高中数学选修2-3课件3_1《回归分析的基本思想及其初步应用》 23页

新课标人教版课件系列 《 高中数学 》 选修 2-3 3.1《 回归分析的基本思想及其初步应用 》 教学目标 通过典型案例的探究，进一步了解回归分析的基本思想、方法及初步应用 . 教学重点 ：通过探究使学生体会有些非线性模型通过变换可以转化为线性回归模型，了解在解决实际问题的过程中寻找更好的模型的方法，了解可用残差分析的方法，比较两种模型的拟合效果 . 教学难点 ：了解常用函数的图象特点，选择不同的模型建模，并通过比较相关指数对不同的模型进行比较 . 比 《 数学 3》 中 “ 回归 ” 增加的内容 数学３ —— 统计 画散点图 了解最小二乘法的思想 求回归直线方程 y ＝ bx ＋ a 用回归直线方程解决应用问题 选修 2-3 —— 统计案例 引入线性回归模型 y ＝ bx ＋ a ＋ e 了解模型中随机误差项 e 产生的原因 了解相关指数 R 2 和模型拟合的效果之间的关系 了解残差图的作用 利用线性回归模型解决一类非线性回归问题 正确理解分析方法与结果 复习回顾 1 、线性回归模型： y=bx+a+e ， (3) 其中 a 和 b 为模型的未知参数， e 称为随机误差 。 y=bx+a+e ， E(e)=0,D(e)= (4) 2 、数据点和它在回归直线上相应位置的差异 是随机误差的效应，称 为 残差 。 3 、对每名女大学生计算这个差异，然后分别将所得的值平方后加起来，用数学符号表示为： 称为 残差平方和 ， 它代表了随机误差的效应。 4 、 两个指标： （ 1 ）类比样本方差估计总体方差的思想，可以用作 为 的估计量， 越小，预报精度越高。 （ 2 ）我们可以用 相关指数 R 2 来刻画回归的效果，其 计算公式是： R 2 1 ，说明回归方程拟合的越好； R 2 0 ，说明回归方程拟合的越差。 在研究两个变量间的关系时，首先要根据散点图来粗略判断它们是否线性相关，是否可以用回归模型来拟合数据。 5 、残差分析与残差图的定义： 然后，我们可以通过残差 来判断模型拟合的效果，判断原始数据中是否存在可疑数据， 这方面的分析工作称为残差分析 。 我们可以利用图形来分析残差特性，作图时纵坐标为残差，横坐标可以选为样本编号，或身高数据，或体重估计值等，这样作出的图形称为 残差图 。 案例 2 一只红铃虫的产卵数 y 和温度 x 有关。现收集了 7 组观测数据列于表中： （ 1 ）试建立产卵数 y 与温度 x 之间的回归方程；并预测温度为 28 o C 时产卵数目。 （ 2 ）你所建立的模型中温度在多大程度上解释了产卵数的变化？ 温度 x o C 21 23 25 27 29 32 35 产卵数 y / 个 7 11 21 24 66 115 325 非线性回归问题 假设线性回归方程为 ： ŷ =bx+a 选 模 型 由计算器得：线性回归方程为 y= 19.87 x -463.73 相关指数 R 2 = r 2 ≈0.864 2 =0.7464 估计参数 解：选取气温为解释变量 x ，产卵数 为预报变量 y 。 选变量 所以，二次函数模型中温度解释了 74.64% 的产卵数变化。 探索新知 画散点图 0 50 100 150 200 250 300 350 0 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30 33 36 39 方案 1 分析和预测 当 x =28 时， y = 19.87×28-463.73≈ 93 一元线性模型 奇怪？ 93>66 ? 模型不好？ y=bx 2 +a 变换 y=bt+a 非线性关系 线性关系 方案 2 问题１ 选用 y=bx 2 +a ，还是 y=bx 2 +cx+a ？ 问题 3 产卵数 气温 问题 2 如何求 a 、 b ？ 合作探究 t =x 2 二次函数模型 方案 2 解答 平方变换 ： 令 t=x 2 ，产卵数 y 和温度 x 之间二次函数模型 y=bx 2 +a 就转化为产卵数 y 和温度的平方 t 之间线性回归模型 y=bt+a 温度 21 23 25 27 29 32 35 温度的平方 t 441 529 625 729 841 1024 1225 产卵数 y / 个 7 11 21 24 66 115 325 作散点图，并由计算器得： y 和 t 之间的线性回归方程为 y= 0.367 t -202.543 ，相关指数 R 2 =0.802 将 t=x 2 代入线性回归方程得： y= 0.367 x 2 -202.543 当 x =28 时 ， y =0.367×28 2 -202.54≈85 ，且 R 2 =0.802 ， 所以，二次函数模型中温度解 释了 80.2% 的产卵数变化。 t 问题２ 变换 y=bx+a 非线性关系 线性关系 问题１ 如何选取指数函数的底 ? 产卵数 气温 指数函数模型 方案 3 合作探究 对数 方案 3 解答 温度 x o C 21 23 25 27 29 32 35 z=lny 1.946 2.398 3.045 3.178 4.190 4.745 5.784 产卵数 y / 个 7 11 21 24 66 115 325 x z 当 x=28 o C 时， y ≈44 ，指数回归模型中温度解释了 98.5% 的产卵数的变化 由计算器得： z 关于 x 的线性回归方程 为 对数变换：在 中两边取常用对数得 令 ，则 就转换为 z=bx+a. 相关指数 R 2 =0.98 最好的模型是哪个 ? 产卵数 气温 产卵数 气温 线性模型 二次函数模型 指数函数模型 比一比 函数模型 相关指数 R 2 线性回归模型 0.7464 二次函数模型 0.80 指数函数模型 0.98 最好的模型是哪个 ? 回归分析（二） 则回归方程的残差计算公式分别为： 由计算可得： x 21 23 25 27 29 32 35 y 7 11 21 24 66 115 325 0.557 -0.101 1.875 -8.950 9.230 -13.381 34.675 47.696 19.400 -5.832 -41.000 -40.104 -58.265 77.968 因此模型（ 1 ）的拟合效果远远优于模型（ 2 ）。 总 结 对于给定的样本点 两个含有未知参数的模型： 其中 a 和 b 都是未知参数。拟合效果比较的步骤为： （ 1 ）分别建立对应于两个模型的回归方程 与 其中 和 分别是参数 a 和 b 的估计值； （ 2 ）分别计算两个回归方程的残差平方和 与 （ 3 ）若 则 的效果比 的好；反之， 的效果不如 的好。 练习： 为了研究某种细菌随时间 x 变化，繁殖的个数，收集数据如下： 天数 x/ 天 1 2 3 4 5 6 繁殖个数 y/ 个 6 12 25 49 95 190 （ 1 ）用天数作解释变量，繁殖个数作预报变量，作出这些 数据的散点图； （ 2 ） 描述解释变量与预报变量 之间的关系； （ 3 ） 计算残差、相关指数 R 2 . 天数 繁殖个数 解： （ 1 ） 散点图如右所示 （ 2 ）由散点图看出样本点分布在一条指数函数 y= 的周围，于是令 Z=lny, 则 x 1 2 3 4 5 6 Z 1.79 2.48 3.22 3.89 4.55 5.25 由计数器算得 则有 6.06 12.09 24.09 48.04 95.77 190.9 y 6 12 25 49 95 190 （ 3 ） 即解释变量天数对预报变量繁殖细菌得个数解释了 99.99%. 练习 假设关于某设备的使用年限 x 和所支出的维修费用 y （万元），有如下的统计资料。 使用年限 x 2 3 4 5 6 维修费用 y 2.2 3.8 5.5 6.5 7.0 若由资料知 ,y 对 x 呈线性相关关系。试求： （ 1 ）线性回归方程 的回归系数 ； （ 2 ）求残差平方和； （ 3 ）求相关系数 ； （ 4 ）估计使用年限为 10 年时，维修费用是多少？ 解： （ 1 ）由已知数据制成表格。 1 2 3 4 5 合计 2 3 4 5 6 20 2.2 3.8 5.5 6.5 7.0 25 4.4 11.4 22.0 32.5 42.0 112.3 4 9 16 25 36 90 所以有 再见