辽宁省沈阳市东北育才学校高中部2020届高三第八次模拟考试数学（理）试题 14页

东北育才学校高中部2020届高三第八次模拟考试 数学试题（理科）‎ ‎ 考试时间：120分钟 试卷满分：150分 ‎ 第Ⅰ卷（选择题共60分）‎ 一、 选择题（共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题列出的四个选项中，选出符 合题目要求的一项.）‎ ‎1.已知集合，集合，则有 A. B. C. D.‎ ‎2.若复数满足，则在复平面内与复数对应的点位于 ‎ A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 ‎3.某地区甲、乙、丙、丁四所高中分别有120、150、180、150名高三学生参加某次数学调研考试. 为了解学生能力水平，现制定以下两种卷面分析方案，方案①：从这600名学生的试卷中抽取一个容量为200的样本进行分析；方案②：丙校参加调研考试的学生中有30名数学培优生，从这些培优生的试卷中抽取10份试卷进行分析．完成这两种方案宜采用的抽样方法依次是 ‎ A.分层抽样法、系统抽样法 B.分层抽样法、简单随机抽样法 ‎ C.系统抽样法、分层抽样法 D.简单随机抽样法、分层抽样法 ‎4.“为第一或第四象限角”是“”的 ‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎5.已知正项等比数列的前项和为，，则公比的值为 ‎ A. B. C. D.‎ ‎6.如图，在平行四边形中，为的中点，为的中点，若，则 ‎ A. B. C. D.‎ ‎7.人们通常以分贝（符号是dB）为单位来表示声音强度的等级，其中0dB是人能听到的等级最低的声音. 一般地，如果强度为的声音对应的等级为dB，则有，则90dB的声音与60dB的声音强度之比 ‎ A.100 B.1000 C. D.‎ ‎8．如图，在以下四个正方体中，使得直线与平面垂直的个数是 ‎ ① ② ③ ④‎ ‎ A.1 B.2 C.3 D.4‎ ‎9.已知圆与抛物线的准线交于，两点，且，为该抛物线上一点，，垂足为点，点为该抛物线的焦点.若是等边三角形，则的面积为 ‎ A. B.4 C. D.2‎ ‎10.生活中人们常用“通五经贯六艺”形容一个人才识技艺过人，这里的“六艺”其实源于中国周朝的贵族教育体系，具体包括“礼、乐、射、御、书、数”. 为弘扬中国传统文化，某校在周末学生业余兴趣活动中开展了“六艺”知识讲座，每艺安排一节，连排六节，则满足“数”必须排在前两节，“礼”和“乐”必须相邻安排的概率为 ‎ A. B. C. D.‎ ‎11.已知为双曲线上位于右支上的动点，过作两渐近线的垂线，垂足分别为，，则的最小值为 ‎ A. B. C. D.‎ ‎12.已知函数（，）满足，‎ ‎，且在区间上是单调函数，则的值可能是 A.3 B.4 C.5 D.6‎ 第Ⅱ卷（非选择题共90分）‎ 二、填空题（共4小题，每题5分，共20分，将答案填在答题纸上.）‎ ‎13.等差数列中，，公差，是其前项和，若，则 .‎ ‎14.已知实数，满足约束条件，则的最小值为 .‎ ‎15.圆锥（其中为顶点，为底面圆心）的侧面积与底面积的比是，若圆锥的底面半径为3，则圆锥的内切球的表面积为 . ‎ ‎16.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，为了纪念数学家高斯，人们把函数称为高斯函数，其中表示不超过的最大整数. 设，则函数的所有零点之和为 .‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）‎ ‎17.（本小题满分12分）‎ ‎ 在 ①，②，这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解决相应问题．‎ 已知在锐角中，角，，的对边分别为，，，的面积为，若，，求的面积的大小．‎ ‎18.（本小题满分12分）‎ 某省在高考改革试点方案中规定：从2017年秋季高中入学的新生开始，不分文理科；2020年开始，高考总成绩由语数外三门统考科目和物理、化学等六门选考科目构成．将每门选考科目的考生原始成绩从高到低划分为、、、、、、、共8个等级． 参照正态分布原则，确定各等级人数所占比例分别为、、、、、、、．选考科目成绩计入考生总成绩时，将至等级内的考生原始成绩，依照等比例转换法则，分别转换到、、、、、、、八个分数区间，得到考生的等级成绩．某校高一年级共2000人，为给高一学生合理选科提供依据，对六个选考科目进行测试，其中物理考试原始成绩基本服从正态分布．‎ ‎（Ⅰ）求物理原始成绩在区间的人数；‎ ‎（Ⅱ）按高考改革方案，若从全省考生中随机抽取3人，记表示这3人中等级成绩在区间的人数，求的分布列和数学期望．‎ 附：若随机变量，则，，.‎ ‎19.（本小题满分12分）‎ ‎ 如图，在四边形中，，以为折痕把折起，使点到达点的位置，且.‎ ‎（Ⅰ）证明：平面；‎ ‎（Ⅱ）若为的中点，二面角等于60°，求直线与平面所成角的正弦值.‎ ‎20.(本小题满分12分)‎ ‎ 已知函数，.‎ ‎（Ⅰ）求 函数的单调区间；‎ ‎（Ⅱ）定义：对于函数，若存在，使成立，则称为函数的不动点. 如果函数存在两个不同的不动点，求实数的取值范围.‎ ‎21.（本小题满分12分）‎ 已知长度为4的线段的两个端点分别在轴和轴上运动，动点满足，记动点的轨迹为曲线.‎ ‎（Ⅰ）求曲线的方程；‎ ‎（Ⅱ）设曲线与轴的正半轴交于点，过点作互相垂直的两条直线，分别交曲线于点，两点，连接，求的面积的最大值．‎ 请考生在第22，23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分.‎ ‎22.（本小题满分10分）【选修4－4：坐标系与参数方程】‎ 在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）. 以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知射线的极坐标方程为.‎ ‎（Ⅰ）求曲线的极坐标方程与射线的直角坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）若射线与曲线交于，两点，求.‎ ‎23.（本小题满分10分）【选修4-5: 不等式选讲】‎ 已知，函数，.‎ ‎（Ⅰ）若，求的取值范围；‎ ‎（Ⅱ）若对恒成立，求的最大值与最小值之和.‎ ‎ 东北育才学校高中部2020届高三第八次模拟数学试题（理科）答案 一、选择题共12小题，每小题5分，共60分。‎ ‎1.C 2.D 3.B 4.A 5.D 6.C 7.B 8.B 9.A 10.B 11.D 12.C 二、填空题共4小题，每题5分，满分20分.‎ ‎13. 46 14. 15. 16.‎ ‎17.(本小题满分12分)‎ ‎【详解】因为，，‎ ‎，所以． ………………2分 显然，所以，又，所以．………………4分 若选择①由得,‎ 又,， ………………6分 由，得． ……………………………8分 又 ‎，………………10分 所以． ……………………………12分 若选择②，‎ ‎ ……………………8分 所以 ……………………………12分 ‎18. (本小题满分12分)‎ ‎【详解】（Ⅰ）因为物理原始成绩，‎ 所以 ‎ ‎ ‎． ………………3分 所以物理原始成绩在（47，86）人数为（人）．‎ ‎ ………………5分 ‎（Ⅱ）由题意得，随机抽取1人，其成绩在区间[61,80]内的概率为．‎ ‎ ………………6分 所以随机抽取三人，则的所有可能取值为0,1,2,3，且，‎ 所以，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎． ………………9分 所以的分布列为 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎ ………………10分 因为,所以数学期望． ………………12分 ‎19. (本小题满分12分)‎ ‎【详解】（1）证明：因为，‎ 所以平面，‎ 又因为平面，所以.‎ 又因为，‎ 所以平面. ………………4分 ‎（2）因为，‎ 所以是二面角的平面角，即，‎ 在中，， ………………6分 取的中点，连接，因为,‎ 所以,由（1）知，平面，为的中位线，‎ 所以，即两两垂直， ………………7分 以为原点建立如图所示的坐标系，设，则 ‎，‎ ‎， ………………8分 设平面的一个法向量为，‎ 则由得令，得，‎ ‎ ………………10分 所以，‎ 所以直线与平面所成角正弦值为. ………………12分 ‎20.(本小题满分12分)‎ ‎【详解】(1)的定义域为，‎ 对于函数，‎ ‎①当时，在恒成立.‎ 在恒成立.在为增函数；‎ ‎② 当时，由，得；‎ 由，得；‎ 在为增函数，在减函数.‎ 综上，当时，的单调递增区间为 当时，的单调递增区间为，单调递减区间为 ‎ ‎ ………………4分 ‎（2），‎ 存在不动点，方程有实数根，即有解， ‎ ‎ ………………5分 ‎ 令，，………………6分 ‎ 令，得，‎ 当时，单调递减； ‎ 当时，单调递增； ‎ ‎， ………………8分 设,则,,即时,‎ 将两边取指数,则 ………………10分 当时,‎ 当时 , ‎ 当时，有两个不同的不动点，‎ ‎ ………………12分 ‎21.(本小题满分12分)‎ ‎【详解】（Ⅰ）解：设.‎ ‎，‎ ‎，即.‎ ‎. 又，.‎ 从而.‎ 曲线的方程为. ………………4分 ‎（Ⅱ）由题意可知，直线的斜率存在且不为0．‎ 故可设直线的方程为，由对称性，不妨设，‎ 由，消去得，‎ 则， ………………6分 将式子中的换成，得：． ………………7分 ‎， ………………9分 ‎ 设，则． ‎ 故，取等条件为即，‎ 即，解得时，取得最大值． ………………12分 ‎22.(本小题满分10分)【选修4－4：坐标系与参数方程】‎ 解：（1）由得，‎ 即，‎ 故曲线的极坐标方程为.‎ 射线的直角坐标方程为. ………………5分 ‎（2）将代入，‎ 得，即，‎ 则，，‎ 所以.‎ ‎ ………………10分 ‎23.(本小题满分10分)【选修4-5: 不等式选讲】‎ 解：（1）因为，所以，‎ 两边同时平方得，‎ 即，‎ 当时，；‎ 当时，. ………………5分 ‎（2）因为，‎ 所以的最小值为3，‎ 所以，则，‎ 解得，‎ 故的最大值与最小值之和为. ………………10分