【推荐】专题11 立体几何角的计算与证明-2018版高人一筹之高三数学一轮复习特色专题训练（浙江版） 23页

十一、立体几何角的计算与证明 一、选择题 ‎1．【2017年浙江卷】某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积（单位： ）是 A. B. C. D. ‎【答案】A ‎2．【2018届浙江省温州市高三9月测试（一模）】某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积（单位：cm‎3‎）是（ ）‎ A. ‎4‎‎3‎‎+π B. ‎2‎‎3‎‎+π C. ‎4+π‎3‎ D. ‎‎4+2π‎3‎ ‎【答案】A ‎3．如图（1）在正方形SG‎1‎G‎2‎G‎3‎中，E,F分别是边G‎1‎G‎2‎‎,‎G‎2‎G‎3‎的中点，沿SE,SF及EF把这个正方形折成一个几何体如图(2),使G‎1‎G‎2‎G‎3‎三点重合于G, 下面结论成立的是( )‎ ‎ ‎ A. SG⊥‎平面EFG B. SD⊥‎平面EFG C. GF⊥‎平面SEF D. DG⊥‎平面SEF ‎【答案】A ‎【解析】证明：‎∵‎在折叠过程中，始终有SG‎1‎⊥G‎1‎E,SG‎3‎⊥G‎3‎F，即SG⊥GE,SG⊥GF,GE∩GF=E,∴SG⊥‎平面EFG，故选A.‎ ‎4．如图，在四面体中，若，AB=BC， ， 是的中点，则下列命题中正确的是（ ）‎ A. 平面平面 B. 平面平面 C. 平面平面，且平面平面 D. 平面平面，且平面平面 ‎【答案】C ‎【解析】因为， ， 是的中点， ⇒ 平面，由面面垂直判定定理可得平面平面，平面平面，故选C.‎ ‎5．已知正方体，点， ， 分别是线段， 和上的动点，观察直线与， 与．给出下列结论：‎ ‎①对于任意给定的点，存在点，使得；‎ ‎②对于任意给定的点，存在点，使得；‎ ‎③对于任意给定的点，存在点，使得；‎ ‎④对于任意给定的点，存在点，使得．‎ 其中正确结论的个数是（ ）．‎ A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 ‎【答案】C ‎②当点与重合时， 且，∴ 平面，‎ ‎∵对于任意给定的点，存在点，使得，故②正确．‎ ‎③只有垂直于在平面中的射影时， ，故③正确．‎ ‎④只有平面时，④才正确，因为过点的平面的垂线与无交点，故④错误．‎ 综上，正确的结论是②③，故选．‎ ‎6．在正三棱柱ABC-‎A‎1‎B‎1‎C‎1‎中，AB=2‎，点D、E分别是棱AB、BB‎1‎的中点，若DE⊥EC‎1‎，则侧棱AA‎1‎的长为（ ）．‎ A. ‎1‎ B. ‎2‎ C. ‎2‎ D. ‎‎2‎‎2‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎7．【2018届江西省南昌市高三上摸底】已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上， 满足， 为球的直径且，则点到底面的距离为 A. B. C. D. ‎【答案】B ‎【解析】∵三棱锥的所有顶点都在球的球面上， 为球的直径且，∴球心是的中点，球半径，过作平面，垂足是，∵满足， ，∴是中点，且，∴，∴点到底面的距离为，故选B．‎ ‎8．【2017届广东省广州高三下第一次模拟】《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马；将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．若三棱锥为鳖臑， 平面， ， ，三棱锥的四个顶点都在球的球面上，则球的表面积为（ ）．‎ A. B. C. D. ‎【答案】C ‎9．【2018届海南省八校高三上新起点联考】在三棱锥中， ， ， ，则异面直线与所成角的余弦值为( )‎ A. B. C. D. ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎10．【2017年浙江省镇海市镇海中学高中数学竞赛模拟（二）】如图，在四面体中，已知两两互相垂直，且．则在该四面体表面上与点距离为的点形成的曲线段的总长度为（ ）‎ A. B. C. D. ‎【答案】B ‎【解析】‎ 如图，设 (在上， 在上， 在上)．‎ 由， ，‎ 知， ， ．‎ ‎∴在面内与点距离为的点形成的曲线段(图中弧) 长为．‎ 同理，在面内与点距离为的点形成的曲线段长为．‎ 同理，在面内与点距离为的点形成的曲线段长为．‎ 同理，在面内与点距离为的点形成的曲线段长为．‎ 所以，该四面体表面上与点距离为的点形成的曲线段的总长度为．‎ 故选B．‎ ‎11．【2017届陕西省西安市西北工业大学附属中学高三下第八次模拟】已知正方体的棱长为2，其表面上的动点到底面的中心的距离为，则线段的中点的轨迹长度为（ ）‎ A. B. C. D. ‎【答案】B ‎12．【2018届辽宁省庄河市高级中学高三上开学】已知三棱锥P-ABC的四个顶点都在同一个球面上，底面ΔABC满足BA=BC=‎‎6‎‎,∠B=90‎‎0‎，若该三棱锥体积最大值为3，则其外接球的表面积为（ ）‎ A. ‎21π B. ‎32‎‎3‎π C. ‎16‎‎3‎π D. ‎‎16π ‎【答案】D ‎【解析】 ‎ 二、填空题 ‎13．【2018届浙江省名校协作体高三上学期考试】一个棱长为2的正方体被一个平面截去一部分后，剩下部分的三视图如下图所示，则该几何体的表面积为____________，体积为_________．‎ ‎【答案】 ‎【解析】：由三视图可知几何体是正方体在一个角上截去一个三棱锥， ∵正方体的棱长是2， ∴三棱锥的体积 ， ‎ ‎∴剩余部分体积 ，‎ 截面为边长为 的正三角形，其面积为 则该几何体的表面积为 .‎ ‎14．在正三棱锥中， 是的中点，且，底面边长，则正三棱锥的体积为__________，其外接球的表面积为__________．‎ ‎【答案】， ‎15．【2017 届浙江省杭州高级中学高三2月高考模拟】如图，正四面体的顶点在平面内，且直线与平面所成角为，顶点在平面上的射影为点，当顶点与点的距离最大时，直线与平面所成角的正弦值为__________.‎ ‎【答案】 ‎【解析】当四边形ABOC为平面四边形时，点A到点O的距离最大。‎ 此时平面ABOC⊥平面α，过D作DN⊥平面ABOC，垂足为N，‎ 则N为正三角形ABC的中心。‎ ‎16．【2017课标1，理16】如图，圆形纸片的圆心为O，半径为5 cm，该纸片上的等边三角形ABC的中心为O.D、E、F为圆O上的点，△DBC，△ECA，△FAB分别是以BC，CA，AB为底边的等腰三角形.沿虚线剪开后，分别以BC，CA，AB为折痕折起△DBC，△ECA，△FAB，使得D、E、F重合，得到三棱锥.当△ABC的边长变化时，所得三棱锥体积（单位：cm3）的最大值为_______.‎ ‎【答案】 ‎【解析】‎ 三、解答题 ‎17．【2017浙江卷】如图，已知四棱锥P-ABCD，△PAD是以AD为斜边的等腰直角三角形，BC∥AD，CD⊥AD，PC=AD=2DC=2CB,E为PD的中点.‎ ‎（I）证明：CE∥平面PAB；‎ ‎（II）求直线CE与平面PBC所成角的正弦值 ‎【答案】（I）见解析；（II）.‎ ‎（Ⅰ）取PA中点F，构造平行四边形BCEF，可证明；（Ⅱ）由题意，取BC，AD的中点M，N，可得AD⊥平面PBN，即BC⊥平面PBN，过点Q作PB的垂线，垂足为H，连结MH．可知MH是MQ在平面PBC上的射影，所以∠QMH是直线CE与平面PBC所成的角．依此可在Rt△MQH中，求∠QMH的正弦值．‎ 试题解析：‎ ‎（Ⅰ）如图，设PA中点为F，连接EF，FB．‎ 因为E，F分别为PD，PA中点，所以且，‎ 又因为， ，所以且，‎ 即四边形BCEF为平行四边形，所以，‎ 因此平面PAB．‎ 所以AD⊥平面PBN，‎ 由BC//AD得BC⊥平面PBN，‎ 那么平面PBC⊥平面PBN．‎ 过点Q作PB的垂线，垂足为H，连接MH．‎ MH是MQ在平面PBC上的射影，所以∠QMH是直线CE与平面PBC所成的角．‎ 设CD=1．‎ 在△PCD中，由PC=2，CD=1，PD=得CE=，‎ 在△PBN中，由PN=BN=1，PB=得QH=，‎ 在Rt△MQH中，QH=，MQ=，‎ 所以sin∠QMH=，‎ ‎ 所以直线CE与平面PBC所成角的正弦值是．‎ ‎18．【2018届浙江省温州市高三9月测试（一模）】如图，四面体ABCD中，AB=BC=CD=‎3‎‎3‎BD=‎1‎‎2‎AD=1‎，平面ABD⊥‎平面CBD．‎ ‎（1）求AC的长；‎ ‎（2）点E是线段AD的中点，求直线BE与平面ACD所成角的正弦值．‎ ‎【答案】（1）‎2‎；（2）‎21‎‎7‎.‎ 试题解析：（1）∵AB=1‎，BD=‎‎3‎，AD=2‎，‎ ‎∴AB⊥BD，‎ 又∵平面ABD⊥‎平面CBD，平面ABD∩‎平面CBD=BD，‎ ‎∴AB⊥‎平面CBD，‎ ‎∴AB⊥BC，‎ ‎∵AB=BC=1‎，‎ ‎∴AC=‎‎2‎.‎ 由BC=CD=1‎，BD=‎‎3‎，得‎∠BCD=120°‎，∴BG=‎‎3‎‎2‎，‎ 又∵AB=1‎，‎ ‎∴AG=‎‎7‎‎2‎，又∵BE=‎1‎‎2‎AD=1‎，‎ ‎∴sin∠BEH=BHBE=‎‎21‎‎7‎．‎ ‎19．【2018届浙江省嘉兴市第一中学高三9月测试】如图，四棱锥P-ABCD,底面ABCD为菱形，PA⊥‎平面ABCD，PA=PB=2‎，E为CD的中点，‎∠ABC=60°‎.‎ ‎（I）求证：直线AE⊥‎平面PAB；‎ ‎（II）求直线AE与平面PCD所成角的正弦值.‎ ‎【答案】(1)见解析;(2) ‎2‎‎7‎‎7‎.‎ ‎【解析】试题分析：（1）易证PA⊥AE，再在底面证明AE⊥CD，从而目标得证；（2）连接PE,‎过A点作AH⊥PE于H点.由（1）易得AH⊥‎平面PCD，所以‎∠AEP为直线AE与平面PCD所成的角，在△PAE中求出所成角的正弦值即可.‎ 试题解析：‎ ‎（I）证明：‎∵∠ADE=∠ABC=60°‎，‎ ED=1，AD=2，∴AE⊥CD‎ ‎ 又‎∵AB//CD,∴AE⊥AB 又‎∵PA⊥‎平面ABCD,‎‎∴PA⊥AE,PA∩AB=A ‎∴‎直线AE⊥‎平面PAB.‎ ‎（方法二）如图建立所示的空间直角坐标系A-xyz.‎ P‎0,0,2‎,E‎0,‎3‎,0‎,C‎1,‎3‎,0‎,D‎-1,‎3‎,0‎‎.‎ AE‎=‎0,‎3‎,0‎,PC=‎1,‎3‎,-2‎,DC=‎‎2,0,0‎ 设平面PCD的法向量n‎=‎x,y,z，‎ PC‎⋅n=0‎DC‎⋅n=0‎‎⇒x+‎3‎y-2z=0‎‎2x=0‎⇒n=‎‎0，1，‎‎3‎‎2‎ cos=AE‎⋅‎nAE‎⋅‎n=‎‎2‎‎7‎‎7‎‎.所以直线AE与平面PCD所成角的正弦值为‎2‎‎7‎‎7‎ ‎20．【2017北京卷】如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，平面PAD⊥平面ABCD，点M在线段PPD//平面MAC，PA=PD=，AB=4．‎ ‎（I）求证：M为PB的中点；‎ ‎（II）求二面角B-PD-A的大小；‎ ‎（III）求直线MC与平面BDP所成角的正弦值．‎ ‎【答案】（1）见解析（2）（3） 试题解析：解：（I）设交点为，连接.‎ 因为平面，平面平面，所以.‎ 因为是正方形，所以为的中点，所以为的中点.‎ ‎（II）取的中点，连接， .‎ 因为，所以.‎ 又因为平面平面，且平面，所以平面.‎ 因为平面，所以.‎ 因为是正方形，所以.‎ 如图建立空间直角坐标系，则， ， ，‎ ， .‎ 设平面的法向量为，则，即.‎ 令，则， .于是.‎ 平面的法向量为，所以.‎ 由题知二面角为锐角，所以它的大小为.‎ ‎21．【2018届广东省东莞外国语学校高三第一次月考】如图,矩形中, , 分别为边上的点,且,将沿折起至位置(如图所示),连结,其中.‎ ‎(Ⅰ) 求证: ； ‎ ‎(Ⅱ) 在线段上是否存在点使得?若存在,求出点的位置；若不存在,请说明理由.‎ ‎(Ⅲ) 求点到的距离.‎ ‎【答案】（1）见解析；（2） ‎（Ⅲ） 由PF⊥平面ABED，知PF为三棱锥P-ABE的高，利用等积法能求出点A到平面PBE的距离．‎ 试题解析：‎ ‎(Ⅰ)连结,由翻折不变性可知, , ,‎ ‎ 在中, ,‎ 所以 ‎ ‎ 在图中,易得,‎ 在中, ,所以 又, 平面, 平面,所以平面.‎ ‎(Ⅱ) 当为的三等分点(靠近)时, 平面. ‎ 证明如下:‎ ‎ 因为, ,所以 ‎ ‎ 又平面, 平面,所以平面. ‎ ‎ （注：学生不写平面,扣1分）‎ ‎ (Ⅲ) 由(Ⅰ)知平面,所以为三棱锥的高. ‎ ‎ 设点到平面的距离为,由等体积法得,‎ 即,又,,‎ ‎ 所以,即点到平面的距离为.‎ ‎22.【2018届甘肃省兰州第一中学高三9月月考】如图，已知四棱锥，底面为菱形，，, 平面， 分别是的中点.‎ ‎（1）证明： ；‎ ‎（2）若为上的动点，与平面所成最大角 的正切值为，求二面角的余弦值.‎ ‎【答案】（1）详见解析（2） 试题解析：(1)证明：由四边形为菱形， ，可得为正三角形。‎ 因为为BC的中点，所以,又,因此，‎ 因为， 平面，所以，‎ 而，所以 ‎（2）设为上任意一点，连接、 所以 =45，于是 因为平面， 平面，所以平面平面，‎ 过作于，则由面面垂直的性质定理可知: 平面,‎ 所以，过过作于，连接， 平面，‎ 所以,则为二面角的平面角，‎ 在中， ， 又是的中点， ,‎ 且 在中， ，‎ 又=,‎ 在中， == 即二面角的余弦值为.‎