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  • 2021-06-20 发布

四川省乐山市高中2020届高三第三次调查研究考试数学(文)试题

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机密★启用前 乐山市高中2020届第三次调查研究考试 文科数学 一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知集合,,则( ).‎ A. B. C. D.‎ ‎2.已知复数,在复平面内对应的点分别为,,则( ).‎ A. B. C. D.‎ ‎3.已知函数是奇函数,且时,,则( ).‎ A.2 B. C.3 D.‎ ‎4.已知,,,则、、的大小关系是( ).‎ A. B. C. D.‎ ‎5.已知向量与向量平行,,且,则( ).‎ A. B. C. D.‎ ‎6.支付宝和微信已经成为如今最流行的电子支付方式,某市通过随机询问100名居民(男女居民各50名)喜欢支付宝支付还是微信支付,得到如下的列联表:‎ 支付方式 性别 支付宝支付 微信支付 男 ‎40‎ ‎10‎ 女 ‎25‎ ‎25‎ 附表及公式:,‎ 则下列结论正确的是( ).‎ A.在犯错的概率不超过1%的前提下,认为“支付方式与性别有关”‎ B.在犯错的概率超过1%的前提下,认为“支付方式与性别有关”‎ C.有%以上的把握认为“支付方式与性别有关”‎ D.有%以上的把握认为“支付方式与性别无关”‎ ‎7.秦九韶算法的主要功能就是计算函数多项式的值,如图是实现该算法的程序框图.执行该程序框图,若输入,,依次输入为1,2,4,则输出的的值为( ).‎ A.4 B.10 C.11 D.12‎ ‎8.函数的图象大致为( ).‎ A.B.C.D.‎ ‎9.如图,在三棱锥中,,,则其外接球的体积为( ).‎ A. B. C. D.‎ ‎10.数列中,已知对任意,,则( ).‎ A. B. C. D.‎ ‎11.已知点是双曲线上的动点,点为圆上的动点,且,若的最小值为,则双曲线的离心率为( ).‎ A. B. C. D.‎ ‎12.已知点在函数(且,)的图象上,直线是函数的图象的一条对称轴.若在区间内单调,则( ).‎ A. B. C. D.‎ 二、填空题:‎ ‎13.已知函数,则函数在处的切线方程为______.‎ ‎14.小王老师2018年的家庭总收入为8万元,各种用途占比统计如图①所示,2019年收入的各种用途占比统计如图②所示.已知2019年的就医费用比2018年增加万元,则小王2019年的家庭总收入为______.‎ ‎ ‎ ‎① ②‎ ‎15.已知椭圆的左焦点为,、分别为的右顶点和上顶点,直线与直线的交点为,若,且的面积为,则椭圆的标准方程为______.‎ ‎16.已知数列的前项和为,且满足.有以下结论:‎ ‎①数列是等差数列;②;③.‎ 其中所有正确命题的序号是______.‎ 三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤.第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据需求作答.‎ ‎(一)必考题 ‎17.在中,角、、所对的边分别为、、,且.‎ ‎(1)求角的值;‎ ‎(2)若,,求的面积.‎ ‎18.为了治理空气污染,某市设9个监测站用于监测空气质量指数(AQI),其中在轻度污染区、中度污染区、重度污染区分别设有2、4、3个监测站,并以9个监测站测得的AQI的平均值为依据播报该市的空气质量.‎ ‎(1)若某日播报的AQI为119,已知轻度污染区AQI平均值为70,中度污染区AQI平均值为115,求重试污染区AQI平均值;‎ ‎(2)如图是2018年11月份30天的AQI的频率分布直方图,11月份仅有1天AQI在内.‎ ‎①某校参照官方公布的AQI,如果周日AQI小于150就组织学生参加户外活动,以统计数据中的频率为概率,求该校学生周日能参加户外活动的概率;‎ ‎②环卫部门从11月份AQI不小于170的数据中抽取两天的数据进行研究,求抽取的这两天中AQI值在的天数的概率.‎ ‎19.如图,在直三棱柱中,,,、、分别为、、的中点,为线段上的动点.‎ ‎(1)证明:平面;‎ ‎(2)若将直三棱柱沿平面截开,求四棱锥的表面积.‎ ‎20.已知曲线上的点到点的距离比到直线的距离小1,为坐标原点.‎ ‎(1)过点且倾斜角为的直线与曲线交于,两点,求的面积;‎ ‎(2)设为曲线上任意一点,点,是否存在垂直于轴的直线,使得被以为直径的圆截得的弦长恒为定值?若存在,求出的方程和定值;若不存在,说明理由.‎ ‎21.已知函数.‎ ‎(1)讨论函数的单调性;‎ ‎(2)判断并说明函数的零点个数.若函数所有零点均在区间内,求的最小值.‎ ‎(二)选考题 ‎22.[选修4-4:坐标系与参数方程]‎ 在平面直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数),以为极点,轴的正半轴为极轴,建立极坐标系.‎ ‎(1)求曲线的极坐标方程;‎ ‎(2)已知、是曲线上任意两点,且,求面积的最大值.‎ ‎23.[选修4-5:不等式选讲]‎ 已知,,为正数,且满足.‎ ‎(1)证明:;‎ ‎(2)证明:.‎ 参考答案 ‎1.B ‎【解析】由题得,故选B.‎ ‎2.A ‎【解析】由题得,,则,故选A.‎ ‎3.D ‎【解析】因为是奇函数,所以,故选D.‎ ‎4.B ‎【解析】由题得,,‎ ‎,故有,故选B.‎ ‎5.B ‎【解析】因为向量与向量平行,可设,‎ 由可得,得,‎ 所以,故选B.‎ ‎6.C ‎【解析】由列联表得到,,,,‎ 代入,‎ 解得,‎ 因为,‎ 所以有99%以上的把握认为“支付方式与性别有关”,故选C.‎ ‎7.D ‎【解析】输入时,,,此时不成立;‎ 输入时,,,此时不成立;‎ 输入时,,,此时成立;‎ 输出的的值为12,故选D.‎ ‎8.A ‎【解析】由题知为奇函数,排除D;‎ 因为,排除C;‎ 又因为,所以排除B,故选A.‎ ‎9.C ‎【解析】如图,将三棱锥放入棱长为1的正方体中,‎ 则其外接球即为正方体的外接球,球半径为,‎ 所以外接球的体积为,故选C.‎ ‎10.A ‎【解析】由,当时,,‎ 两式相减得,‎ 又,满足,则.‎ 所以数列是首项为,公比的等比数列,‎ 则是首项为,的等比数列,‎ 故,故选A.‎ ‎11.C ‎【解析】由题,且,‎ 若取最小值,则取最小值,‎ 由双曲线的性质可知,当点在为双曲线的顶点时,取最小值,‎ 此时,此时,,‎ 所以,故选C.‎ ‎12.B ‎【解析】由题意得,,得,得,‎ 又因为在区间内单调,‎ 所以,得,得.所以.‎ 又因为,所以或3.‎ 当时,,得,‎ 又,所以,‎ 此时直线是函数的图象的一条对称轴,且在区间内单调.‎ 所以.‎ 当时,,得,‎ 又,所以,‎ 此时,‎ 所以直线不是函数的图象的一条对称轴.‎ 所以,,故选B.‎ ‎13.‎ ‎【解析】因为,则,‎ 又因为,‎ 故切线方程为,即.‎ ‎14.10万元 ‎【解析】由已知得,2018年小王的就医费用为%万元,‎ 则2019年小王的就医费用为(万元),‎ 所以小王2019年生的家庭总收入为(万元).‎ ‎15.‎ ‎【解析】由,且(为坐标原点),‎ 得,所以,,,‎ 又因为,解得,‎ 所以,,故椭圆的标准方程为.‎ ‎16.①②③ ‎ ‎【解析】对于①,由条件知,对任意正整数,有,‎ 又时,求得,所以是等差数列,故①正确;‎ 对于②,由①可知,或,‎ 显然,当时,成立;‎ 当时,,故②正确;‎ 对于③仅需考虑,同号的情况即可,可设,均为正,‎ 由②得,,‎ 此时,,‎ 从而 ‎,故③正确;‎ 综上,正确的序号①②③.‎ ‎17.【解析】(1)由得 ‎,‎ 由正弦定理得,即,‎ 所以,‎ 因为,所以.‎ ‎(2)由(1)得,‎ 即,所以,即,‎ 所以.‎ ‎18.解:(1)设重度污染区AQI平均值为,‎ 则,解得.‎ ‎(2)①AQI在上的有天,‎ AQI在上的有天,‎ AQI在上的有天,‎ 所以11月份AQI不小于150天的共天.‎ 即能参加户外活动的概率为.‎ ‎②由①AQI在上的有5天,编号设为,,,,,‎ AQI在上的有2天,编号设为,,从7天中抽取两天有:‎ ‎,,,,,,‎ ‎,,,,,‎ ‎,,,,‎ ‎,,,‎ ‎,,,共21种.‎ 满足条件的有,,,,,,,,,,共10种,‎ 所以满足条件的概率为.‎ ‎19.【解析】(1)证明:连接、,‎ 因为、分别为、的中点,‎ 所以,,‎ 又因为,,‎ 所以易证为平行四边形,所以,‎ 又因为为的中点,则,‎ 而,,所以平面平面,‎ 又平面,故平面.‎ ‎(2)连接,‎ 因为,,,‎ 所以平面,所以,‎ ‎,,,‎ ‎,‎ 在中,,,,‎ 所以,‎ 所以,,‎ 所以四棱锥的表面积为.‎ ‎20.【解析】依题意得,曲线上的点到点的距离与到直线的距离相等,‎ 所以曲线的方程为:.‎ 过点且倾斜角为的直线方程为,‎ 设,,‎ 联立,得,‎ 则,,‎ 则.‎ ‎(2)假设满足条件的直线存在,其方程为,‎ ‎,则以为直径的圆的方程为,‎ 将直线代入,得,‎ 则,‎ 设直线与以为直径的圆的交点为,,‎ 则,,‎ 于是有 ‎,‎ 当,即时,为定值.‎ 故满足条件的直线存在,其方程为.‎ ‎21.【解析】(1)的定义域为,‎ ‎,‎ 令,得或(舍).‎ 当时,,‎ 当时,,‎ 所以在上单调递增,在上单调递减.‎ 因此,函数的单调递增区间为,单调递减区间为.‎ ‎(2),‎ 当时,,‎ 因为单调递减,‎ 所以,‎ ‎∴在上单调递增,‎ 又,,‎ 所以存在唯一的,使得.‎ 当时,,‎ ‎,∴单调递减,‎ 又,∴,‎ ‎∴在上单调递增,‎ ‎∵,∴,故不存在零点.‎ 当时,,,‎ 所以单调递减,‎ 又,,‎ 所以存在,使得.‎ 当时,,单调递增,‎ 当时,,单调递递减,‎ 又,‎ ‎,,‎ 所以存在唯一的,使得,‎ 当时,,故不存在零点.‎ 综上,存在两个零点,,且,,‎ 因此,的最小值为3.‎ ‎22.【解析】(1)消去参数,得到曲线的标准方程为,‎ 故曲线的极坐标方程为.‎ ‎(2)在极坐标系中,设,,‎ 其中,,,‎ 由(1)知:,,‎ 则的面积,‎ 即 ‎,‎ 当时,,‎ 所以面积的最大值为.‎ ‎23.【解析】(1)证明:因为,为正数,所以,‎ 同理可得,,‎ 则,‎ 当且仅当时,等号成立.‎ 即.‎ ‎(2)证明:要证,‎ 只要证即可,‎ 即证,‎ 即证,‎ 即证,‎ 因为,,,‎ 所以,‎ 当且仅当,,时等号成立,得证.‎