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- 2021-06-20 发布
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高中数学(人教A版)必修4同步试题
1.在四边形ABCD中,=+,则( )
A.ABCD一定是矩形
B.ABCD一定是菱形
C.ABCD一定是正方形
D.ABCD一定是平行四边形
解析 由向量的平行四边形法则知,ABCD一定是平行四边形.
答案 D
2.向量(+)+(+)+化简后等于( )
A. B.
C. D.
解析 (+)+(+)+=(+)+(++)=+0=,故选C.
答案 C
3.向量a,b皆为非零向量,下列说法不正确的是( )
A.向量a与b反向,且|a|>|b|,则向量a+b与a的方向相同
B.向量a与b反向,且|a|<|b|,则向量a+b与a的方向相同
C.向量a与b同向,则向量a+b与a的方向相同
D.向量a与b同向,则向量a+b与b的方向相同
解析 向量a与b反向,且|a|<|b|,则a+b应与b方向相同,因此B错.
答案 B
4.对任意向量a,b,在下式中:①a+b=b+a;②(a+b)+c=b+(a+c);③|a+b|=|a|+|b|;④|a+b|≤|a|+|b|,恒成立的有( )
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
解析 因为向量加法满足交换律,结合律,所以①,②恒成立.|a+b|=|a|+|b|仅当a与b同向或有零向量时成立,所以③不恒成立.由向量模的几何定义知④恒成立.故选C.
答案 C
5.正方形ABCD的边长为1,=a,=c,=b,则|a+b+c|为( )
A.0 B.
C.3 D.2
解析 |a+b+c|=|2c|=2|c|=2.应选D.
答案 D
6.若a,b满足|a|=2,|b|=3,则|a+b|的最大值为__________,最小值为__________.
解析 当a与b同向时,|a+b|有最大值|a|+|b|=5.
当a与b反向时,|a+b|有最小值|b|-|a|=1.
答案 5 1
7.下列结论:
①a-a=0;②a-b=a+(-b);③设a,b为任意向量,则|a+b|>0;④若∥,且||=2012,||=1,则|+|=2013.
其中正确的有________.
解析 a-a=0,故①错;②正确;③中当a+b=0时,不成立,故③错;④中当与方向相反时,不正确,故④错.
答案 ②
8.设a表示“向东走了2 km”,b表示“向南走了2 km”,c表示“向西走了2 km”,d表示“向北走了2 km”,则
(1)a+b+c表示向________走了________km;
(2)b+c+d表示向________走了________km;
(3)|a+b|=________,a+b的方向是________.
解析 (1)如图所示,a+b+c
表示向南走了2 km.
(2)如图②所示,b+c+d表示向西走了2 km.
(3)如图①所示,|a+b|==2,a+b的方向是东南.
答案 (1)南 2 km
(2)西 2 km
(3)2 东南
9.如图,O为正六边形ABCDEF的中心,作出下列向量:
(1)+;
(2)+;
(3)+.
解
(1)如图,由正六边形的性质知,OABC为平行四边形,
∴+=.
(2)由图知,===,
∴+=+=.
(3)∵=,=,
∴+
=+=+=0.
10.
如右图所示,P,Q是△ABC的边BC上的两点,且=.
求证:+=+.
证明 由图可知=+,
=+,
∴+=+++.
∵=,
又与模相等,方向相反,
故+=+=0.
∴+=+.
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1.在Rt△ABC中,若∠A=90°,||=2,||=3,则+的模等于( )
A. B.2
C.3 D.5
解析 由题意知|+|===,应选A.
答案 A
2.已知下列各式:
①++;
②(+)++;
③+++;
④+++.
其中结果为0的个数为( )
A.1 B.2
C.3 D.4
解析 ①++=+=0.
②(+)++=++=+=≠0.
③+++=+≠0.
④+++=++=+=0.
其中结果为0的有两个.
答案 B
3.①如果非零向量a与b的方向相同或相反,那么a+b的方向必与a,b之一的方向相同;
②△ABC中,必有++=0;
③若++=0,则A,B,C为一个三角形的三个顶点;
④若a,b均为非零向量,则|a+b|与|a|+|b|一定相等.
其中真命题的个数为( )
A.0 B.1
C.2 D.3
解析 ①不正确,当a+b=0时,不成立.②正确.③不正确.当A,B,C共线时,不成立.④不正确.因为|a+b|≤|a|+|b|.应选B.
答案 B
4.已知正方形ABCD的边长为1,则|+++|等于________.
解析 |+++|=|2|=2.
答案 2
5.如图,在正六边形ABCDEF中,=a,=b,求,,.
解 如下图,连接FC交AD于点O,连接OB,由平面几何知识得四边形ABOF和四边形ABCO均为平行四边形.
根据向量的平行四边形法则,有
=+=a+b.
∴=2=2a+2b.
在平行四边形ABCO中,=+=a+a+b=2a+b.
而===a+b,
由三角形法则得
=+=b+a+b=a+2b.