数学文·安徽省安徽师大附中2016-2017学年高二上学期期中考试数学文试卷 Word版含解析x 20页

‎2016-2017学年安徽师大附中高二（上）期中数学试卷（文科）‎ ‎　‎ 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）‎ ‎1．下列说法正确的是（　　）‎ A．三点确定一个平面 B．四边形一定是平面图形 C．梯形一定是平面图形 D．一条直线和一个点确定一个平面 ‎2．某几何体的正视图和侧视图均如图所示，则该几何体的俯视图不可能是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎3．已知水平放置的△ABC按“斜二测画法”得到如图所示的直观图，其中B′O′=C′O′=1，A′O′=，那么△ABC是一个（　　）‎ A．等边三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．钝角三角形 ‎4．圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，圆台的侧面积为84π，则圆台较小底面的半径为（　　）‎ A．7 B．6 C．5 D．3‎ ‎5．在梯形ABCD中，∠ABC=，AD∥BC，BC=2AD=2AB=2，将梯形ABCD绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为（　　）‎ A． B． C． D．2π ‎6．对于任意的直线l与平面α，在平面α内必有直线m，使m与l（　　）‎ A．平行 B．相交 C．垂直 D．互为异面直线 ‎7．设有直线m、n和平面α、β，下列四个命题中，正确的是（　　）‎ A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若mα，nα，m∥β，n∥β，则α∥β C．若α⊥β，mα，则m⊥β D．若α⊥β，m⊥β，mα，则m∥α ‎8．如图正方体中，O，O1为底面中心，以OO1所在直线为旋转轴，线段BC1形成的几何体的正视图为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎9．给出以下四个命题，‎ ‎①如果平面α，β，γ满足α⊥γ，β⊥γ，α∩β=l，则l⊥γ ‎②若直线l上有无数个点不在平面α内，则l∥α ‎③已知a，b是异面直线，α，β为两个平面，若a⊂α，a∥β，b⊂β，b∥α，则α∥β ‎④一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的无数条直线 其中正确命题的个数是（　　）‎ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 ‎10．在棱长为2的正方体内有一四面体A﹣BCD，其中B，C分别为正方体两条棱的中点，其三视图如图所示，则四面体A﹣BCD的体积为（　　）‎ A． B．2 C． D．1‎ ‎11．设四棱锥P﹣ABCD的底面不是平行四边形，用平面 α去截此四棱锥，使得截面四边形是平行四边形，则这样的平面α（　　）‎ A．不存在 B．只有1个 C．恰有4个 D．有无数多个 ‎12．异面直线a，b所成的角60°，直线a⊥c，则直线b与c所成的角的范围为（　　）‎ A．[，] B．[，] C．[，] D．[，]‎ ‎　‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在答题卡的相应位置.）‎ ‎13．（4分）已知一个球的内接正方体的表面积为S，那么这个球的半径为 　　．‎ ‎14．（4分）已知一个空间几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸，可得这个几何体的全面积为　　．‎ ‎15．（4分）已知三棱锥P﹣ABC的三条侧棱两两垂直，且分别长为2、4、4，则顶点P到面ABC的距离为　　．‎ ‎16．（4分）棱长为1的正四面体内有一点P，由点P向各面引垂线，垂线段长度分别为d1，d2，d3，d4，则d1+d2+d3+d4的值为　　．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共5小题，共48分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解答写在答题卡上的指定区域内.）‎ ‎17．（8分）如图所示的三幅图中，图（1）所示的是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图，它的正视图和侧视图如图（2）（3）所示（单位：cm）．‎ ‎（1）按照画三视图的要求将右侧三视图补充完整．‎ ‎（2）按照给出的尺寸，求该多面体的体积．‎ ‎18．（8分）如图，ABCD是正方形，O是正方形的中心，PO⊥底面ABCD，E是PC的中点．求证：‎ ‎（Ⅰ）PA∥平面BDE；‎ ‎（Ⅱ）平面PAC⊥平面BDE．‎ ‎19．（8分）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1，O是底ABCD对角线的交点．求证：‎ ‎（1）C1O∥面AB1D1；‎ ‎（2）面OC1D∥面AB1D1．‎ ‎20．（12分）已知四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AD∥BC，AB⊥BC，AB=AD=1，BC=2，又PB⊥平面ABCD，且PB=1，点E在棱PD上，且DE=2PE．‎ ‎（Ⅰ）求异面直线PA与CD所成的角的大小；‎ ‎（Ⅱ）求证：BE⊥平面PCD；‎ ‎（Ⅲ）求二面角A﹣PD﹣B的大小．‎ ‎21．（12分）如图，在斜三棱柱ABC﹣A1B1C1中，点O、E分别是A1C1、AA1的中点，AO⊥平面A1B1C1．已知∠BCA=90°，AA1=AC=BC=2．‎ ‎（1）证明：OE∥平面AB1C1；‎ ‎（2）证明：AB1⊥A1C；‎ ‎（3）设P是棱CC1 的中点，求P到侧面ABB1A的距离．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年安徽师大附中高二（上）期中数学试卷（文科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）‎ ‎1．（2016秋•镜湖区校级期中）下列说法正确的是（　　）‎ A．三点确定一个平面 B．四边形一定是平面图形 C．梯形一定是平面图形 D．一条直线和一个点确定一个平面 ‎【考点】命题的真假判断与应用．‎ ‎【专题】计算题；空间位置关系与距离．‎ ‎【分析】不共线的三点确定一个平面；四边形有可能是空间图形；梯形中两条平行线确定一个平面，故梯形一定是平面图形；直线与直线外一点确定一个平面．‎ ‎【解答】解：不共线的三点确定一个平面，共线的三点确定无数个平面，故A不正确；‎ 四边形有可能是平面图形，有可能是空间图形，故B不正确；‎ 梯形中两条平行线确定一个平面，故梯形一定是平面图形，故C正确；‎ 直线与直线外一点确定一个平面，直线与直线上一点确定无数个平面，故D不正确．‎ 故选C．‎ ‎【点评】本题考查命题的真假判断，是基础题．解题时要注意平面的公理及其推论的灵活运用．‎ ‎　‎ ‎2．（2015•肇庆二模）某几何体的正视图和侧视图均如图所示，则该几何体的俯视图不可能是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】简单空间图形的三视图．‎ ‎【专题】作图题．‎ ‎【分析】由图可知，此几何体为组合体，对照选项分别判断组合体的结构，能吻合的排除，不吻合的为正确选项 ‎【解答】解：依题意，此几何体为组合体，若上下两个几何体均为圆柱，则俯视图为A 若上边的几何体为正四棱柱，下边几何体为圆柱，则俯视图为B；‎ 若上边的几何体为底面为等腰直角三角形的直三棱柱，下面的几何体为正四棱柱时，俯视图为C；‎ 若俯视图为D，则正视图中上图中间还有一条虚线，故该几何体的俯视图不可能是D 故选D ‎【点评】本题考查三视图与直观图的关系，考查空间想象能力，作图能力．‎ ‎　‎ ‎3．（2015秋•蚌埠期末）已知水平放置的△ABC按“斜二测画法”得到如图所示的直观图，其中B′O′=C′O′=1，A′O′=，那么△ABC是一个（　　）‎ A．等边三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．钝角三角形 ‎【考点】斜二测法画直观图．‎ ‎【专题】空间位置关系与距离．‎ ‎【分析】根据“斜二测画法”的画图法则，结合已知，可得△ABC中，BO=CO=1，AO=，结合勾股定理，求出△ABC的三边长，可得△ABC的形状．‎ ‎【解答】解：由已知中△ABC的直观图中B′O′=C′O′=1，A′O′=，‎ ‎∴△ABC中，BO=CO=1，AO=，‎ 由勾股定理得：AB=AC=2，‎ 又由BC=2，‎ 故△ABC为等边三角形，‎ 故选：A ‎【点评】本题考查的知识点是斜二侧画几何体的直观图，三角形形状的判断，难度不大，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎4．（2013•宣武区校级模拟）圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，圆台的侧面积为84π，则圆台较小底面的半径为（　　）‎ A．7 B．6 C．5 D．3‎ ‎【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．‎ ‎【专题】计算题．‎ ‎【分析】设出上底面半径为r，利用圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，圆台的侧面积为84π，求出上底面半径，即可．‎ ‎【解答】解：设上底面半径为r，因为圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，圆台的侧面积为84π，所以S侧面积=π（r+3r）l=84π，r=7‎ 故选A ‎【点评】本题是基础题，考查 圆台的侧面积公式，考查计算能力，送分题．‎ ‎　‎ ‎5．（2015•山东）在梯形ABCD中，∠ABC=，AD∥BC，BC=2AD=2AB=2，将梯形ABCD绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为（　　）‎ A． B． C． D．2π ‎【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．‎ ‎【专题】空间位置关系与距离．‎ ‎【分析】画出几何体的直观图，利用已知条件，求解几何体的体积即可．‎ ‎【解答】解：由题意可知几何体的直观图如图：旋转体是底面半径为1，高为2的圆柱，挖去一个相同底面高为1的倒圆锥，‎ 几何体的体积为：=．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查几何体的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力．画出几何体的直观图是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎6．（2006•重庆）对于任意的直线l与平面α，在平面α内必有直线m，使m与l（　　）‎ A．平行 B．相交 C．垂直 D．互为异面直线 ‎【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．‎ ‎【专题】分类讨论．‎ ‎【分析】由题意分两种情况判断①l⊂α；②l⊄α，再由线线的位置关系的定义判断．‎ ‎【解答】解：对于任意的直线l与平面α，分两种情况 ‎①l在平面α内，l与m共面直线，则存在直线m⊥l或m∥l；‎ ‎②l不在平面α内，且l⊥α，则平面α内任意一条直线都垂直于l； 若l于α不垂直，‎ 则它的射影在平面α内为一条直线，在平面α内必有直线m垂直于它的射影，则m与l垂直；‎ 若l∥α，则存在直线m⊥l．‎ 故选C．‎ ‎【点评】本题主要考查了线线及线面的位置关系，利用线面关系的定义判断，重点考查了感知能力．‎ ‎　‎ ‎7．（2008•湖南）设有直线m、n和平面α、β，下列四个命题中，正确的是（　　）‎ A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若mα，nα，m∥β，n∥β，则α∥β C．若α⊥β，mα，则m⊥β D．若α⊥β，m⊥β，mα，则m∥α ‎【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．‎ ‎【专题】证明题．‎ ‎【分析】由面面平行的判定定理和线面平行的定理判断A、B、D；由面面垂直的性质定理判断C．‎ ‎【解答】解：A不对，由面面平行的判定定理知，m与n可能相交，也可能是异面直线；B不对，由面面平行的判定定理知少相交条件；‎ C不对，由面面垂直的性质定理知，m必须垂直交线；‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查了线面的位置关系，主要用了面面垂直和平行的定理进行验证，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎8．（2016秋•镜湖区校级期中）如图正方体中，O，O1为底面中心，以OO1所在直线为旋转轴，线段BC1形成的几何体的正视图为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】简单空间图形的三视图．‎ ‎【专题】计算题；分类讨论；分析法；空间位置关系与距离．‎ ‎【分析】选项A、B、D中的几何体是圆台、圆锥、圆柱或由它们组成，而圆台、圆锥、圆柱的侧面除了与旋转轴在同一平面的母线以外，没有其他直线，由此排除A、B、D．‎ ‎【解答】解：选项A、B、D中的几何体是圆台、圆锥、圆柱或由它们组成，‎ 而圆台、圆锥、圆柱的侧面除了与旋转轴在同一平面的母线以外，没有其他直线．‎ 即A、B、D不可能．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查空间图形的三视图的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意排除法的合理运用．‎ ‎　‎ ‎9．（2016秋•镜湖区校级期中）给出以下四个命题，‎ ‎①如果平面α，β，γ满足α⊥γ，β⊥γ，α∩β=l，则l⊥γ ‎②若直线l上有无数个点不在平面α内，则l∥α ‎③已知a，b是异面直线，α，β为两个平面，若a⊂α，a∥β，b⊂β，b∥α，则α∥β ‎④一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的无数条直线 其中正确命题的个数是（　　）‎ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 ‎【考点】命题的真假判断与应用．‎ ‎【专题】探究型；空间位置关系与距离；空间角；简易逻辑．‎ ‎【分析】根据空间线面关系的定义及几何特征，逐一分析四个命题的真假，可得答案．‎ ‎【解答】解：①如果平面α，β，γ满足α⊥γ，β⊥γ，α∩β=l，则l⊥γ，故正确；‎ ‎②若直线l上有无数个点不在平面α内，则l∥α，或l与α相交，故错误；‎ ‎③已知a，b是异面直线，α，β为两个平面，若a⊂α，a∥β，b⊂β，b∥α，则α∥β，故正确；‎ ‎④一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的无数条直线，故正确；‎ 综上可得：正确的命题有3个，‎ 故选：C ‎【点评】本题以命题的真假判断应用为载体，考查了复合命题，函数的单调性，函数图象变换等知识点，难度中档．‎ ‎　‎ ‎10．（2014秋•南湖区校级期末）在棱长为2的正方体内有一四面体A﹣BCD，其中B，C分别为正方体两条棱的中点，其三视图如图所示，则四面体A﹣BCD的体积为（　　）‎ A． B．2 C． D．1‎ ‎【考点】由三视图求面积、体积．‎ ‎【专题】空间位置关系与距离．‎ ‎【分析】根据已知中的三视图，确定A，B，C，D四点的位置，进而利用割补法，可求出四面体A﹣BCD的体积．‎ ‎【解答】解：由已知中的三视图，可得A，B，C，D四点位置如下图所示：‎ ‎∵正方体的棱长为2，故AB=BD=AC=CD=，AD=2，BC=，‎ 令E为AD的中点，连接BE，CE，‎ 则BE⊥AD，CE⊥AD，‎ 则AD⊥平面BCE，‎ 由勾股定理可得：BE=CE=，‎ 由海伦公式平面BCE的面积S=，‎ 又由AD=2，‎ 故四面体A﹣BCD的体积V=××2=1，‎ 故选：D ‎【点评】本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，解决本题的关键是得到该几何体的形状．‎ ‎　‎ ‎11．（2007•鼓楼区校级模拟）设四棱锥P﹣ABCD的底面不是平行四边形，用平面 α去截此四棱锥，使得截面四边形是平行四边形，则这样的平面α（　　）‎ A．不存在 B．只有1个 C．恰有4个 D．有无数多个 ‎【考点】棱锥的结构特征．‎ ‎【专题】证明题．‎ ‎【分析】若要使截面四边形A1B1C1D1是平行四边形，我们只要证明A1B1∥C1D1，同时A1D1∥B1C1即可，根据已知中侧面PAD与侧面PBC相交，侧面PAB与侧面PCD相交，根据面面平行的性质定理，我们易得结论．‎ ‎【解答】证明：由侧面PAD与侧面PBC相交，侧面PAB与侧面PCD相交，‎ 设两组相交平面的交线分别为m，n，‎ 由m，n决定的平面为β，‎ 作α与β平行且与四条侧棱相交，‎ 交点分别为A1，B1，C1，D1‎ 则由面面平行的性质定理得：‎ A1B1∥m∥D1C1，A1D1∥n∥B1C1，‎ 从而得截面必为平行四边形．‎ 由于平面α可以上下移动，则这样的平面α有无数多个．‎ 故选D．‎ ‎【点评】本小题主要考查棱锥的结构特征、面面平行的性质定理等基础知识，考查了转化思想，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎12．（2016秋•镜湖区校级期中）异面直线a，b所成的角60°，直线a⊥c，则直线b与c所成的角的范围为（　　）‎ A．[，] B．[，] C．[，] D．[，]‎ ‎【考点】异面直线及其所成的角．‎ ‎【专题】计算题；数形结合；数形结合法；空间角．‎ ‎【分析】作b的平行线b′，交a于O点，在直线b′上取一点P，作PP'⊥平面α，交平面α于P'，∠POP'是b′与面α的夹角，在平面α所有与OP'垂直的线与b'的夹角为，由此能求出直线b与c所成的角的范围．‎ ‎【解答】解：作b的平行线b′，交a于O点，‎ 所有与a垂直的直线平移到O点组成一个与直线a垂直的平面α，‎ O点是直线a与平面α的交点，‎ 在直线b′上取一点P，作垂线PP'⊥平面α，交平面α于P'，‎ ‎∠POP'是b′与面α的夹角，为．‎ 在平面α中，所有与OP'平行的线与b′的夹角都是．‎ 由于PP'垂直于平面α，所以该线垂直与PP′，‎ 则该线垂直于平面OPP'，所以该线垂直与b'，‎ 故在平面α所有与OP'垂直的线与b'的夹角为，‎ 与OP'夹角大于0，小于的线，与b'的夹角为锐角且大于．‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查异面直线所成角的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．‎ ‎　‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在答题卡的相应位置.）‎ ‎13．（4分）（2016秋•镜湖区校级期中）已知一个球的内接正方体的表面积为S，那么这个球的半径为 　　．‎ ‎【考点】球的体积和表面积．‎ ‎【专题】计算题．‎ ‎【分析】利用球与其内接正方体的关系，得出球的半径与其内接正方体边长之间的关系是解决本题的关键，发现球的直径就是其内接正方体的体对角线长．‎ ‎【解答】解：球的内接正方体的表面积为S得出正方体的边长为，故该球的直径为，故球的半径为．‎ 故答案为：．‎ ‎【点评】本题考查空间几何体的内外接问题，要找准球与其内接正方体之间的联系，建立球的半径与正方体边长之间的关系，体现了转化与化归思想．‎ ‎　‎ ‎14．（4分）（2016秋•镜湖区校级期中）已知一个空间几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸，可得这个几何体的全面积为　10+2+4　．‎ ‎【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．‎ ‎【专题】计算题；数形结合；数形结合法；空间位置关系与距离．‎ ‎【分析】画出几何体的直观图，求出各棱长，进而求出各个面的面积，相加可得答案．‎ ‎【解答】解：该几何体的直观图如图所示：‎ 其中：PA=AD=AB=2，BC=4，‎ PB=PD=CD=2，PC=2，‎ 故S△PAB=S△PAD=2，‎ S△PBC=4，‎ S△PCD=2，‎ SABCD=6，‎ 故这个几何体的全面积S=10+2+4，‎ 故答案为：10+2+4‎ ‎【点评】本题考查的知识点是棱锥的体积和表面积，几何体的三视图，难度不大，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎15．（4分）（2016秋•镜湖区校级期中）已知三棱锥P﹣ABC的三条侧棱两两垂直，且分别长为2、4、4，则顶点P到面ABC的距离为　　．‎ ‎【考点】点、线、面间的距离计算．‎ ‎【专题】计算题；空间位置关系与距离．‎ ‎【分析】以PA、PB、PC为过同一顶点的三条棱，构造长方体，以CP为x轴，以CD为y轴，以CG为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法求解．‎ ‎【解答】解：以PA、PB、PC为过同一顶点的三条棱，作长方体如图，‎ 以CP为x轴，以CD为y轴，以CG为z轴，建立空间直角坐标系，‎ ‎∵PA=2，PB=PC=4，‎ ‎∴P（4，0，0），A（4，0，2），B（4，4，0），C（0，0，0），‎ ‎∴=（4，0，0），，=（4，4，0），‎ 设平面ABC的法向量，则，=0，‎ ‎∴，解得=（1，﹣1，﹣2），‎ ‎∴顶点P到面ABC的距离d===．‎ 故答案为：．‎ ‎【点评】本题考查点到平面的距离的求法，解题时要认真审题，合理地构造长方体，注意向量法的合理运用．‎ ‎　‎ ‎16．（4分）（2016秋•镜湖区校级期中）棱长为1的正四面体内有一点P，由点P向各面引垂线，垂线段长度分别为d1，d2，d3，d4，则d1+d2+d3+d4的值为　　．‎ ‎【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．‎ ‎【专题】计算题；等体积法．‎ ‎【分析】利用正四面体的体积相等，作等积变换，求d1+d2+d3+d4的值．‎ ‎【解答】解：由于正四面体的边长为1，其高为h=‎ 如图，正四面体ABCD内有一点P，作等积变换 VA﹣BCD=VP﹣ABC+VP﹣ACD+VP﹣ABD+VP﹣BCD 即：，‎ 所以有d1+d2+d3+d4为定值 ‎ 故答案为：‎ ‎【点评】本题是基础题，考查正四面体的体积的计算，转化思想的应用，考查空间想象能力，计算能力．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共5小题，共48分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解答写在答题卡上的指定区域内.）‎ ‎17．（8分）（2016秋•镜湖区校级期中）如图所示的三幅图中，图（1）所示的是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图，它的正视图和侧视图如图（2）（3）所示（单位：cm）．‎ ‎（1）按照画三视图的要求将右侧三视图补充完整．‎ ‎（2）按照给出的尺寸，求该多面体的体积．‎ ‎【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．‎ ‎【专题】计算题；作图题；空间位置关系与距离．‎ ‎【分析】（1）由已知中直观图，正视图及侧视图，可得几何体的俯视图；‎ ‎（2）所求多面体的体积V=V长方体﹣V正三棱锥，进而得到答案．‎ ‎【解答】解：（1）几何体的俯视图如下图所示：‎ ‎﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣‎ ‎（2）所求多面体的体积V=V长方体﹣V正三棱锥=4×4×6﹣×（×2×2）×2= （cm3）．﹣﹣﹣﹣（8分）‎ ‎【点评】本题考查的知识点是棱柱棱锥的体积，几何体的三视图，分析出几何体的形状，是解答的关键．‎ ‎　‎ ‎18．（8分）（2015•中山市校级二模）如图，ABCD是正方形，O是正方形的中心，PO⊥底面ABCD，E是PC的中点．求证：‎ ‎（Ⅰ）PA∥平面BDE；‎ ‎（Ⅱ）平面PAC⊥平面BDE．‎ ‎【考点】平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．‎ ‎【专题】空间位置关系与距离．‎ ‎【分析】（I）根据线面平行的判定定理证出即可；（II）根据面面垂直的判定定理证明即可．‎ ‎【解答】证明：（I）∵O是AC的中点，E是PC的中点，‎ ‎∴OE∥AP，又∵OE⊂平面BDE，PA ‎⊄平面BDE．‎ ‎∴PA∥平面BDE．‎ ‎（II）∵PO⊥底面ABCD，PO⊥BD，‎ 又∵AC⊥BD，且AC∩PO=O ‎∴BD⊥平面PAC，而BD⊂平面BDE，‎ ‎∴平面PAC⊥平面BDE ‎【点评】本题考查了线面平行的判定定理，面面垂直的判定定理，是一道基础题．‎ ‎　‎ ‎19．（8分）（2016秋•镜湖区校级期中）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1，O是底ABCD对角线的交点．求证：‎ ‎（1）C1O∥面AB1D1；‎ ‎（2）面OC1D∥面AB1D1．‎ ‎【考点】平面与平面平行的判定；直线与平面平行的判定．‎ ‎【专题】作图题；证明题；转化思想；空间位置关系与距离．‎ ‎【分析】（1）线面平行，只需要证明线线平行．连接A1C1交于O1．连接AO1只需要证明AO1∥C1O即可．‎ ‎（2）面面平行，只需要证明一个平面内条的两条相交直线与平面平行即可，B1D1∥BD，AO1∥C1O，‎ BD∩C1O=O，那么可证得面OC1D∥面AB1D1．‎ ‎【解答】解：（1）由题意：几何体ABCD﹣A1B1C1D1是正方体，O是底ABCD对角线的交点，‎ ‎∴B1D1∥BD，‎ 连接A1C1交于O1，连接AO1，‎ C1O1‎ ‎∴C1O1AO是平行四边形．‎ ‎∴AO1∥C1O．‎ ‎∵AO1⊂面AB1D1；‎ ‎∴C1O∥面AB1D1；‎ 得证．‎ ‎（2）．∵B1D1∥BD，即OD∥B1D1，‎ OD⊂面OC1D，‎ ‎∴OD∥面AB1D1．‎ 由（1）可得C1O∥面AB1D1；‎ OD∩C1O=O，‎ 所以：面OC1D∥面AB1D1．‎ ‎【点评】本题考查了线面平行和面面平行的证明．线面平行转化为线线平行；面面平行转化为线面平行．属于基础题．‎ ‎　‎ ‎20．（12分）（2014•抚顺二模）已知四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AD∥BC，AB⊥BC，AB=AD=1，BC=2，又PB⊥平面ABCD，且PB=1，点E在棱PD上，且DE=2PE．‎ ‎（Ⅰ）求异面直线PA与CD所成的角的大小；‎ ‎（Ⅱ）求证：BE⊥平面PCD；‎ ‎（Ⅲ）求二面角A﹣PD﹣B的大小．‎ ‎【考点】异面直线及其所成的角；直线与平面垂直的判定；与二面角有关的立体几何综合题．‎ ‎【专题】计算题；证明题．‎ ‎【分析】（1）由于直线PA与CD不在同一平面内，要把两条异面直线移到同一平面内，做AF∥CD，异面直线PA与CD所成的角与AF与PA所成的角相等．‎ ‎（2）由三角形中等比例关系可得BE⊥PD，由于CD=BD=得，BC=2，可知三角形BCD为直角三角形，即CD⊥DB．同时利用勾股定理也可得CD⊥PD，即可得CD⊥平面PDB．即CD⊥BE，即可得证．‎ ‎（3）连接AF，交BD于点O，则AO⊥BD．过点O作OH⊥PD于点H，连接AH，则AH⊥PD，则∠AHO为二面角A﹣PD﹣B的平面角．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）取BC中点F，连接AF，则CF=AD，且CF∥AD，‎ ‎∴四边形ADCF是平行四边形，∴AF∥CD，‎ ‎∴∠PAF（或其补角）为异面直线PA与CD所成的角（2分）‎ ‎∵PB⊥平面ABCD，∴PB⊥BA，PB⊥BF．‎ ‎∵PB=AB=BF=1，∴AB⊥BC，∴PA=PF=AF=． （4分）‎ ‎∴△PAF是正三角形，∠PAF=60°‎ 即异面直线PA与CD所成的角等于60°． （5分）‎ ‎（Ⅱ）在Rt△PBD中，PB=1，BD=，∴PD=‎ ‎∵DE=2PE，∴PE=‎ 则，∴△PBE∽△PDB，∴BE⊥PD、（7分）‎ 由（Ⅰ）知，CF=BF=DF，∴∠CDB=90°．‎ ‎∴CD⊥BD、又PB⊥平面PBD，∴PB⊥CD、‎ ‎∵PB∩BD=B，∴CD⊥平面PBD，∴CD⊥BE （9分）‎ ‎∵CD∩PD=D，∴BE⊥平面PCD、（10分）‎ ‎（Ⅲ）连接AF，交BD于点O，则AO⊥BD、‎ ‎∵PB⊥平面ABCD，∴平面PBD⊥平面ABD，∴AO⊥平面PBD、‎ 过点O作OH⊥PD于点H，连接AH，则AH⊥PD、‎ ‎∴∠AHO为二面角A﹣PD﹣B的平面角． （12分）‎ 在Rt△ABD中，AO=．‎ 在Rt△PAD中，AH=． （14分）‎ 在Rt△AOH中，sin∠AHO=．‎ ‎∴∠AHO=60°．‎ 即二面角A﹣PD﹣B的大小为60°． （15分）‎ ‎【点评】此题主要考查异面直线的角度及余弦值计算．‎ ‎　‎ ‎21．（12分）（2016秋•镜湖区校级期中）如图，在斜三棱柱ABC﹣A1B1C1中，点O、E分别是A1C1、AA1的中点，AO⊥平面A1B1C1．已知∠BCA=90°，AA1=AC=BC=2．‎ ‎（1）证明：OE∥平面AB1C1；‎ ‎（2）证明：AB1⊥A1C；‎ ‎（3）设P是棱CC1 的中点，求P到侧面ABB1A的距离．‎ ‎【考点】点、线、面间的距离计算；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的性质．‎ ‎【专题】综合题；转化思想；演绎法；空间位置关系与距离．‎ ‎【分析】（1）由中位线定理得出OE∥AC1，故而OE∥平面AB1C1；‎ ‎（2）通过证明A1C⊥平面AB1C1得出AB1⊥A1C；‎ ‎（3）利用等体积得出C1到平面AA1B1的距离d，即可得出P到侧面ABB1A的距离．‎ ‎【解答】证明：（1）∵点O、E分别是A1C1、AA1的中点，‎ ‎∴OE∥AC1，‎ 又∵EO⊄平面AB1C1，AC1⊂平面AB1C1，‎ ‎∴OE∥平面AB1C1，‎ ‎（2）∵AO⊥平面A1B1C1，B1C1⊂平面A1B1C1，‎ ‎∴AO⊥B1C1，‎ 又∵A1C1⊥B1C1，A1C1∩AO=O，‎ ‎∴B1C1⊥平面A1C1CA，又A1C⊂平面A1C1CA，‎ ‎∴A1C⊥B1C1．‎ ‎∵AA1=AC，∴四边形A1C1CA为棱形，‎ ‎∴A1C⊥AC1，又B1C1∩AC1=C1，B1C1⊂平面AB1C1，AC1⊂平面AB1C1，‎ ‎∴A1C⊥平面AB1C1，又AB1⊂平面AB1C1，‎ ‎∴AB1⊥A1C．‎ ‎（3）解：由题意，P到侧面ABB1A的距离等于点C1到平面AA1B1的距离．‎ ‎∵∠BCA=90°，AA1=AC=BC=2，‎ ‎∴A1O=A1C1=1，AC1=2，‎ ‎∴AO=，A1B1=2，AB1=2，‎ ‎∴==2，==‎ ‎∴=×2×=．‎ 设点C1到平面AA1B1的距离为d，则=××d，即d=，‎ ‎∴P到侧面ABB1A的距离等于．‎ ‎【点评】本题考查了线面平行的判定，线面垂直的判定，空间距离的计算，属于中档题．‎