答题 ‎17．已知命题在区间上是减函数；‎ 命题q:不等式无解。‎ 若命题“”为真，命题“”为假，求实数m 的取值范围。‎ ‎【答案】[﹣3，1]‎ ‎【解析】如果命题p∨q为真，命题p∧q为假，则命题p，q一真一假，进而可得实数m的取值范围．‎ ‎【详解】‎ 解：f（x）＝x2+2（m﹣1）x+3的图象是开口朝上，且以直线x＝1﹣m为对称轴的抛物线，‎ 若命题p：f（x）＝x2+2（m﹣1）x+3在区间（﹣∞，0）上是减函数为真命题，‎ 则1﹣m≥0，即m≤1；‎ 命题q：“不等式x2﹣4x+1﹣m≤0无解”，‎ 则△＝16﹣4（1﹣m）＜0，即m＜﹣3．‎ 如果命题p∨q为真，命题p∧q为假，则命题p，q一真一假，‎ 若p真，q假，则﹣3≤m≤1，‎ 若p假，q真，则不存在满足条件的m值，‎ ‎∴﹣3≤m≤1．‎ ‎∴实数m的取值范围是[﹣3，1]．‎ ‎【点睛】‎ 本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了二次函数的图象和性质，复合命题，是中档题．‎ ‎18．在中，角所对的边分别为已知 ‎（1）求角C 的大小；‎ ‎（2）若a=5,b=8,求边c 的长.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】试题分析：（1）利用正弦定理化简题目所给条件可得；（2）利用余弦定理可求得.‎ 试题解析：（1）由及正弦定理得，‎ 即,‎ ‎，又为三角形的内角，.‎ ‎（2）由余弦定理，得.‎ ‎19．已知等差数列前n项和且关于x的不等式的解集.‎ ‎（Ⅰ）求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）设，求数列的前项和．‎ ‎【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）‎ ‎【解析】（Ⅰ）由题意可得为方程的两根，代入方程，结合等差数列的通项公式和求和公式，解得首项和公差，即可得到所求通项公式；（Ⅱ）求得，运用数列的分组求和，结合等比数列的求和公式，即可得到所求和．‎ ‎【详解】‎ 解：（Ⅰ）不等式的解集为，‎ 可得为方程的两根，‎ 即有，‎ 解得，‎ 又，即，可得，‎ 得等差数列的通项公式为；‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，‎ 所以数列的前项和 ‎．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查根与系数的关系，等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查化简变形能力以及运算能力，属于中档题．‎ ‎20．已知椭圆 的离心率为，短轴长为．‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）已知过点P（2,1）作弦且弦被P平分，则此弦所在的直线方程.‎ ‎【答案】(1) (2) ‎ ‎【解析】试题分析：（1）根据椭圆的性质列方程组解出a，b，c即可； （2）设直线斜率为k，把直线方程代入椭圆方程，根据根与系数的关系和中点坐标公式列方程即可得出k的值，从而求出直线方程．‎ 试题解析：‎ ‎（1），2b=4，所以a=4，b=2，c=，椭圆标准方程为 ‎（2）设以点为中点的弦与椭圆交于，则，分别代入椭圆的方程，两式相减得，所以，所以，由直线的点斜式方程可知，所求直线方程为，即．‎ 点睛：弦中点问题解法一般为设而不求，关键是求出弦AB所在直线方程的斜率k,方法一利用点差法，列出有关弦AB的中点及弦斜率之间关系求解；方法二是直接设出斜率k，利用根与系数的关系及中点坐标公式求得直线方程.‎ ‎21．设为抛物线的焦点是抛物线C上的两个动点.‎ ‎（1）若直线 AB 经过焦点F，且斜率为2，求；‎ ‎（2）若直线求点到直线的距离的最小值.‎ ‎【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）. ‎ ‎【解析】试题分析：（1）联立直线和曲线得到二次方程，由弦长公式得到AB长度；（2）用点线距离公式得到，是抛物线上的动点，得，二元化一元，求值域即可。‎ 解析：‎ ‎（Ⅰ）由题意，得，则直线的方程为. ‎ ‎ 由 消去，得. ‎ ‎ 设点，，‎ ‎ 则，且，， ‎ ‎ 所以. ‎ ‎（Ⅱ）设，‎ ‎ 则点到直线距离. ‎ ‎ 由是抛物线上的动点，得， ‎ ‎ 所以， ‎ ‎ 所以当时，.‎ ‎ 即点到直线的距离的最小值. ‎ 点睛：本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系，所使用方法为韦达定理法：因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用．‎ ‎22．如图，在底面是正三角形的三棱锥中,D 为PC的中点，，‎ ‎（1）求证：平面 ；‎ ‎（2）求 BD 与平面 ABC 所成角的大小；‎ ‎（3）求二面角的余弦值.‎ ‎【答案】（1）详见解析（2）（3）‎ ‎【解析】（1）推导出，，由此能证明平面．（2）以为原点，为轴，为轴，平面中垂直于的直线为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出与平面所成角．（3）求出平面的法向量和平面的法向量，由此能求出二面角的余弦值．‎ ‎【详解】‎ 证明：（1），，，‎ 底面是正三角形，，‎ ‎，，‎ ‎，，平面，‎ 平面． ‎ ‎（2）以为原点，为轴，为轴，平面中垂直于的直线为轴，‎ 建立空间直角坐标系，‎ 则，0，，，0，，，，，0，， ‎ ‎，． ‎ 平面的法向量为，0，，‎ 记与平面所成的角为，‎ 则， ‎ ‎ ，‎ 与平面所成角为． ‎ ‎（3）设平面的法向量为，，，‎ 则，取，得，2，． ‎ 记二面角的大小为，‎ 则，‎ 二面角的余弦值为．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查线面垂直的证明，考查线面角的求法，考查二面角的余弦值的求法，是中档题．‎