数学理卷·2018届福建省永安第十二中学（永安三中高中部）高三上学期期中考试（2017 5页

永安三中（高中部）2017-2018 学年第一学期期中考试卷 高三理科数学 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、选择题：本大题共 12 题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选 项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合 A={1，2，3，4}，集合 B={x|x2-2x＜0}，则集合 A∩B 中元素的个数为（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2.“sinα＜0”是“α 为第三、四象限角”的（　　） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3.已知函数 ，那么 的值为( ) A. 9 B. C. -9 D. 4.已知 ，b=log23， ，那么（　　） A. a＜b＜c B. a＜c＜b C. c＜a＜b D. b＜a＜c 5.若（5x+4）3=a0+a1x+a2x2+a3x3，则（a0+a2） （a1+a3）=（　　） A. -1 B. 1 C. 2 D. -2 6.某电影公司 2012 年大陆电影票房为 21 亿元，若该公司大陆电影票房的年平均增长率为 x， 2016 年大陆电影票房为 y 亿元，则 y 与 x 的函数关系式为（　　） A. y=84x B. y=21（1+4x） C. y=21x4 D. y=21（1+x）4 7.若 ，则 的值为（　　） A. B. C. D. 8.某学校要从高一年级的 752 名学生中选取 5 名学生代表去敬老院慰问老人，若采用系统抽 样方法，首先要随机剔除 2 名学生，再从余下的 750 名学生中抽取 5 名学生，则其中学生甲 被选中的概率为（　　） A. B. C. D. 9.已知函数 f（x）是定义在 R 上的偶函数，若任意的 x≥0，都有 f（x+2）=-f（x），当 2 3 , 0( ) log , 0 x xf x x x  ≤=  > 1[ ( )]4f f 1 9 1- 9 1 2 log 5a = 0.63c −= − 1cos( )8 6 π α− = 3cos( 2 )4 π α+ 17 18 17-18 18 19 18-19 1 150 2 752 2 150 5 752 x∈[0，1]时，f（x）=2x-1，则 f（-2017）+f（2018）=（　　） A. 1 B. -1 C. 0 D. 2 10.已知函数 y=f（x）的图象关于点（-1，0）对称，且当 x∈（0，+∞）时，f（x）= ，则 当 x∈（-∞，-2）时 f（x）的解析式为（　　） A. B. C. D. 11.函数 （-π≤x≤π 且 x≠0）的图象是（　　） A. B. C. D. 12.若函数 且满足对任意的实数 x1≠x2 都 成立， 则实数 a 的取值范围是（　　） A. （1，+∞） B. （1，8） C. （4，8） D. [4，8） 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．把答案填在答题卡的相 应位置． 13.若点 在幂函数 的图象上，则 = ______ ． 14.若函数 ，则 f（x）与 x 轴围成封闭图形的面积为 ______ ． 15.对于函数 ，给出下列四个命题： ①存在 ，使 ； ②函数 f（x）的图象关于直线 对称； 1 x 1 x − 1 2x + 1 2x − + 1 2 x− 1( ) ( )sinf x x xx = − , 1 ( ) (4 ) 2, 12 xa x f x a x x  ≥=  − + < 1 2 1 2 ( ) ( ) 0f x f x x x − >− (2, 2) ( )f x xα= 1( )4f 1, 0 ( ) cos ,0 2 x x f x x x π + <=  ≤ ≤ ( ) 2(sin cos )f x x x= + ( ,0)2 πα ∈ − ( ) 2f α = 3 4x π= − ③存在 φ∈R，使函数 f（x+φ）的图象关于坐标原点成中心对称； ④函数 f（x）的图象向左平移 就能得到 y=-2cosx 的图象． 其中正确命题的序号是 ______ ． 16.已知函数 ，若函数 有 3 个零点，则 m 的取值范围 是 ______ ． 三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤． 17.已知向量 ，其中 ． （1）若 ，求角 θ 的大小； （2）若 ，求 tanθ 的值． 18.函数 f（x）是 R 上的偶函数，且当 x＞0 时，函数的解析式为 f（x）= （1）求 的值； （2）用定义证明 f（x）在（0，+∞）上是减函数； （3）求当 x＜0 时，函数的解析式． 19.已知 f（x）= sinxcosx-2cos2x+1． （1）求函数 f（x）取最大值时 x 的取值集合； （2）设△ABC 的角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若 f（C）=2，c= ，求△ABC 面 积的最大值． 20.某职称晋级评定机构对参加某次专业技术考试的 100 人的成绩进行了统计，绘制了频率 分布直方图（如图所示）．规定 80 分及以上者晋级成功，否则晋级失败（满分 100 分）． （Ⅰ）求图中 a 的值； （Ⅱ）根据已知条件完成下面 2×2 列联表，并判断能否有 85%的把 握认为“晋级成功”与性别有关？ 晋级成功 晋级失败 合计 4 π , 0( ) 2 , 0 xxe xf x x x  <= − ≥ g x f x m= −（ ） （ ） (2sin ,1), (2cos , 1)a bθ θ= = −  (0, )2 πθ ∈ a b⊥  2a b b− =   2 1x − ( 1)f − 2 3 3 男 16 女 50 合计 （参考公式： 其中 n=a+b+c+d） P（K2≥k） 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 k 0.780 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 （Ⅲ）将频率视为概率，从本次考试的所有人员中，随机抽取 4 人进行约谈，记这 4 人 中晋级失败的人数为 X，求 X 的分布列与数学期望 E（X）． 21.已知函数 ，a∈R． （Ⅰ）当 a=0 时，求函数 f（x）在（1，f（1））处的切线方程； （Ⅱ）令 ，求函数 g（x）的极值； （Ⅲ）若 a=-2，正实数 x1，x2 满足 f（x1）+f（x2）+x1x2=0，证明： ． 22. 请考生在第 A、B 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的 A 题记分.解 答时请写清题号. (A)在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系．已 知曲线 C 的极坐标方程为： ，直线 l 的参数方程为： （t 为参 2 2 ( ) ( )( )( )( ) n ad bcK a b c d a c b d −= + + + + 21( ) ln 2f x x ax x= − + ( ) ( ) 1g x f x ax= − + 1 2 5 1 2x x −+ ≥ 4cosρ θ= 33 2 1 2 x t y t  = +  = 数），直线 l 与 C 交于 P1，P2 两点． （1）求曲线 C 的直角坐标方程及直线 l 的普通方程； （2）已知 Q（3，0），求 的值． 22(B)已知函数 f（x）=|x+3|+|2x-4|． （1）当 x∈ [-3，3]时，解关于 x 的不等式 f（x）＜6； （2）求证： t∈R，f（x）≥4-2t-t2． 1 2PQ PQ− ∀