命题角度4-4 立体几何中的折叠问题（第01期）-2018年高考数学（理）备考之百强校大题狂练系列 11页

‎2018届高考数学（理）大题狂练 命题角度4：立体几何中的折叠问题 ‎1.在正方形中， 的中点为点， 的中点为点，沿将向上折起得到，使得面面，此时点位于点处．‎ ‎（Ⅰ）证明： ；‎ ‎（Ⅱ）求面与面所成二面角的正弦值．‎ ‎【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）‎ ‎【解析】试题分析：（Ⅰ）利用折叠前后的不变量得到有关垂直关系，进而利用线面垂直的判定定理得到线面垂直，再利用线面垂直的性质得到线线垂直；（Ⅱ）同（Ⅰ）证明有关线面垂直和线线垂直，进而建立适当的空间直角坐标系，利用空间向量进行求解．‎ ‎（Ⅱ）设中点为，连接，交于点，连接. 同（Ⅰ）可证，从而面面，所以；由面，可得面面，又因为面面，且面与面相交于 ‎，所以面．‎ 设为原点，过点作轴平行于，作轴平行于， 为轴，如图所示，不妨设正方形边长为3，从而， ， ， ， ， ，‎ 又因为，所以， ，在直角中，由勾股定理可得，‎ 所以，即，所以可以求得面的法向量为，面的法向量为，所以可以得出法向量，则所求二面角的正弦值为．‎ ‎2.如图甲，已知矩形中， 为上一点，且，垂足为，现将矩形沿对角线折起，得到如图乙所示的三棱锥.‎ ‎（Ⅰ）在图乙中，若，求的长度；‎ ‎（Ⅱ）当二面角等于时，求二面角的余弦值.‎ ‎【答案】（1）（2）余弦值为.‎ ‎【解析】试题分析：（Ⅰ）当时，由线面垂直的判定定理，可得平面，所以,由勾股定理求出BH的长度；（Ⅱ）以为坐标原点， 为轴， 为轴，垂直于平面的方向为轴建系，可得平面ADC的法向量为，由当二面角等于，求出点B,C，H三点的坐标，假设平面的法向量，由 ,求出 ，根据两向量的夹角公式，求出二面角的余弦值.‎ ‎（Ⅱ）如图，以为坐标原点， 为轴， 为轴，垂直于平面的方向为轴建系，‎ 可得平面的法向量为，‎ 即有，再由二面角等于，‎ 可得点坐标为，‎ 所以，‎ 设平面的法向量，‎ 则 ，‎ 所以，‎ 由横坐标大于横坐标，‎ 所以二面角为钝角，所以余弦值为.‎ ‎3.如图1，已知在菱形中， ， 为的中点，现将四边形沿折起至，如图2.‎ ‎（1）求证： 面；‎ ‎（2）若二面角的大小为，求平面与平面所成锐二面角的余弦值.‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）.‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎(1)利用直线与平面垂直的判断定理结合题意证得线面垂直即可；‎ ‎(2)首先建立空间直角坐标系，然后平面的法向量即可球的最终结果.‎ 试题解析：‎ 证明：(1)∵四边形ABCD为菱形,且，‎ 为正三角形， ∵为的中点 ‎ ‎ (注：三个条件中,每少一个扣1分)‎ ‎（2）以点E为坐标原点，分别以线段ED，EA所在直线为x，y轴，再以过点E且垂直于平面ADE且向上的直线为z轴，建立空间直角坐标系如图所示.‎ ‎， 为二面角A-DE-H的一个平面角， ‎ 设则 由得 ‎ 设平面的法向量为，则 令得 而平面的一个法向量为 设平面与平面所成锐二面角的大小为 则.‎ 所以平面与平面所成锐二面角的余弦值为 ‎4.如图１，在正方形中，点分别是的中点，与交于点为中点，点在线段上，且.现将分别沿折起，使点重合于点（该点记为），如图2所示.‎ ‎（1）若，求证：平面；‎ ‎（2）是否存在正实数，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.‎ ‎【答案】(1)详见解析；（2）.‎ 试题解析：（1）由题意，可知三条直线两两垂直．．．．．．．．．．．．．．．．．1分 ‎∴平面．．．．．．．．．．．．．．．3分 在图1中，∵分别是的中点，∴，∴．‎ 又∵在的中点，∴．‎ 在图2中，∵，且，‎ ‎∴在中，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分 ‎∴平面．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分 ‎（2）由题意，分别以所在直线为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系．‎ 设，则．∴．．．．．．．．．7分 ‎∵，∴，∴ . ‎ ‎∴．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分 又∵，‎ 设平面的一个法向量为．‎ 由．取，则．．．．．．．．．．．．．．．．．．9分 ‎∵直线与平面所成角的正弦值为，‎ ‎∴．．．．．．．．．11分 ‎∴，解得或（不合题意，舍去）‎ 故存在正实数，使得直线与平面所成有的正弦值为 ‎5.如图，已知是矩形， ， 分别为边， 的中点， 与交于点，沿将矩形折起，设， ，二面角的大小为.‎ ‎（1）当时，求的值；‎ ‎（2）点时，点是线段上一点，直线与平面所成角为.若，求线段的长.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ 试题解析：如图，设为的中点，建立如图所示的空间直角坐标系.‎ ‎（1）当时， ， ，‎ ‎， ，‎ ‎.‎ ‎（2）由得， ， ，‎ ‎，‎ 设，则，‎ ‎，‎ 设平面的法向量为， ， ，‎ ‎，取，‎ 由题意，得，即，‎ 或（舍去），‎ 在线段上存在点，且.‎ ‎6.如图1，在矩形ABCD中， ，点分别在边上，且， 交于点．现将沿折起，使得平面平面，得到图2．‎ ‎（Ⅰ）在图2中，求证： ；‎ ‎（Ⅱ）若点是线段上的一动点，问点在什么位置时，二面角的余弦值为．‎ ‎【答案】（Ⅰ）见解析;（Ⅱ）．‎ ‎【解析】试题分析：(1)先证明 ,再证明,证明平面,从而可得 ; (2)建立直角坐标系,设,求出平面、平面的一个法向量,利用向量的夹角公式,结合二面角的余弦值为,即可得出结论.‎ ‎（Ⅱ）如图1，在中， ， ，‎ ‎∵∥， ，∴.‎ 如图，以点为原点建立平面直角坐标系，则 ‎， ， ， ，‎ ‎∴， ， ，‎ ‎∵，∴平面，‎ ‎∴为平面的法向量.‎ 设，则，‎ 设为平面的法向量，则 即，可取，‎ 依题意，有，‎ 整理得，即，∴，‎ ‎∴当点在线段的四等分点且时，满足题意．‎